数学试卷
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合. = {2,3,4}, = |3 + = 0 若 AB={2},则AB=
A. {2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {-1,2,3,4} D. {2,3,4,5}
2.已知复数 = 3 + (1 + )( ))在复平面内对应的点在坐标轴上，则|z|的值不可
能是
15
A. 3 C.4 D. 5
. 4
3.函数 () = (0,且 a1)的图象可能是
4.已知，， 是空间中三个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列结
论错误的是
A.若m,n,mn,则 B.若 , ,,则
C.若,,则 D.若 , ,;,则
5.已知数列 中, 则 是“数列 是递增数列”的
= + , “0<< 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为 2m ，渠深OC
为 1.5 m，水面 EF距AB为 0.5m ，则截面图中水面宽 EF的长度约为
( 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449)
A.0.816 m B.1.33 m C. 1.50 m D. 1.63 m
7.函数 () = + (0, >0, >0)的一个对称中心为 0 ,且f'(x)的一
6,
条对称轴为 当 取得最小值时，
= 3, =
3 3 3 3
. . 3 . . 3
8.已知 (1)(2)<< (1)对 (1,2))恒成立，且x 越接近于1，它们的值
5 3 5
也 越 接 近 . 如，取 时 ， 有 计 算 可 得 ：
= 4 16< ln52ln2< 16,
384 366
则 ln5的近似值为(附： 0.693,
1.5735< 5< 1.6985. 2 1252 0.025,1252
0.023)
A.1.60 B. 1.61 C. 1.62 D. 1.63
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分. 在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2分.
9.某学校高一年级学生有 900 人，其中男生 500 人，女生 400 人，为了获得该校高一全
体学生的身高信息，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，在各层中
按比例分配样本，总样本是为 180，经计算得到男生样本的均值为 170，方差为 19，
女生样本的均值为 161，方差为 28，则下列说法中正确的是
A.男生样本容是为 100 B.抽取的样本的均值为 165.5
C.抽取的样本的均值为 166 D. 抽取的样本的方差为 43
10.下列说法正确的是
A.经过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条
B.经过点(2，3)且与原点距离等于1 的直线有两条
C.过点(2,3)且与圆 (2) + (1) = 4相切的直线只有一条
D.过点(2,3)且与圆 (2) + (1) = 4相切的圆只有一个
11.四棱雉 P-ABCD 的底面为正方形,PA 与底面垂直,PA=2,AB=1,动点M 在线段 PC上,则
A.不存在点 M,使得 ACBM B. MB+MD 的最小值为 30
3
C.四棱锥 P-ABCD 的外接球表面积为 6 D.点M 到直线AB 的距离的最小值为 2 5
5
12.将数列 中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数 a，a，a，…成等差数列，且
= 2, = 8,从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等
比数列，则
. = 1 B. a位于第5 行第9列
2 1
. = (34) 4 D.若 = 80,，则位于第3 行第5 列或第8 行第3列
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.
3 3
13.已知函数 f(x)是奇函数，且 , 0, 则 g(-8)的值为
() = (),< 0,
14.向量a，b，c 在正方形网格(每个小正方形的边长为 1)中的位置如图所示，若向量b
+c与a 共线，则 a-b与c 夹角的余弦值为
6
1 6
15.设 23 = 0 + 1 + 2 + + 6,则 =
0 1 2 6 =0
2 2
16.已知M为椭圆 : 上 一 点 ， F，F为左、右焦点，设
2 + 2 = 1( >0)
若 则该椭圆的离心率
= , = , cos 2 = 2cos 2 , =
四、解答题：本题共6 小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.全民健身创精彩，健康成长蟩未来. 为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活
动期间举办乒乓球比赛. 假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会
出现平局，甲获胜的概率为 (0<< 1).
(1)若比赛采用五局三胜制，且 = 0.5,则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的
概率；
1
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 试分析哪种赛制下甲获
>2,
胜的概率更大? 并说明理由.
18.在ABC中,AB=3,AC=2,D为BC 边上一点,且AD 平分BAC.
(1)若 BC=3,求
;
11
(2)若 求线段 AD 的长.
cos = 14,
19.如图，点C在以AB 为直径的圆O上，PA 垂直于圆O 所在平面，G为AOC的重
心.
(1)求证:平面 OPG平面 PAC;
(2)若 PA=AC=1,AB=2,求二面角 A-OP-G 的余弦值.
1
20.设数列 满足：对任意正整数n，有 1 +22 +43 + + 2 = .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若抽去数列 中的第1项，第4项，第7项，…，第 3n-2 项，余下的项顺序不
变，组成一个新数列 ,记数列 的前n项和为 .已知对于任意的正整数n，
恒成立，求 的最大值.
1
21.已知函数
() = ln + ( )
(1)是否存在实数a，使得 x=1为函数 f(x)的极小值点. 若存在，求a 的值；若不存在，
请说明理由；
(2)若 f(x)图象上总存在关于点(1，0)对称的两点，求a 的取值范围.
1
22.已知双曲线C 的虚轴长为2，其中一条浙近线方程为 且M，N 分别是双曲线
= 2.
的左、右顶点.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设过点 G(4，0)的动直线l 交双曲线C 右支于 A，B 两点，若直线AM，BN 的斜率
分别为 ,.
试探究 k与 k的比值 1是否为定值. 若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说
2
明理由；
1
设 若 求 的面
= , = ,0<< 2, tan = 7, = (0<< 2),
积.