命题：浙江省杭州第二中学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有一
项是符合题目要求的.
1. 若复数 z 满足 i z 1 2i ，则 z （ ）
A. 2 i B. 2 i C. 2 i D. 2 i
m
2. 已知 m,n R ，集合 A 2, ，集合 B m,n ，若 A B 1 ，则 n （ ）
2n
1 1
A. B. C. 或 1 D.
1 2 2 2
3. 已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，则“ d 0 ”是“ S3n S2n S2n Sn ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 m ，n 为异面直线，m 平面 ，n 平面 ，若直线l 满足 l m ，l n ，l ，l .则下
列说法正确的是（ ）
A. / / ， l// B. ， l
C. 与 相交，且交线平行于l D. 与 相交，且交线垂直于 l
5. 标有数字 1,2,3,4,5,6 的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一
张， A 表示事件“第一次取出的数字是 3”， B 表示事件“第二次取出的数字是 2”， C 表示事件“两次取出的
数字之和是 6”， D 表示事件“两次取出的数字之和是 7”，则（ ）
1
A. P C B. P A D P A
6
C. P A C P A D. PBC PB PC
2 3
6. 已知函数 f x 3 sinx cosx （ 0 ）在区间 , 上单调递增，若存在唯一的实数
5 4
x0 0, ，使得 f x0 2 ，则 的取值范围是（ ）
2 8 2 5
A , B. ,
. 3 3 3 6
第 1页/共 33页
2 8 5 8
C. , D. ,
3 9 6 9
2 2
x y 2
7. 已知双曲线 C1 ： 1（ a 0 ，b 0 ）的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，点 F2 与抛物线 C2 ：y 2 px
a2 b2
（ p 0 ）的焦点重合，点 P 为C1 与 C2 的一个交点，若 PF1F2 的内切圆圆心在直线 x 4 上， C2 的准线
9
与C1 交于 A ， B 两点，且 AB ，则C1 的离心率为（ ）
2
9 9 7 5
A. B. C. D.
4 5 4 4
2
x 2
8. 已知 a 0 ，若点 P 为曲线 C1 ： y ax 与曲线 C2 ： y 2a ln x m 的交点，且两条曲线在点 P 处
2
的切线重合，则实数 m 的最大值为（ ）
1 1
e
A. 2 B. 2 C. D. 2e
e e 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 P1,0, N(0,2) ，过点 P 作直线 l : ax y a 0的垂线，垂足为 M ，则（ ）
A. 直线 l 过定点 B. 点 P 到直线l 的最大距离为 2
C. MN 的最大值为 3 D. MN 的最小值为 2
10. 2022 年11月17 日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯
固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单
位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比 y 如表所示. 已知 y 40% ，于是分别用 p 30%
和 得到了两条回归直线方程： ， ，对应的相关系数分别为 、 ，百分
p 40% y b1xa1 y b2x a2 r1 r2
n
xi yi nx y
比 对应的方差分别为 2 、 2 ，则下列结论正确的是（ ）（附： i1 ， ）
y s1 s2 b n a y bx
2 2
xi nx
i1
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 x 1 2 3 4 5
第 2页/共 33页
y 20% p 40% 50% q
2 2
A. r1 r2 B. s1 s2 C. b1 b2 D. a1 a2
11. 如图，直线 l1 l2 ，点 A 是 l1,l2 之间的一个定点，点 A 到 l1,l2 的距离分别为 1 和 2.点 B 是直线 l2 上一个
动点，过点 A 作 AC AB ，交直线 l1 于点 C,GA GB GC 0 ，则（ ）
1 2
A. AG AB AC B. GAB 面积的最小值是
2 3
C. AG 1 D. GAGB 存在最小值
12. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C 是
球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣
弧分别为 AB, BC,CA ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面 ABC ，定义 d AB 为经过 A, B 两点的大圆
在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为 R ，北极为点 N，点 P，Q 是地球表面上的两点，则（ ）
d d d
A. NP NQ PQ
R
B. 若点 P,Q 在赤道上，且经度分别为东经 30和东经 60，则 d
PQ 6
R2
C. 若点 P,Q 在赤道上，且经度分别为东经 40和东经 80，则球面NPQ 的面积
9
2 6
D. 若 NP NQ PQ R ，则球面NPQ 的面积为 R2
3
三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
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1 1
13. 已知 log 1, a 2 1，则实数 a 的取值范围___________.
a 2
2
14 已知锐角, 满足 2 ， tan tan 2 3 ，则 _____.
. 3 2
15. 函数 f (x) ex ax b 在区间1,3 上存在零点，则 a2 b2 的最小值为_________.
x2
16. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆 C ： y2 1上，且其中恰有两个顶点为椭圆 C 的
4
顶点．这样的等腰三角形有________个.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17. 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a cosC c b ．
2
（1）求 A；
（2）线段 BC 上一点 D 满足 AD BD 1， CD 3 ，求 AB 的长度．
设正项数列 的前 项和为 ，且
18. an n Sn an 1 4Sn 9 .
（1）求数列an的通项公式；
（2）能否从a 中选出以 a 为首项，以原次序组成的等比数列 a ,a ,,a ,k 1 .若能，请找出公
n 1 k1 k2 km 1
比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列kn 的前 n 项和Tn ；若不能，请说明理由.
19. 已知四面体 ABCD，D 在面 ABC 上的射影为 O ， O 为 ABC 的外心， AC AB 4 ， BC 2 .
（1）证明：BCAD；
（2）若 E 为 AD 中点，OD=2，求平面 ECO 与平面 ACO 夹角的余弦值．
1
20. 数轴上的一个质点 Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动 1 个单位长度，其中向左移动的概率为 ，
3
2
向右移动的概率为 ，记点 Q 移动 n 次后所在的位置对应的实数为 X .
3 n
（1）求 X3 和 X 4 的分布列和期望；
（2）当 n 10 时，点 Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.
第 4页/共 33页
x2 y2
21. 已知椭圆 C : 1 ， P(x0 , y0 ) 是椭圆外一点，过 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M, N ，
16 4
直线 MN 与直线 OP 交于点 Q ， A, B 是直线 OP 与椭圆 C 的两个交点.
（1）求直线 OP 与直线 MN 的斜率之积；
（2）求AMN 面积的最大值.
x
22. 已知 x1, x2 是方程 e ax ln ax x 的两个实根，且 x1 x2 .
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）已知 f (x) ax ， g(x) ln(1 x) cos x 2 ，若存在正实数 x3 ，使得 f (x1) g(x3 ) 成立，证明：
x1 x3 .
2023 年浙江省高考数学模拟卷
命题：浙江省杭州第二中学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有一
项是符合题目要求的.
1. 若复数 z 满足 i z 1 2i ，则 z （ ）
A. 2 i B. 2 i C. 2 i D. 2 i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简可得 z 2 i ，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.
1 2i
【详解】由已知可得， z 2 i ，从而 z 2 i .
i
故选：B.
m
2. 已知 m,n R ，集合 A 2, ，集合 B m,n ，若 A B 1 ，则 n （ ）
2n
1 1
A. B. C. 或 1 D.
1 2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.
第 5页/共 33页
m m
【详解】因为 A B 1 ，故可得 1且 m 1，或 1且 n 1；
2n 2n
1
解得 m 1,n 或 m 2,n 1；
2
1 1
当 m 1,n 时， A 2,1, B 1, ，满足题意；
2 2
当 m 2,n 1时， A 2,1, B 2,1 ，不满足题意，舍去；
1
综上所述， n .
2
故选：D.
3. 已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，则“ d 0 ”是“ S3n S2n S2n Sn ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前 n 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列an是公差为d 的等差数列，所以
3n(3n 1) 2n(2n 1) n(5n 1)
S S 3na d 2na d na d ，
3n 2n 1 2 1 2 1 2
2n(2n 1) n(n 1) n(3n 1)
S S 2na d na d na d ，
2n n 1 2 1 2 1 2
2
所以 S3n S2n (S2n Sn ) n d ，
2
若等差数列an的公差 d 0 ，则 n d 0 ，所以 S3n S2n S2n Sn ，故充分性成立；
2
若 S3n S2n S2n Sn ，则 S3n S2n (S2n Sn ) n d 0 ，所以 d 0 ，故必要性成立，
所以“ d 0 ”是“ S3n S2n S2n Sn ”的充分必要条件，
故选：C.
4. 已知 m ，n 为异面直线，m 平面 ，n 平面 ，若直线l 满足 l m ，l n ，l ，l .则下
列说法正确的是（ ）
A. / / ， l// B. ， l
C. 与 相交，且交线平行于l D. 与 相交，且交线垂直于 l
【答案】C
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【解析】
【分析】由已知条件，结合线面平行、线面垂直的判定与性质和面面平行的性质等对各个选项进行分析，
即可得出正确结论.
【详解】假设 / / ，因为 m 平面,n 平面 ，则 m // n ，
这与直线 m, n 为异面直线矛盾，故 A 错误；
假设 l ，因为 n 平面 ，所以 n / /l ，这与 l n 矛盾，故 B 错误；
设 a ，作 b / / m ，使得 b 与 n 相交，记 b 与 n 构成平面 ，如图，
因为 m 平面 ， a ，则 m a ，又 b / / m ，故 b a ，
同理： n a ，而 b 与 n 构成平面 ，所以 a ；
因为 l m ，又 b / / m ，故 l b ，又 l n ， b 与 n 构成平面 ，所以 l ，
故而 l//a ，即 与 的交线平行于 l，故 C 正确，D 错误；
故选：C
5. 标有数字 1,2,3,4,5,6 的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一
张， A 表示事件“第一次取出的数字是 3”， B 表示事件“第二次取出的数字是 2”， C 表示事件“两次取出的
数字之和是 6”， D 表示事件“两次取出的数字之和是 7”，则（ ）
1
A. P C B. P A D P A
6
C. P A C P A D. PBC PB PC
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断
即可.
【详解】由题意，
1C1 1
6 ，
P A 1 1
C6C6 6
第 7页/共 33页
C1 1 1
6 ，
P B 1 1
C6C6 6
对于 C 事件的可能组合有：
1,5,5,1, 2,4, 4,2 , 3,3 ，共 5 种，
5 5
PC 1 1 ，故 A 错误；
C6C6 36
对于 D 事件的可能组合有：
1,6,6,1,2,5, 5,2, 3,4 , 4,3 ，共 6 种，
6 1
PD 1 1 ，
C6C6 6
对于 AD 事件的组合只有 3,4 一种，
对于 AC 事件的组合只有 3,3 一种，
对于 BC 事件的组合只有 4,2 一种，
n AD 1
则 P A D P A ，B 正确；
nD 6
n AC 1
P A C P A ，C 错；
nC 5
1 1
1 5 5
又 P BC 1 1 ， PB PC ，
C6C6 36 6 36 216
则 PBC P B P C ，D 错.
故选：B
2 3
6. 已知函数 f x 3 sinx cosx （ 0 ）在区间 , 上单调递增，若存在唯一的实数
5 4
x0 0, ，使得 f x0 2 ，则 的取值范围是（ ）
2 8 2 5
A. , B. ,
3 3 3 6
2 8 5 8
C. , D. ,
3 9 6 9
第 8页/共 33页
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式变形函数 f (x) ，结合函数的单调区间和取得最值的情况，利用整体代入法可求得
参数范围.
【详解】由题得：
f x 3 sinx cosx 2sin(x ) ，且 0 ，
6
因为 x0 0, ，
所以 ，
x0 ,
6 6 6
若存在唯一的实数 x0 0, ，使得 f x0 2 ，
5 2 8
则 ，解得 ，
2 6 2 3 3
2 3
当 x , 时，
5 4
2 3
x ，
5 6 6 4 6
2 3
又 f (x) 区间 , 上单调递增，
5 4
2 3
所以 且 ，
5 6 2 4 6 2
5 8
解得 且 ，
6 9
2 8 2 5
结合 ，可得 ，
3 3 3 6
故选：B.
2 2
x y 2
7. 已知双曲线 C1 ： 1（ a 0 ，b 0 ）的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，点 F2 与抛物线 C2 ：y 2 px
a2 b2
（ p 0 ）的焦点重合，点 P 为C1 与 C2 的一个交点，若 PF1F2 的内切圆圆心在直线 x 4 上， C2 的准线
9
与C1 交于 A ， B 两点，且 AB ，则C1 的离心率为（ ）
2
9 9 7 5
A. B. C. D.
4 5 4 4
【答案】D
第 9页/共 33页
【解析】
2
p 2b 2
【分析】令 F1(c,0), F2 (c,0) ，由题设知 c 0 且 AB 求得 4b 9a ，再由内切圆中切线长性
2 a
质及双曲线定义、性质确定与 F1F2 的切点的位置，进而求离心率.
p
【详解】由题设 F (c,0), F (c,0) ，又点 F 与抛物线的焦点重合，即 c 0 ，
1 2 2 2
2
c y2
1 b2 2b2 9
由 a2 b2 ，则 y ，故 AB ，即 4b2 9a ，
2 2 2 a a 2
a b c
如下图示，内切圆与 PF1F2 各边的切点为 D, E, K ，
所以 PD PE , DF1 KF1 , EF2 KF2 ，又| PF1 | | PF2 | 2a ，
则 ( PD DF1 ) ( PE EF2 ) DF1 EF2 KF1 KF2 2a ，
所以 K 为双曲线右顶点，又 PF1F2 的内切圆圆心在直线 x 4 上，即 a 4 ，
c 5
故 b2 9 ，则 c 5 ，所以离心率为 e .
a 4
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用切线长性质推得 KF1 KF2 2a ，从而利用双曲线的对称性
得到 a 4 ，进而得解.
2
x 2
8. 已知 a 0 ，若点 P 为曲线 C1 ： y ax 与曲线 C2 ： y 2a ln x m 的交点，且两条曲线在点 P 处
2
的切线重合，则实数 m 的最大值为（ ）
1 1
e
A. 2 B. 2 C. D. 2e
e e 2
【答案】B
第 10页/共 33页