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理科数学参考解答及评分参考
一!选择题
!!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计集合运算问题%主要考查一元二次不等式的解
法%集合的交集运算等基础知识&考查运算求解能力%数学运算素养'
#答案$#
解析$由$(##%&'#()#*)$(#()###!)%所以 $$$(#(+%#%%)$(#()#
##!)$(#(+%##!)!
%!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计复数运算问题%主要考查复数的除法*加法运
算%复数模的概念等基础知识&考查运算求解能力'
#答案$,
!&- !!&-%
解析$由%$&-$ &-$%-%所以%$%-$%!
!(- %
+!#考查意图$本小题设置数学应用情境%设计程序框图问题%主要考查对程序框图以及循环结构
的理解和应用等基础知识&考查读图能力和逻辑思维能力&考查逻辑推理素养'
#答案$.
#解析$运行程序%输入#$%*%+%则#$%*%+('$%*!%满足#&*&#$%*!('$%*!)%满足
!
#&*&+&#$+%满足#&*&#$(!%不满足#&*%故输出的&$%(!$ !
%
'!#考查意图$本小题设置生活实践情境%主要考查独立事件同时发生的概率%考查分类与整合*
统计与概率等数学思想&考查数学建模等数学核心素养'
#答案$#
! ! % % )
详解$依题意%甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为'$ / & / $ !
+ + + +
)!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计等差数列和等比数列问题%主要考查等差数列
和等比数列的性质等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力'
#答案$,
#解析$由(())是等差数列%(! &() &( $+() $ 得() $+%所 以(% &(0 $%() $1%由*%*)*0 $
+ (%&(0 1 1 +
*)$+槡+得*)$槡+%所以*%*0$+%所以 $ $ $ !
!&*%*0 !&+ ' %
1!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计平面向量的几何运算问题%主要考查平面向量
的相关知识%考查数形结合思想%考查的核心素养是数学运算*直观想象'
数学!理科试题答案 第!! 页!共页
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书
#答案$.
( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( '
解析$连接+,%因为$,,$+$$,,$+234),$+$$+%%所以$,234),$+$
( '
$+%所以+,*$+%则+$+,++-,%因为+ 为- 的中点%所以-+$%%-,$!%则.,$
+%在 56+$., 中%$,$ 槡$.%&.,% $)!
7!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设置逻辑用语问题%主要考查三角函数图象的对称
性*充分条件与必要条件等基础知识&考查化归与转化能力*运算求解能力&考查数学运算核心
素养'
#答案$8
! ! !
#解析$若函数&$4-9!%#( 的图 象关于 直线$对 称%则 %/ ( $/!& %/-!%故
! 1 1 ! %
! !
- $( .是-函数&$4-9!%#( 的图象关于直$对称.的充分不必要条件!
! 1 ! 1
0!#考查意图$本小题设置课程学习情境%设计求双曲线标准方程的问题%考查双曲线的定义%解
三角形及三角形面积等基础知识%考查化归与转化的数学思想%考查逻辑推理与数学运算等数
学素养'
#答案$#
#解析$设,!,%$%0%由,!$$%,%$%,!$(,%$$%( 得,!$$'(%,%$$%(%又
!
因为)$,!,%$+*:%所以),!,%$$*:%,!,%$%0$% +(%故+$,!,%的面积为 ,!,%,
槡 %
% %
% % % % # &
,%$$% +( $1 +%即( $+%0 $%* $1%故- 的方程为 ( $!!
槡 槡 + 1
!#考查意图$本小题设置生活实践情境%主要考查分类加法和分步乘法原理等基础知识&考查统
计与概率*分类与整合等数学思想&考查数学抽象*数学建模等数学核心素养'
#答案$,
% +
解析$依题意%共有两种情形/恰有%个学校所选基地相同%不同方法数为-'$)$+1*&#'
'
个学校所选研学基地都不相同的方法有 $)$!%*%所以不同方法种数共有+1*&!%*$'0*种!
!*!#考查意图$本小题设置数学探究情境%设计三角函数图象性质问题%主要考查导数的几何意
义%三角函数的值域等基础知识&考查逻辑思维能力%等价转化能力%运算求解能力&考查逻辑
推理和数学运算素养'
#答案$,
! !
解析$因为 4-9#&23$槡%4-9#& %由 #& ./!%/-!%知 函 数 1的定 义 域 为
! ' '
!
# #./!( %/-! !令直线2的倾斜角为%
( ' )
%槡+0(4-9#!4-9#&234#(234#!234#(4-1(%槡+ 槡+
13$% $ %$( !
!4-9#&234# ! % !
槡%4-9 #& 4-9 #&
0 ! ' 1 ! '
数学!理科试题答案 第!% 页!共页
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% ! ! %!
因为*%4-9 #& #!%所以13!##(槡+%即6;9#(槡+!又%!%所以%# !
! ' % +
!!!#考查意图$本小题设置课程学习情境%设计空间几何与代数的综合问题%主要考查正方体中
直线与平面的位置关系*线面角的计算等基础知识与基本技能&考查数形结合*化归与转化等
思想方法%考查逻辑推理*数学运算等数学素养'
#答案$8
解析$如图%由正方体的性质%可得!.* 平面 $.!-%且 ! 在平面
$.!- 上 的 射 影 4 为 +$.!- 的 外 心!设 正 方 体 的 棱 长 为 !%则
! ! ! 槡1 !
+$.!-的边长为槡%%45$ 5.! $ %( $ %!5$ !&
+ +槡 % 1 槡 %
槡1
槡1 45 1 !
$ %在 56+45!中%234)45!$ $ $ !结合图象可知%
% !5 槡1 +
%
!
当 ' 与点!重合时%234取得最小值为 !
+
!%!#考查意图$本小题设置课程学习情境%设计与椭圆有关的综合问题%考查利用简单图形的几
何性质求解点的坐标%线段长度等基础知识%考查化归转化*数形结合等思想方法%考查直观
想象*数学运算等数学素养'
#答案$#
*% ( *%
解析$设,!,%$%0%由 题 知%不 妨 设 ' 0% %46$ ,%'$ %,%5$
! ( (&0 (&0
((0 !((0*% ! !((0*% !
46$ %47$ ,%5$ %又因为47$ 46%所以47$
( (!(&0 % %(!(&0 '
!((0*% *% !
$ 即($%0%则8$ !
%(!(&0 '!(&0 %
二!填空题
!+!#考查意图$本小题设置数学课程学习情景%主要考查线性规划问题&查数形结合思想&考查直
观想象*数学运算素养'
#答案$!!
解析$不等式组所表示的平面区域是连接$!('%(%%!1%(%%-!!%+三点所构成的三
角形及内部区域%当%$%#&+& 所表示的直线过点-!!%+时%%的值最大%最大值为!!!
!'考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计函数性质问题%主要考查函数的 奇 偶 性%最
值%最小正周期等基础知识&考查直观想象能力%逻辑推理能力'
#答案$1!#$%234!答案 不 唯 一%1!#$%4-9#%1!#$%4-9%#%1!#$4-9#&!%
1!#$234%#&!等均可
数学!理科试题答案 第!+ 页!共页
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#解析$1!#$%234%# 是偶函数%最大值为%%且最小正周期为 !%满足 + 个性质!!答案不唯
一%只要满足+个性质即可
!)!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计多面体的内切球与外接球的综合问题%主要
考查正四棱台的底面与高*斜高等基础知识&考查数形结合*化归与转化等思想方法%考查直
观想象*逻辑推理*数学运算等数学素养'
#答案$槡1)
'
解析$如图%取内切球球心4%球与上下底面的切点 4!%4%%球与左右侧面的切点 4+%4'确定
的截面 +,,!+!%易证 4!,! $4',! $!%4%,$4',$%%故 ,!,$!&%$+%从而四棱台的高
!
9$ +%(!% $% %%内切球半径:$ 9$ %!
槡 槡 % 槡
% %
另取截面$$!-!-%外接球球心43在4!4%上%且43-!$43-!设434!$;%则; &槡% $!%槡%(
7 % !+* 1)
;%&!% %%%解之得;$ 槡 %从而外接球半径<$ ;%&!%% $ 槡 %
槡 ' 槡 槡 ' '
!1!#考查意图$本小题设置数学探究情境%设计三角形重心问题%主要考查三角形重心性质探究%
正弦定理%余弦定理%比例性质等基础知识&考查运算求解能力%推理论证能力&考查数形结合
思想%逻辑推理素养%数学运算素养'
#答案$!+
!'
( ' ( ' ( '
解析$因为点' 为 +$- 的 重 心%所 以'$&'&'-$%由 题 设 有 +)4-9$$%!4-9$
!)4-9-%所以4-9$/4-9/4-9-$+/)/7%由正弦定理有(/*/0$4-9$/4-9/4-9-$+/)/7%不妨
*%&0%((% %);%&';%(;%
设($+;%*$);%0$7;%;/*%根 据 余 弦 定 理 234)$-$ $ $
%*0 %/);/7;
1) !+
$ !
7* !'
三!解答题
!7!#考查意图$本小题考查独立性检验的基本思想及其初步应用*离散型随机变量分布列等基础
知识&考查化归与转化*统计与概率等数学思想&考查数学运算*数据分析*数学建模等数学核
心素养'
+**/!'*/!**(0*/0*% !**
#解析$!!由题%=%$ $ 0+<7*'/%<7*1% ……………… '分
!%*/!0*/!%*/!0* %7
数学!理科试题答案 第!' 页!共页
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因此%有*=的把握认为产品质量与生产线有关系!……………………………………… )分
!%1件产品中产自于甲*乙生产线的分别有%件和'件%则 >可能值为*%!%%!
+ ! % % !
-' ' ! -%-' !% + -%-' ' !
则 '!>$*$ + $ $ &'!>$!$ + $ $ &'!>$%$ + $ $ !
-1 %* ) -1 %* ) -1 %* )
则 >的分布列为
>* ! %
! + !
'
) ) )
!!!!!!!!!! …………………………………………………………………… !*分
! + !
所以%+!>$*/ &!/ &%/ $!!………………………………………………… !%分
) ) )
!0!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计结构不良问题%主要考查等差数列和等比数
列的通项公式%前) 项和公式%错位相减求和等基础知识&考查运算求解能力%数据处理能力%
推理论证能力&考查化归与转化思想%数学运算素养%逻辑推理素养'
#解析$!!若选%
+
因为数列(*))是正项等比数列%设公比为?%所以*1$*+? %
+
又*+$!1%*1$!%0%所以!%0$!1? %
解得?$%% …………………………………………………………………………………… +分
*+ !1 )(! )(! )&!
所以*!$ % $ $'%所以*)$*!? $',% $% !
? '
所以()$>3?%*)$)&!!
)&!
故数列(())的通项公式为()$)&!%(*))的通项公式为*)$% ! ……………………… 1分
若选#%
由*)(*!*+$*%得*)$*!*+!
' %
因为数列(*))是正项等比数列%设(*))的公比为?%所以*!? $*!,*!? %
%
因为*!$'%所以? $'%又*)/*%所以?$%%……………………………………………… +分
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所以*)$*!? $',% $% %
所以()$>3?%*)$)&!!
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数列(())的通项公式为()$)&!%(*))的通项公式为*)$% ! ………………………… 1分
)&!
!%0)$(),*)$!)&!,% %
% + ' )&!
所以@)$%,% &+,% &',% &+&!)&!,% % …………………………………… 7分
+ ' )&! )&%
%@)$%,% &+,% &+&),% &!)&!,% !
% + ' )&! )&%
两式相减%得(@)$%,% &% &% &+&% (!)&!,% % ………………………… 分
! % + ' )&! )&%
所以(@)$%&!% &% &% &% &+&% (!)&!,%
数学!理科试题答案 第!) 页!共页
{#{QQABDYIQogiAABIAABgCQQWKCAKQkBECACoGxAAEMAABAANABAA=}#}
%!!(%)&!
$%& (!)&!,%)&%$(),%)&%!
!(%
)&%
故@)$),% ! …………………………………………………………………………… !%分
!!#考查意图$本小题设置课程学习情境%设计直线与抛物线的综合问题%主要考查直线与抛物
线的交点坐标*抛物线的对称性等基础知识%考查特殊与一般*化归与转化等数学思想%考查
类比推理及数学运算素养'
#解析$
!!由题知%直线2与& 轴不垂直%
故可设直线2的方程为#$A&&%%$!#!%&!%!#%%&%!
2&%$'#%
由1 得&%('A&(0$*! ………………………………………………………… %分
3#$A&&%
显然%#$!1A%&+%/*%
! % %
于是&!&&%$'A%&!&%$(0%#%$&!&%$'!………………………………………… '分
!1
( ' ( '
所以4$,4$#!#%&&!&%$('! ………………………………………………………… )分
!%当直线2*# 轴时%2/#$%%$!%%%槡%%!%%(%槡%%
故当)$5'$)5' 时%点 5-# 轴!……………………………………………………… 1分
当直线2与# 轴不垂直时%由抛物线的对称性知%满足条件的点 5-# 轴%设 5!)%*%
&! &%
由)$5'$)5' 得/$5 &/5 $*%即 & $*% ……………………………… 0分
#!() #%()
整理得&!!#%()&&%!#!()$*%即
&!!A&%&%()&&%!A&!&%()$*%
所以%A&!&%&!%()!&!&&%$*!……………………………………………………… !*分
故(!1A&'!%()A$*%解得)$(%!
综上%存在定点 5!(%%*满足条件!……………………………………………………… !%分
%*!#考查意图$本小题设置数学课程学习情境%设计斜棱柱相关的综合问题%主要考查直线与平
面垂直的判定及性质%平面与平面垂直的性质%空间向量的应用等基础知识&考查数形结合*
化归与转化等思想方法%考查直观想象*逻辑推理*数学运算等数学素养'
解析$!!在平面!-!- 中作B *--!于 B%
因为平面 $$!-!-*平面 !-!-%
且平面 $$!-!-$平面 !-!-$--!%
所以 B*平面 $$!-!-%从而 $-*B! ………………… %分
在三棱柱 $-($!!-!中%-!*平面 $-%$-4平面 $-%
所以 $-*-!!
数学!理科试题答案 第!1 页!共页
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