数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x 3x 4 x 5 0 B x 2x 8
1．设集合 ， ，则 A B （ ）
4 3 4
A. ,5 B. ,5 C. ,4 D. ,4
3 4 3
2．设 x R ，则“ sin x 1 ”是“ cos x 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必
要条件
3．已知非零向量 a ， b 满足 b 3,1 ， a,b ，若 a b a ，则向量 a 在向量 b 方向上的
3
投影向量为（ ）
1 1 3
A. b B. b C. b D. b
4 2 2
a b a b
4．形如 我们称为“二阶行列式”，规定运算 ad bc ，若在复平面上的一个点 A
c d c d
z 1 i
对应复数为 z ，其中复数 z 满足 i ，则点 A 在复平面内对应坐标为（ ）
1 2i 1
A. (3,2) B. (2,3) C. (2,3) D. (3,2)
2 2 2 2
5．已知圆 C1 : x y 4x 3 0 ，圆 C2 : x y 8x 12 0 ，下列直线中不能与圆 C1 ， C2 同
时相切的是（ ）
A. 3x 3y 0 B. 3x 3y 0
C. x 35y 8 0 D. x 35y 8 0
x
6．若函数 f x 2sin x ( 0) 在 0, 内恰好存在4 个 0 ，使得 f x0 1，则 的取
3
值范围为（ ）
19 9 19 9 7 9 7 9
A. , B. , C. , D. ,
6 2 6 2 2 2 2 2
7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 PP 棉滤
芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5 微米的 PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是
多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤
掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒
杂质含量不超过 2mg/L，则 PP 棉滤芯的层数最少为（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48）
（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
1 1 1 4
8．设 a cos ， b sin ， c e 5 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）．
5 5 5
A. b a c B. a c b C. b c a D. a b c
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
3
A. 已知随机变量 服从二项分布： B8, ，设 2 1，则 的方差 D 3
4
B. 数据1,3,5,7,9,11,13 的第 60 百分位数为9
C. 若样本数据 x1, x2 ,, xn 的平均数为2 ，则 3x1 2,3x2 2,,3xn 2 的平均数为8
1
D. 用简单随机抽样的方法从 51 个个体中抽取2 个个体，则每个个体被抽到的概率都是
51
10．在正四棱台 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3 ， A1B1 2 ， AA1 2 则（ ）
A. 该正四棱台的体积为 19 2
6
B. 直线 AA1 与底面 ABCD 所成的角为 60
C. 线段 A1C 的长为 10
D. 以 A1 为球心，且表面积为 6 的球与底面 ABCD 相切
y2
11．已知双曲线 x2 1，直线 l： y kx mk 2 与双曲线有唯一的公共点 M，过点 M 且
4
与 l 垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于 A x0 ,0 ， B 0, y0 两点.当点 M 变化时，点 P x0, y 0 之
变化.则下列结论中正确的是（ ）
k
A. k 2 m2 4 B. y x
0 2 0
1 1 1
C. P 点坐标可以是 7, 6 D. 2 2 有最大值
x0 y0 25
12．已知函数 f x ， g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为 f x ， g x ，且
f x g 2 x 5 ， g x f x 4 3 ，若 g x 2 是偶函数，则下列正确的是（ ）．
A. g2 0
B. f x 的最小正周期为4
C. f x 1 是奇函数
2024
D. g 2 5 ，则 f k 2024
k 1
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．二项式 (x 2)(1 x)n 的展开式中，所有项系数和为 256，则 x2 的系数为______（用数字作
答）.
14.随机变量 有3 个不同的取值，且其分布列如下：
4sin 4cos 2sin 2
1 1
P a
4 4
则 E( ) 的最小值为______.
n1 n
15. 已 知 数 列 an 满 足 a1 2a2 2 an n2 ， 记 数 列 an tn 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若
*
Sn S10 对任意的 n N 恒成立，则实数 t 的取值范围是______________．
ex
16．已知正实数 x，y 满足 yex ln x ln y ，则 ln y 的最小值为______．
x
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2 2 3
17．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin A sin B sin C sin Asin Bsin C .
3
（1）求 C；
（2）若 c 2 13 ， a 3b ，点 D 在边 AB 上，且 ACD BCD ，求 CD 的长.
n 1
18．已知数列a 的前 n 项和为 S ，且满足 S a ， a 1．
n n n 2 n 1
（1）求数列an 的通项公式；
2an ,n为偶数
（2）设数列bn 满足bn an 2 an ，求数列bn 的前 2n 项和T2n ．
2,n为奇数
an an 2
19．如图，直三棱柱 ABC - A B C 中， 为等腰直角三角形， ，E，F 分别是棱
1 1 1 ABC CA CB
AA1,CC1 上的点，平面 BEF 平面 ABB1 A1 ，M 是 AB 的中点．
（1）证明：CM // 平面 BEF ；
（2）若 AC AE 2 ，求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入
一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四
个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2 号箱，在打
开2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲
的选择之外的一个空箱子.
（1）计算主持人打开4 号箱的概率；
（2）当主持人打开4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2 号箱，还
是改选1 号或3 号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
x2 y2
21．已知椭圆 E： 1，椭圆上有四个动点 A，B，C，D， CD//AB ，AD 与 BC 相交于 P 点.
16 4
如图所示.
（1）当 A，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线 AD 与 BC 的斜率之积是否为定
值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
（2）若点 P 的坐标为8,6 ，求直线 AB 的斜率.
22．已知函数 f x ln 1 x ， g x ax2 x ．
（1）当 a 1时，求证： f x g x ；
（2）当 x 1时， f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
1 1 1
（3）已知 n N ，证明： sin sin L sin ln 2 ．
n 1 n 2 2n
2024年1月“七省联考”押题预测卷03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x 3x 4 x 5 0 B x 2x 8
1．设集合 ， ，则 A B （ ）
4 3 4
A. ,5 B. ,5 C. ,4 D. ,4
3 4 3
【答案】D
4
【解析】因为 A x 3x 4 x 5 0 ,5 ， B x 2x 8 ,4 ，
3
4
所以 A B ,4 .
3
故选：D.
2．设 x R ，则“ sin x 1 ”是“ cos x 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必
要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2 x cos2 x 1可得：
当 sin x 1 时， cos x 0 ，充分性成立；
当 cos x 0 时，sin x 1 ，必要性不成立；
所以当 x R ， sin x 1 是 cos x 0 的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知非零向量 a ， b 满足 b 3,1 ， a,b ，若 a b a ，则向量 a 在向量 b 方向上的
3
投影向量为（ ）
1 1 3
A. b B. b C. b D. b
4 2 2
【答案】A
2
【解析】因为a b a ，所以 a ba a a b 0 ，
2 2
1 2
a a b 0 ，又 b 3,1 ，所以 b 3 1 2 ， a 1或 a 0 （舍去），
2
2
所以 a b a 1，
a b 1
所以 a 在 b 方向上的投影向量为 b b .
b b 4
故选：A.
a b a b
4．形如 我们称为“二阶行列式”，规定运算 ad bc ，若在复平面上的一个点 A
c d c d
z 1 i
对应复数为 z ，其中复数 z 满足 i ，则点 A 在复平面内对应坐标为（ ）
1 2i 1
A. (3,2) B. (2,3) C. (2,3) D. (3,2)
【答案】A
【解析】由题意可得： z (1 2i)(1 i) z 3 i i ，
则 z i 3 i 3 2i ，
所以点 A 在复平面内对应坐标为 (3,2) .
故选：A.
2 2 2 2
5．已知圆 C1 : x y 4x 3 0 ，圆 C2 : x y 8x 12 0 ，下列直线中不能与圆 C1 ， C2 同
时相切的是（ ）
A. 3x 3y 0 B. 3x 3y 0
C. x 35y 8 0 D. x 35y 8 0
【答案】D
2 2 2 2
【解析】由题意知： C1： x 2 y 1,C2： x 4 y 4 ，
所以圆C1 的圆心为 (2,0) ，半径为1 ；圆 C2 的圆心为 (4,0) ，半径为2 ，
2 3
d 1
对于A ，圆 C1 的圆心 (2,0) 到直线的距离为 1 2 ，与半径相等，故满足相切条件，
3 32
4 3
d2 2
圆 C2 的圆心 (4,0) 到直线的距离为 2 ，与半径相等，故也满足相切条件，
3 32
即直线 3x 3y 0 是两圆的一条公切线；
2 3
d 1
对于B ，圆 C1 的圆心 (2,0) 到直线的距离为 1 2 ，与半径相等，故满足相切条件，
3 32
4 3
d2 2
圆 C2 的圆心 (4,0) 到直线的距离为 2 ，与半径相等，故也满足相切条件，
3 32
即直线 3x 3y 0 是两圆的一条公切线；
2 8
d1 1
对于C ，圆 C1 的圆心 (2,0) 到直线的距离为 2 ，与半径相等，故满足相切条件，
12 35
4+8
d 2
圆 C 的圆心 (4,0) 到直线的距离为 2 2 ，与半径相等，故也满足相切条件，
2 3 32
即直线 x 35y 8 0 是两圆的一条公切线；
2 8 5
d1 1
对于D ，圆C1 的圆心 (2,0) 到直线的距离为 2 3 ，不满足相切条件，
12 35
即直线 x 35y 8 0 不可能是两圆的公切线；
故选：D.
x
6．若函数 f x 2sin x ( 0) 在 0, 内恰好存在4 个 0 ，使得 f x0 1，则 的取
3
值范围为（ ）
19 9 19 9 7 9 7 9
A. , B. , C. , D. ,
6 2 6 2 2 2 2 2
【答案】B
5
【解析】令 f x 2sin x 1,则x 2k, 或x 2k,k Z ，
3 3 6 3 6
7
即x 2k, 或x 2k,k Z
2 6
7 5 19 9
故x 可取 ， , , , , ,
2 6 2 6 2
由于 x 0, ，则x 0, ，
19 9 19 9
要使在 0, 内恰好存在4 个 x0 ，使得 f x 1，则 ，解得 ，
0 6 2 6 2
故选：B
7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 PP 棉滤
芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5 微米的 PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是
多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤
掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒
杂质含量不超过 2mg/L，则 PP 棉滤芯的层数最少为（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48）
（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
n n
y 1 2
【解析】设经过 n 层 PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为 ，则 y 801 80 ，
3 3
n n
2 2 1 2 1 3
令80 2 ，解得 ，两边取常用对数得 nlg lg ，即 nlg lg 40
3 3 40 3 40 2
即 nlg3lg2 12lg2 ，因为 lg 2 0.30 ， lg3 0.48，
80
所以0.480.30n 1.60，解得 n ，因为 n N* ，所以 n 的最小值为9 ．
9
故选：A
1 1 1 4
8．设 a cos ， b sin ， c e 5 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）．
5 5 5
A. b a c B. a c b C. b c a D. a b c
【答案】D
【解析】设 AOB 0, ，作出单位圆，与 x 轴交于 A 点，则 A(1,0)，
2
过点 A 作 AC 垂直于 x 轴，交射线OB 于点C ，连接 AB ，过点 B 作 BD x 轴于点 D ，
由三角函数定义可知 AC tan ， BD sin ， AB ，
1 1 1
设扇形 OAB 的面积为 S ，则 S S S ，即 tan sin ，故
1 OAC 1 ABO 2 2 2
tan sin ，
1 1 1 1
因为 0, ，所以 tan sin ，
5 2 5 5 5
1 1 1 1 1 1
又 cos 0 ，由 tan 得 sin cos ，即b a ，
5 5 5 5 5 5
令 f x ex x 1， x 0 ，
则 f x ex 1，当 x 0 时， f x ex 1 0 ，
故 f x 在 ,0 上单调递减，
4
4 1
所以 f f 0 0 ，所以 e 5 ，
5 5
故 c b ，