数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x | x 2 0 B x | 2x 1
1．若集合 ，集合 ，则 A B （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
2 z
2．已知i 是虚数单位，若非零复数 z 满足 1 i z z ，则 （ ）
1 i
A. 1 B. 1 C. i D. i
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3 处 .某家庭
计划今年暑假从这6 个古镇中挑选2 个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
2 3 1 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入 a 亿元进行基础建设， t 年后产生
f t aet 亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4 年后产生的社会经济效益是投资额的2 倍，
且再过 t 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8 倍，则 t （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
5．已知平面向量 a,b(a b) 满足 a 3，且 b 与 b a 的夹角为 30 ，则 b 的最大值为（）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
6．设一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的极差为1 ，方差为 0.1，若数据 ax1 b ， ax2 b ，…，
axn b 的极差为2 ，则数据 ax1 b ， ax2 b ，…， axn b 的方差为（ ）
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
7．在 ABC 中，已知 AB 2 ， AC 4 ， BAC 60 ， BC ， AC 边上的两条中线 AM ， BN 相
交于点 P ，则 MPN 的余弦值是（ ）．
1 7 13 3 21
A. B. C. D.
14 14 14 14
1 2 0.3
8．已知函数 f (x) x cos x 2 ，设 a f log2 0.2,b f log0.3 0.2,c f 0.2 ，则
2
（ ）
A. a c b B. a b c C. c b a D. b c a
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 ， 满足 2 1，则 D 2D 1
B. 若随机变量 ~ N 3, 2 ，且 P 6 0.84 ，则 P3 6 0.34
C. 若样本数据 xi , yi （ i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
经过该组数据的中心点 x, y
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 2 4.712 ．依据 0.05的独立性检验
（ x0.05 3.841），可判断 X 与 Y 有关
10．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，正项等比数列bn 的前 n 项积为Tn ，则（ ）
S a
A. 数列 n 是等差数列 B. 数列3 n 是等比数列
n
Tn2
C. 数列lnTn 是等差数列 D. 数列 是等比数列
Tn
11．已知圆 O ： x2 y2 4 与圆 C : x2 y2 2x 4y 4 0 相交于 A ， B 两点，直线
l : x 2y 5 0 ，点 P 为直线l 上一动点，过 P 作圆 O 的切线 PM ， PN ，（ M ， N 为切点），
则说法正确的是（ ）
4 5
A. 直线 AB 的方程为 x 2y 4 0 B. 线段 AB 的长为
5
4 8
C. 直线 MN 过定点 , D. PM 的最小值是2 ．
5 5
12．直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ，所有棱长都相等，且 DAB 60 ， M 为 BB1 的中点， P 为四
边形 BB1C1C 内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ）
A. 平面 D1 AM 截四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的截面为直角梯形
B. CB1 面 D1 AM
C. 平面 BB1C1C 内存在点 P ，使得 DP AM
V :V
D. A1 AD1M C AD1M 1:3
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
n
13．已知 2x2 x3 展开式的二项式系数之和为 256，则其展开式中 x4 的系数为_____________.
（用数字作答）
1
14.若函数 f x sin x cos x cos 2x 的图象在 , 内恰有2 条对称轴，则 的值可能为
2 6 4
_____________.
3
15.甲乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积
2
S甲 V甲
分别为V甲 和V乙 .若 2 ，则 __________.
S乙 V乙
x2 y2
16．如图，双曲线 1a,b 0的右顶点为 A ，左右焦点分别为 F1, F2 ，点 P 是双曲线右支
a2 b2
b
上一点， PF 交左支于点 Q ，交渐近线 y x 于点 R, M 是 PQ 的中点，若 RF PF ，且
1 a 2 1
AM PF1 ，则双曲线的离心率是__________.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
17．已知 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， (a cosC c cos A)cos asin B ．
2
（1）求角 A ；
（2）若 D 为边 BC 上一点，且满足 AD CD ， S 2S ，证明： ABC 为直角三角形．
ACD ABD
Sn
18．已知数列a 的前 n 项的和为 Sn ，数列 是公差为1 的等差数列．
n n
（1）证明：数列an 是公差为2 的等差数列；
1 1
（2）设数列 的前 n 项的和为Tn ，若 S3 9 ，证明Tn ．
anan1 2
19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，E 为棱 AB 的中点，ACPE，PA=PD.
（1）证明：平面 PAD平面 ABCD；
（2）若 PA=AD，BAD=60，求二面角 E PD A 的正弦值.
x2 y2
20．设椭圆 C : 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1，F2.A，B 是该椭圆 C 的右顶点和上顶
a2 b2
3
点，且 AB 5 ，若该椭圆的离心率为 .
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且与 x 轴交于点 D(xD a). 若直线 PF2 与直线QF2 的倾斜
角互补，求PQF2 的面积的最大值.
21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3 人做问
2 3
卷调查.已知某单位有 N 名员工，其中 是男性， 是女性.
5 5
（1）当 N 20 时，求出3 人中男性员工人数 X 的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量 N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市
范围内考虑.从 N 名员工（男女比例不变）中随机抽取3 人，在超几何分布中男性员工恰有2 人的
2
概率记作 P1 ；有二项分布中（即男性员工的人数 X B3, ）男性员工恰有2 人的概率记作 P2 .
5
那么当 N 至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.001（即 P1 P2 0.001）的前提下认为超几何
分布近似为二项分布.（参考数据： 578 24.04 ）
22．已知函数 f x aex ex ，（ a R ）.
（1）若 f x 为偶函数，求此时 f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）设函数 g(x) f (x) (a 1)x ，且存在 x1, x2 分别为 g(x) 的极大值点和极小值点.
（）求实数 a 的取值范围；
（）若 a (0,1) ，且 g x1 kg x2 0 ，求实数 k 的取值范围.
2024年1月“七省联考”押题预测卷01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
A x | x 2 0 B x | 2x 1
1．若集合 ，集合 ，则 A B （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
【答案】B
【解析】由题意，集合 A x | x 2 0 x | x 2 ， B x | 2x 1 x | x 0，
根据集合交集的运算，可得 A B x | 0 x 2 .
故选：B.
2 z
2．已知i 是虚数单位，若非零复数 z 满足 1 i z z ，则 （ ）
1 i
A. 1 B. 1 C. i D. i
【答案】A
【解析】设 z a bia,b R ，则 1 i z 1 ia bi a b b ai ，
由 1 i z z 2 可得 a b b ai a2 b2 ，
a b a2 b2 z
所以， ，又因为 z 0 ，所以， a b 1，则 z 1 i ，故 1.
b a 0 1 i
故选：A.
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3 处 .某家庭
计划今年暑假从这6 个古镇中挑选2 个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
2 3 1 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】B
的 2
【解析】从这6 个古镇中挑选2 个去旅游 可能情况有 C6 15 种情况，
C1C1 3
只选一个苏州古镇的概率为 P 3 3 ．
15 5
故选：B
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入 a 亿元进行基础建设， t 年后产生
f t aet 亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4 年后产生的社会经济效益是投资额的2 倍，
且再过 t 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8 倍，则 t （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
t ln 2
4 ln 2
【解析】由条件得 ae 2a ， ，即 4 ．设投资 t 年后，产生的社会经济效
4 f t ae
t ln 2
益是投资额的8 倍，则有 ae 4 8a ，解得， t 12 ．所以再过12 4 8 年，该项投资产生的社
会经济笑意是投资额的8 倍．
故选：B．
5．已知平面向量 a,b(a b) 满足 a 3，且 b 与 b a 的夹角为 30 ，则 b 的最大值为（）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为 a 3，且 b 与 b a 的夹角为 30 ，
如图所示，设 AB a, AD b ，则 BD b a ，
由题意知 ADB 30 ，设 ADB ，
AB AD
因为 a 3，在ABD 中，由正弦定理得 ，解得 AD 6cos 6 ，
sin 30 sin
所以 b 的最大值为 6.
故选:C.
6．设一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的极差为1 ，方差为 0.1，若数据 ax1 b ， ax2 b ，…，
axn b 的极差为2 ，则数据 ax1 b ， ax2 b ，…， axn b 的方差为（ ）
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
【答案】D
【解析】由题意可知，一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的极差为1 ，则 xn x1 1，
又数据 ax1 b ， ax2 b ，…， axn b 的极差为2 ，
则 axn b ax1 b a xn x1 2 ，
所以 a 2 ，
2
故数据 ax1 b ， ax2 b ，…， axn b 的方差为 2 0.1 0.4 ，
故选：D
7．在 ABC 中，已知 AB 2 ， AC 4 ， BAC 60 ， BC ， AC 边上的两条中线 AM ， BN 相
交于点 P ，则 MPN 的余弦值是（ ）．
1 7 13 3 21
A. B. C. D.
14 14 14 14
【答案】B
【解析】由余弦定理得 BC 4 16 2 2 4cos60 2 3 ，
所以 AB2 BC 2 AC 2 ，所以三角形 ABC 是直角三角形，且 ABC 90，
以 B 为原点建立如图所示平面直角坐标系， A0,2, M 3,0,C 2 3,0, N 3,1 ，
MA 3,2, NB 3,1 ， MPN APB MA, NB ，
MA NB 1 7
所以 cosMPN cos MA, NB .
MA NB 7 2 14
故选：B
1 2 0.3
8．已知函数 f (x) x cos x 2 ，设 a f log2 0.2,b f log0.3 0.2,c f 0.2 ，则
2
（ ）
A. a c b B. a b c C. c b a D. b c a
【答案】B
1 1
【解析】函数 f (x) x2 cos x 2 的定义域为 R ， f (x) (x)2 cos(x) 2 f (x) ，故
2 2
1
f (x) x2 cos x 2 为偶函数，
2
当 x 0 时， f (x) x sin x ，令 g(x) x sin x ，则 g(x) 1 cos x 0，即 g(x) x sin x
在[0,) 上单调递增，故 g(x) g(0) 0 ，所以 f (x) 0 ，则 f (x) 在[0,) 上单调递增，
1
由于 log 0.2 log log 5(3,2) ， 2 log 0.09 log 0.2 log 0.3 1，
2 2 5 2 0.3 0.3 0.3
0 0.20.3 1，所以 a b c ．
故选：B．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 ， 满足 2 1，则 D 2D 1
B. 若随机变量 ~ N 3, 2 ，且 P 6 0.84 ，则 P3 6 0.34
C. 若样本数据 xi , yi （ i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
经过该组数据的中心点 x, y
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 2 4.712 ．依据 0.05的独立性检验
（ x0.05 3.841），可判断 X 与 Y 有关
【答案】BCD
【解析】对A ，由方差的性质可知，若随机变量 ， 满足 2 1，则
D 22 D 4D ，故A 错误；
对B ，根据正态分布的图象对称性可得 P3 6 P 6 0.5 0.34 ，故B 正确；
对C ，根据回归直线方程过样本中心点可知C 正确；
对D ，由 2 4.712 3.841可判断 X 与 Y 有关，故D 正确.
故选：BCD．
10．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，正项等比数列bn 的前 n 项积为Tn ，则（ ）
S a
A. 数列 n 是等差数列 B. 数列3 n 是等比数列
n
Tn2
C. 数列lnTn 是等差数列 D. 数列 是等比数列
Tn
【答案】ABD
【解析】设an 的公差为d ，bn 的公比为 q，
d 2 d Sn d d
则 Sn n a1 n n a1 ，
2 2 n 2 2
S S d
所以 n n1 n 2 是常数，故A 正确；
n n 1 2
3an
易知 3an an1 3d n 2 是常数，故B 正确；
3an1
由 lnTn lnTn1 ln bn n 2 不是常数，故C 错误；
T T b
n2 n1 n2 q2 n 2 是常数，故D 正确.
Tn Tn1 bn
故选：ABD
11．已知圆 O ： x2 y2 4 与圆 C : x2 y2 2x 4y 4 0 相交于 A ， B 两点，直线
l : x 2y 5 0 ，点 P 为直线l 上一动点，过 P 作圆 O 的切线 PM ， PN ，（ M ， N 为切点），
则说法正确的是（ ）
4 5
A. 直线 AB 的方程为 x 2y 4 0 B. 线段 AB 的长为
5
4 8
C. 直线 MN 过定点 , D. PM 的最小值是2 ．
5 5
【答案】BC
x2 y2 4
【解析】由题知，联立 ，
2 2
x y 2x 4y 4 0
两式相减得 x 2y 4 0 ，
即直线 AB 的方程为 x 2y 4 0 ，A 错；
x2 y2 4
联立 ，
2 2
x y 2x 4y 4 0
8
x
x 0 5
解得 或 ，
y 2 6
y
5
2 2
8 6 4 5
所以 AB 0 2 ，B 正确；
5 5 5
对于C ，设 M x1, y1 , N x2 , y2 ，
因为 M ， N 为圆 O 的切点，
所以直线 PM 方程 为 xx1 yy1 4 ，
直线 PN 的方程为 xx2 yy2 4 ，
又设 P x0, y 0 ，
x0 x1 y0 y1 4
所以 ，
x0 x2 y0 y2 4
故直线 MN 的方程为 x0 x y0 y 4 ，
又因为 x0 2y0 5 0 ，
所以 2x y y0 5x 4 0 ，
4
x
2x y 0 5
由 得 ，
5x 4 0 8
y
5
4 8
即直线 MN 过定点 , ，C 正确；
5 5
因为 PM 2 OM 2 PO2 ，
所以当 PM 最小时， PO 最小，