数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
2x 1
A x 0 2
x 1 B y y ln x 2x 2
1. 已知集合 ，集合 ，则 A B （ ）
1 1
A. 0,1 B. 0,1 C. , D. ,1
2 2
x2 y2 2
2. 已知 p：双曲线 C 的方程为 1，q：双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，则（ ）
9 4 3
A. p 是 q 的充要条件 B. p 是 q 的充分不必要条件
C. p 是 q 的必要不充分条件 D. p 是 q 的既不充分也不必要条件
3. l1 : a sin30 x y 1 0 ， l2 : x 3tan120 y 2 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为（ ）
7 5 5 1
A. B. C. D.
2 6 2 6
2tan22.5 sin86 1 cos95
4. 设 a ， b ， c ，则有（ ）
1 tan2 22.5 1 cos86 1 cos95
A. b a c B. a c b
C. c b a D. b c a
5. 已知在四面体 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 5 的等边三角形，侧棱长都为 2 ，D 为 PA 的中
点，则直线 BP 与直线 CD 所成角的余弦值为（ ）
6 6 7 7
A. B. C. D.
24 24 14 14
6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A. 216 种 B. 384 种 C. 408 种 D. 432 种
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x2 1
7. 已知an 为正项等比数列，且 a1012 1，若函数 f x 2lnx 1，则
x
f a1 f a2 f a2023 （ ）
2023
A. 2023 B. 2024 C. D. 1012
2
2
8. 已知 a 3 ， b 1， a b 0 ， c a c a 4 ， d 4b d 3 0 ，则 c d 的最大值为
（ ）
2 21 4 21 31
A. 1 B. 4 C. 2 D.
3 3 3
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
x2 y2
9. 已知左、右焦点分别为 F1 ， F2 的椭圆 C : 1的长轴长为 4，过 F1 的直线交椭圆于 P，Q 两
a2 3
点，则（ ）
3
A. 离心率 e
2
B. 若线段 PQ 垂直于 x 轴，则 PQ 3
C. PQF2 的周长为 8
D. PQF2 的内切圆半径为 1
n
n k nk k
10. 与二项式定理 a b Cna b 类似，有莱布尼兹公式：
k 0
n
n
0 n 0 1 n1 1 2 n2 2 n 0 n k nk k ，其中 k （ ，
uv Cnu v Cnu v Cnu v Cnu v Cnu v u k 0,1
n0
2，…，n）为 u 的 k 阶导数， u0 u ， v0 v ，则（ ）
n
k n 1 3 5 n1
A. Cn 2 B. Cn Cn Cn 2
k1
n n x 6 6
C. uv vu D. f x e x ，则 f 0 6!
11. 全球有 0.5%的人是高智商，他们当中有 95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏
高手．下列说法正确的有（ ）
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A. 全球游戏高手占比不超过 10%
B. 某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于 0.1%
C. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于 8%
D. 如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于 8.5%
x
12. 已知定义在 0, 上的函数 f x 满足 f x f x ln2 x ln x ， f 1 1，且实数 a f x
2
对任意 x 0 都成立（ ln2 0.693 ， ln3 1.098 ），则（ ）
A. f 1 8 B. f x 有极小值，无极大值
2
C. f x 既有极小值，也有极大值 D. a
3
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1 a 1
a n
13 已知数列an 满足 n2 ，且 a1 ，则 a9 ______．
. 1 an 3
2 m
14. 已知 x 2x m 0m R 的两共轭虚根为 x1 ， x2 ，且 x1 x2 2 3 ，则 ______．
2 2
15. 已知圆 C : x 3 y 4 4 ，过直线 l : 4x 3y 1 0 上一动点 P 作圆 C 的两条切线，切点分
别为 A，B，则 PA PB 的最小值为______．
16. 正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2，E，F 分别是棱 CD ， DD1 的中点，M 是正方体的表面上一动
点，当四面体 BEFM 的体积最大时，四面体 BEFM 的外接球的表面积为______．
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的 100 名老师
进行了调查．
nad bc2
附： 2 ，其中 n a b c d ．
a bc d a cb d
2
P k0 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
（1）完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；
喜欢看演唱会 不喜欢看演唱 合计
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会
文科老师 30
理科老师 40
合计 50
（2）三楼大办公室中有 11 名老师，有 4 名老师喜欢看演唱会，现从这 11 名老师中随机抽取 3 人，求抽
到的 3 人中恰有 1 人喜欢看演唱会的概率．
18. 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 8 ， AB 6 ，E，F 为 CC1 上分别靠近 C 和C1 的四等分
点，若多面体 AA1B1BEF 的体积为 40．
（1）求 EF 到平面 AA1B1B 的距离；
（2）求二面角 E AB B1 的大小．
*
19. 已知数列an 满足 a1 2 ， a2 3 ，且 an2 2an 3an1 n N ．
（1）求证：数列an1 an 为等比数列；
n 1 1
（2）若 bn 1 ，求数列bn 的前 n 项的和 Sn ．
an an1
20. 在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的 边分别为 a，b，c，且 a，b， a c 成等比数列．
（1）若 A ，求角 C；
5
S
（2）若 ABC 的面积为 S，求 的取值范围．
a2
2
21. 已知抛物线 : y 4x 的准线l 交 x 轴于 M ，过 P1,1 作斜率为 k1 的直线 l1 交 于 C, D ，过
Q1,1 作斜率为 k2 的直线 l2 交 于 E,G ．
（1）若抛物线的焦点 F l2 ，判断直线l 与以 EG 为直径的圆的位置关系，并证明；
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（2）若 C, E, M 三点共线，
证明： k2 k1 为 定值；
求直线 l1 与 l2 夹角 的余弦值的最小值．
4
22 已知 f x x 1e2x kx3 kxk R
. 3
（1）当 k 0 时，求 f x 过点 1, f 1 的切线方程；
（2）若对 k 1,2， x 0,k ，不等式 f x a 恒成立，求实数 a 的取值范围．
1
[参考不等式： ex 1 x x2 x 0 ]
2
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2023 年重庆一中高 2024届 12 月月考
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
2x 1
A x 0 2
x 1 B y y ln x 2x 2
1. 已知集合 ，集合 ，则 A B （ ）
1 1
A. 0,1 B. 0,1 C. , D. ,1
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求集合 A，求对数复合函数的值域求集合 B，应用集合交运算求结果.
2x 1 (2x 1)(x 1) 0 1 1
【详解】由 0 x 1，即 A [ ,1) ，
x 1 x 1 0 2 2
2
由 x2 2x 2 x 1 11，故 B [0,) ，
所以 A B [0,1) .
故选：B
x2 y2 2
2. 已知 p：双曲线 C 的方程为 1，q：双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，则（ ）
9 4 3
A. p 是 q 的充要条件 B. p 是 q 的充分不必要条件
C. p 是 q 的必要不充分条件 D. p 是 q 的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.
x2 y2 2
【详解】若双曲线 C 的方程为 1，则渐近线方程为 y x ，
9 4 3
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2 x2 y2
若双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，则双曲线的方程为 0 ，
3 9 4
所以 p q ，但 q p ，
所以 p 是 q的充分不必要条件.
故选：B
3. l1 : a sin30 x y 1 0 ， l2 : x 3tan120 y 2 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为（ ）
7 5 5 1
A. B. C. D.
2 6 2 6
【答案】C
【解析】
【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.
1 5
【详解】由题意 l1 l2 ，则当且仅当 a sin 30 11 3 tan120 0 ，即 a 3 0 ，解得 a .
2 2
故选：C.
2tan22.5 sin86 1 cos95
4. 设 a ， b ， c ，则有（ ）
1 tan2 22.5 1 cos86 1 cos95
A. b a c B. a c b
C. c b a D. b c a
【答案】C
【解析】
【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.
2tan22.5
【详解】 a = tan 45 ，
1 tan2 22.5
sin86 2sin43cos43 2sin43cos43
b = tan 43 ，
1 cos86 1 2cos2 43 1 2cos2 43
1 cos95 2cos2 47.5 cos 47.5 sin 42.5
c = = = =tan42.5
1 cos95 2sin2 47.5 sin 47.5 cos 42.5
因为 y tan x 在 0, 上单调递增，
2
所以 tan 42.5 tan 43 tan 45 ，
即 c b a ，
故选：C.
5. 已知在四面体 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 5 的等边三角形，侧棱长都为 2 ，D 为 PA 的中
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点，则直线 BP 与直线 CD 所成角的余弦值为（ ）
6 6 7 7
A. B. C. D.
24 24 14 14
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线 DE 与 DC 所成角，再利用余弦定理解三角形即可.
【详解】
取 AB 中点 E ，连接 DE ，由 D 为 PA 中点，
1 2
则 DE//PB ，且 DE PB ；
2 2
则 EDC （或其补角）即为直线 BP 与直线 CD 所成角.
又底面三角形 ABC 是边长为 5 的等边三角形，
3 15
则中线长 CE 5 ；
2 2
在PAC 中，设中线长 DC m ，
则 cosADC cosPDC 0 ，由余弦定理得,
DA2 DC 2 AC 2 DP2 DC 2 PC 2
0 ，
2DA DC 2DP DC
2
2 2 2
所以 2 ，化简得 2 ，
2 2m 5 2 0 m 3
2
解得 m 3 ，则有 DC 3 ，
在DEC 中，由余弦定理得,
1 15
2 2 2 3
DE DC EC 6
cosEDC 2 4 ,
2DE DC 2 24
2 3
2
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6
直线 BP 与直线 CD 所成角为锐角，则余弦值为 .
24
故选：B.
6. 教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地
理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A. 216 种 B. 384 种 C. 408 种 D. 432 种
【答案】D
【解析】
【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文
都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.
【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，
1 2
若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有 C4A2 8 种，
再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有 A4 24 种，
4
此时共有8 24 =192 种；
1 2
若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有 C4A2 8 种，
再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，
1 3
把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有 C3 3 种，其余三科全排有 A3 6 种，
此时共有836 144 种；
1
若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有 C4 4 种，
1 2
将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有 C2A2 4 种，
3
再把余下的三科安排在下午作全排有 A3 6 种，
此时共有 4 4 6 96 种；
综上，共有192 144 96 432 种.
故选：D
x2 1
7. 已知an 为正项等比数列，且 a1012 1，若函数 f x 2lnx 1，则
x
f a1 f a2 f a2023 （ ）
第4页/共 25页
2023
A. 2023 B. 2024 C. D. 1012
2
【答案】A
【解析】
2
【分析】由等比数列的性质可得 a1 a2023 a2 a2022 a3 a2021 L a1012 1， 再 由 题 意 可 得 出
1
f x f 2 ，由倒序相加法可求出答案.
x
【详解】因为an 为正项等比数列，且 a1012 1，
2
所以 a1 a2023 a2 a2022 a3 a2021 L a1012 1，
2
1
2 1 2
x 1 1 x 1 1 x
由 f x 2lnx 1可得 f 2ln 1 2lnx 1，
x x 1 x x
x
1
所以 f x f 2 ，
x
所以设 S f a1 f a2 f a2023 ，
则 S f a2023 f a2022 f a1 ，
所以两式相加可得： 2S 2 2023，故 S 2023 ，
故选：A.
2
8. 已知 a 3 ， b 1， a b 0 ， c a c a 4 ， d 4b d 3 0 ，则 c d 的最大值为
（ ）
2 21 4 21 31
A. 1 B. 4 C. 2 D.
3 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先得出 c d 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换
为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
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