数学试题
（满分：150 分：考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书
写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足 z 2z i i 0 ，则复数 z 的虚部为（ ）
1 1 2 2
A. B. i C. D. i
5 5 5 5
2. 设集合 A 1,0,1 ， B y y 1 2x , x A ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 4
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）
2 sin2 sin2
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 AA1 a ，若侧面 AA1B1B 水平放置时，水面恰好过 AC ，
BC ， A1C1 ， B1C1 的中点，那么当底面 ABC 水平放置时，水面高为（ ）
a a 3a
A. B. C. D. a
4 2 4
5. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资
格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学
生，则不同的安排方法共有（ ）种
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A. 90 B. 125 C. 180 D. 243
6. x 表示不超过 x 的最大整数，如2.3 2 ，1.9 2 ，已知数列an 满足 a1 1， a2 5 ，
b log a
an2 4an 5an1 ，若 n 2 n1 ， Sn 为数列bn 的前 n 项和，则 S2023 （ ）
A. 2023 2022 B. 2023 2024 C. 2023 2026 D. 2023 2028
x2 y2
7. 过双曲线 1 上任一点 P x0, y 0 作两渐近线的平行线 PE ， PF 且与两渐近线交于 E ， F 两
a2 b2
点，且 kEF kOP 1，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
10
1 5 1
8 已知 a tan 0.01， ， ，则（ ）
b 100 c 23
. sin 0.01 2
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 f x sin x k 0, 的图象中相邻两条对称轴的距离是 ，现将
2 2 2
f x 的图象向右平移个 单位长度，得到函数 g x 的图象，若 g x 是偶函数，且最大值为 2，则下列
8
结论正确的是（ ）
A. f x 的最小正周期是 2 B. f x 的图象关于直线 x 对称
8
5 3 7
C. f x 的图象关于点 ,1 对称 D. f x 在 , 上单调递减
8 8 8
10. 对自然人群进行普查，发现患某病的概率 PC 0.005 .为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化
方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以 A 表示事件“试验反应为阳性”，以 C 表示事
件“被确诊为患病”，则有 P A C P A C 0.95 .根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A. PC 0.95 B. P AC 0.005
C. P A C 0.05 D. PC A 0.1
x
11. 统计学中的标准分 z 是以平均分 X 为参照点，以标准差 x 为单位，表示一个数据 在整组数据中相对
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xi X
位置的数值，其计算公式是 zi （ i 1,2,,n ）.若一组原始数据如下：
x
序号
1 2 3 4 5
i
对应值
10 5 6 6 8
xi
则下列说法正确的是（ ）
A. 该数组的平均值 X 7 B. x3 对应的标准分 z3 0.1
C. 该组原始数据的标准分 z 的方差为 1 D. 存在 i j ，使得 xi x j ， zi z j 同时成立
12. 定 义 域 为 R 的 函 数 f x ， g x 的 导 函 数 分 别 为 f x ， g x ， 且 f x g x ，
f x g x 0 ，则下列说法错误的为（ ）
A. 当 x0 是 f x 的零点时， x0 是 g x 的极大值点
B. 当 x0 是 f x 的零点时， x0 是 g x 的极小值点
C. f x ， g x 可能有相同的 零点
D. f x ， g x 可能有相同的 极值点
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知向量 m 1 a,2 a,n 3 a,4 a ，若 m n / /m ，则实数 a___.
sin
14. 已知 ,0 ， tan 2 ，则 tan ______.
2 cos
2 2
15. 过直线 y 2 上任意一点 P 作圆 O ： x y 1 的两条切线，则切点分别是 A, B ，则 OAB 面积的最
大值为______.
16. 已知四面体 ABCD 满足 BC CD BD 4 3 ，它的体积为 28 3 ，其外接球球 O 的表面积为100 ，
则点 A 在球 O 表面的轨迹长度为__________；线段 AB 长度的最小值为______.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
an 2,n为奇数
17. 已知数列an 中， a2 2a1 2 ，且 an2 .
为偶数
4an ,n
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（1）求an 的通项公式；
（2）求an 的前 10 项和 S10 .
18. 记 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 c 2a cos Acos B bcos 2A （ A B ）.
（1）求 A ；
（2）若 AD 是角 A 的内角平分线，且 AD 2 ，求 ABC 周长的最小值.
19. 已知三棱锥 P ABC 中， AB AC 2 ， BA AC ， PAC PAB ， PA 4 .
3
（1）求点 P 到平面 ABC 的距离；
（2）求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的正弦值.
20. 在直角坐标系 xOy 中，动点 P 到 y 轴的距离比点 P 到点 F 1,0 的距离少 1.
（1）求动点 P 的轨迹方程W ；
（2）当 x 0 时，过点 M 4,0 的直线与W 交于 A, B 两点，连接 AF ， BF 延长与W 分别交于 C 、 D
两点，求 与 面积之和 S S 的最小值
FCD FAB FCD FAB .
21. “大地”渔业公司从 A 、 B 两不同设备生产厂商处共购买了 80 台同类型的设备.
（1）若这 80 台设备的 购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：
从 A 处购买（台） 从 B 处购买（台）
运行良好（台） 46 14
出现故障（台） 14 6
试根据小概率值 0.05的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；
（2）若每台设备发生故障的概率都是 0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人
的方案，甲方案是由 4 个人维修，每个人各自独立负责 20 台；乙方案是由 3 个人共同维护这 80 台.请判断
在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的
建议.
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nad bc2
附： 2
a bc d a cb d
0.1 0.05 0.01 0.005
x 2.706 3.841 6.635 7.879
x2
22. 设函数 f x sin x x cos x ， g x 1 cos x .
2
（1）当 x 0, 时，证明： f x 0 ；
当 x , 时，求 g x 的值域；
（2）若数列an 满足 a1 1， an1 an cos an ， an 0 ，证明：
*
3a1 a2 a3 an cos a1 cos a2 cos a3 cos an 2 （ n N ）.
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西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学
高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试
数学试题
（满分：150 分：考试时间：120 分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书
写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足 z 2z i i 0 ，则复数 z 的虚部为（ ）
1 1 2 2
A. B. i C. D. i
5 5 5 5
【答案】A
【解析】
【分析】设复数 z 的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.
【详解】设 z a bi(a,b R) ，
代入 z 2z i i 0 得，
a bi 2(a bi)i i a 2b (b 2a 1)i 0 ，
2
a
a 2b 0 5 1
则有 ，解得 ，即复数 z 的虚部为 .
b 2a 1 0 1 5
b
5
故选：A.
2. 设集合 A 1,0,1 ， B y y 1 2x , x A ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
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【分析】由定义域为 A ，先求函数 y 1 2x 值域 B 即可，再由交集运算可得.
【详解】设函数 f (x) 1 2x ，
1
则 f (1) , f (0) 0, f (1) 1，
2
1
所以集合 B 1,0, ，由集合 A 1,0,1 ，
2
则 A B 1,0 ， A B 中元素的个数为 2 ，
故选：B.
1 4
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）
2 sin2 sin2
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由于 ，得出 sin2 和 sin2 的对应关系，再设定 sin2 和 sin2 为 x, y ，得到基本不
2
1 4
等式形式：“ x y 1和 模型”，求解即可.
x y
【详解】由于 ，得 sin sin( ) cos ，
2 2
所以设 sin2 x, x (0,1) ， sin2 y, y (0,1) ，且 x y 1，
1 4 1 4 1 4 y 4x
则 ( )(x y) 5 ，
sin2 sin2 x y x y x y
y 4x y 4x y 4x 1 2
其中 5 5 2 9 （等号成立时 ，即 x , y 时成立）.
x y x y x y 3 3
故选：C.
4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 AA1 a ，若侧面 AA1B1B 水平放置时，水面恰好过 AC ，
BC ， A1C1 ， B1C1 的中点，那么当底面 ABC 水平放置时，水面高为（ ）
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a a 3a
A. B. C. D. a
4 2 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.
【详解】如图，
设 B1C1 ， A1C1 ， A1B1 的中点分别为 E，F，G，
1 1
则 EF AG GB A B ， S S ，
1 1 2 1 1 C1EF 4 A1B1C1
所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为 3: 4 ，
由于两种状态下水的体积相等，
3 3a
所以当底面 ABC 水平放置时，水面高为侧棱长的 ，即 .
4 4
故选：C
5. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资
格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学
生，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 90 B. 125 C. 180 D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知对五位同学分 3 组，然后全排列即可求解.
【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分 3 组，且三组人数为 2、2、1，然后分配给 3 位专家，
2 2 1
C5C3C1 3
所以不同的安排方法共有 2 A3 90 种.
A2
故选：A．
6. x 表示不超过 x 的最大整数，如2.3 2 ，1.9 2 ，已知数列an 满足 a1 1， a2 5 ，
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b log a
an2 4an 5an1 ，若 n 2 n1 ， Sn 为数列bn 的前 n 项和，则 S2023 （ ）
A. 2023 2022 B. 2023 2024 C. 2023 2026 D. 2023 2028
【答案】B
【解析】
【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出 an1 ，再适当放缩得出 bn ，再结合等差数列的求和公式计算
即可.
【详解】由 an2 4an 5an1 可知 an2 4an1 an1 4an ，所以数列an1 4an 是常数列，
又 a1 1， a2 5 ，所以 a2 4a1 1，则数列an1 4an 各项均为1，
1 1 1 4
即 an1 4an 1 an1 4 an ， a1 ，
3 3 3 3
1 4
则数列 an 是以 为首项，4 为公比的等比数列，
3 3
1 4 n1 1 n1 1 2n2
即 an 4 an1 4 1 2 1 ，
3 3 3 3
1
由 4 22n 3 22n 22n 1 22n2 1 22n ，
3
1
6 22n 4 22n 22n1 1 3 22n1 22n2 1 22n1 22n2 1 ，
3
故 22n a 22n1 log a 2n,2n 1 ，
n1 2 n1
根据题意可知： bn log2an1 2n ，
2023b b 2 2 2023 2023
所以 S 1 2023 2024 2023 .
2023 2 2
故选：B
x2 y2
7. 过双曲线 1 上任一点 P x0, y 0 作两渐近线的平行线 PE ， PF 且与两渐近线交于 E ， F 两
a2 b2
点，且 kEF kOP 1，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求出 E, F 的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.
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b b
【详解】过点 P 与双曲线渐近线 y x 平行的直线 PE 为 y y (x x ) ，
a 0 a 0
b bx0 ay0
y x x
a 2b bx0 ay0 bx0 ay0
于是有： ，解得 ，即 E , ，
b bx ay 2b 2a
y y x x y 0 0
0 a 0 2a
b b
过点 P 与双曲线渐近线 y x 平行的直线 PF 为 y y (x x ) ，
a 0 a 0
b bx0 ay0
y x x
a 2b bx0 ay0 bx0 ay0
于是有： ，解得 ，即 F , ，
b bx ay 2b 2a
y y x x y 0 0
0 a 0 2a
bx ay bx ay
0 0 0 0
2 b2 x y b2
2a 2a b x0 0 0
所以 k ，因为 kEF kOP 1，所以 1 ，
EF bx ay bx ay a2 y a2 y x a2
0 0 0 0 0 0 0
2b 2b
c b2
所以双曲线的离心率为 e 1 2 .
a a2
故选：D
10
1 5 1
8. 已知 a tan 0.01， ， ，则（ ）
b 100 c 23
sin 0.01 2
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
【答案】A
【解析】
【分析】由常用不等式与作差法比较大小,
【详解】设 f (x) x sin x ， 0 x ，
2
则 f (x) 1 cos x 0 ，则 f (x) 在 0, 单调递增，
2
故 f (x) f (0) ，即 x sin x 0 ，则 x sin x 0 ，且 tan x 0 .
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