数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定
位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
x 2
N x 0
M 3,2,0,2,3 x 2
1. 已知集合 ， ，则 M N （ ）
A. 3,2,2,3 B. 3,2,3 C. 3,0,2,3 D. 3,3
2. 已知 (1 i)z 1 5i ，则 z （ ）
A. 2 3i B. 2 3i C. 3 2i D. 3 2i
1
3. 已知 sin sin ，则 cos cos （ ）
3 3 3
5 1 1 1
A. B. C. D.
6 2 6 6
4. 已知直线 y kx 3与曲线 y ln x 相切，则实数 k 的值为（ ）
1 1
A. e B. C. e2 D.
e e2
5. 已知 AD 是 ABC 的边 BC 上的高，且 AB (1,3) ， BC (6,3) ，则 AD （ ）
A. (1,2) B. (1,2) C. (2,1) D. (2,2)
6. 设点 A(0, 4），抛物线 y2 2 px( p 0) 上的点 P 到 y 轴的距离为 d．若 PA +d 的最小值为 2，则 p
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
1 1 1 8
7. 已知an 是等差数列，且 a1 1， ，则 a10 （ ）
a1a2 a2a3 a8a9 25
A. 15 B. 26 C. 28 D. 32
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8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S1 ， S2 ，侧面积为 S，则
（ ）
A S2 S S B. S S S C. S S S D. S 2 S S
. 1 2 1 2 1 2 1 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，P 在底面上的射影 E 在线段 BD 上，则（ ）
A. PA PC B. PB PD
C. AC 平面 PBD D. BD 平面 PAC
10. 设矩形的长是宽的 2 倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线 W 经过另外两个顶点，则 W 的离心率
的可能取值为（ ）
1 5 3 5
A. B. C. 5 D. 2 5
2 2
1
11. 在生物科学和信息科学中，经常用到“S 型”函数： S(x) ，其导函数为 S(x) ，则（ ）
1 ex
1
A. S(x) 有极值点 B. 点 0, 是曲线 y S(x) 的对称中心
2
1
S(x) 是偶函数 x R ，
C. D. 0 S(x0) x0 0
2
12. 某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有 A 和 B 两种结果．第一轮是对所有生
产产品进行检测，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品需进行第二轮检测．在第二轮检
测中，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结
果为 A 的概率是 0.95，乙等品检测结果为 A 的概率是 0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为
90% ，则（ ）
A. 已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是 0.0025
B. 已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是 0.0025
C. 从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为 0.8125
D. 已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于 0.001
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为 3，则这样的五位数共有______个．
14. 已知圆 C 的半径为 5，圆心 C 在第一象限，且直线 4x 3y 0 与 x 轴截圆 C 所得弦长都为 6，则圆心
C 的横坐标为______．
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15. 写出同时满足下列条件的一个函数 f (x) ______．
f (x)
f (x) 是二次函数； xf (x 1) 是奇函数； 在 (0,) 上是减函数．
x
16. 把函数 y sinx( 0) 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 f (x) 的图象．若 f (x) 的图象关于原
3
点对称，则 的最小值为______；若曲线 y f (x) 上存在唯一一点 A(x0 , f (x0 )) ， x0 0, ，满足点 A
2
关于原点的对称点 B 也在曲线 y f (x) 上，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等比数列an 的公比 q 0 ，且 a1a5 6a3， a6 16 ．
（1）求an 的通项公式；
log2 an , n为奇数
（2）设 bn ，求bn 的前 2n 项和 S2n ．
为偶数
an 1, n
18. 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过 m 元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：
从装有大小、形状完全相同的 4 个黑球 2 个红球的盒子中随机取 2 个小球，若 2 个小球都为红色，则获
100 元奖金；若 2 个小球为 1 红 1 黑，则获 30 元奖金；若 2 个小球都为黑色，则获 10 元奖金．
（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为 X 元，求 X 的概率分布列和数学期望；
（2）该超市去年店庆日共有 3000 名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活
动总奖金预设为 12000 元，依据去年店庆日的数据，给出合理的 m 的值，并说明理由．
19. 记 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 c 3b ， cos B 5cosC 0 ．
（1）求 cosC ；
（2）若 D 是边 AB 上一点， BC CD ，且 CD 21 ，求 ABC 的面积，
20. 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB AC ， AB AC AA1 4 ，两个质点分别从点 A 和点
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C 同时出发，均以每秒 2 个单位长度的 速度分别向点 B1 ， A1 作直线移动.如图，点 D , E 分别是两质点
移动 t(0 t 4) 秒后到达的位置．
（1）证明： DE// 平面 ABC ；
（2）当三棱锥 C1 A1DE 的体积最大时，求直线 C1D 与平面 A1DE 所成角的正弦值．
2
21. 已知函数 f (x) ln x ax ．
（1）若 f (x) 在 (0,) 上单调递减，求 a 的取值范围；
（2）若 f (x) 的最小值为 3，求 a．
x2 y2 2
22. 已知椭圆 C : 1(a b 0) 的离心率为 ，斜率为 2 的直线 l 与 x 轴交于点 M，l 与 C 交于
a2 b2 2
16
A，B 两点，D 是 A 关于 y 轴的对称点．当 M 与原点 O 重合时，ABD 面积为 ．
9
（1）求 C 的方程；
（2）当 M 异于 O 点时，记直线 BD 与 y 轴交于点 N，求OMN 周长的最小值．
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2024 届新高考基地学校第三次大联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定
位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
x 2
N x 0
M 3,2,0,2,3 x 2
1. 已知集合 ， ，则 M N （ ）
A. 3,2,2,3 B. 3,2,3 C. 3,0,2,3 D. 3,3
【答案】B
【解析】
【分析】先解分式不等式求解集合 N，然后利用交集运算求解即可.
x 2 x 2 x 2 0
【详解】因为 0 ，所以 ，所以 x 2 或 x< 2 ，
x 2 x 2 0
x 2
所以 N x 0 x x 2 或 x 2 ，又 M 3,2,0,2,3，
x 2
所以 M N 3,2,3.
故选：B
2. 已知 (1 i)z 1 5i ，则 z （ ）
A. 2 3i B. 2 3i C. 3 2i D. 3 2i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法法则计算出 z 2 3i ，进而求出共轭复数.
1 5i1 i 1 i 5i 5i2 4 6i
【详解】 z 2 3i ，
1 i1 i 1 i2 2
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故 z 2 3i .
故选：A
1
3. 已知 sin sin ，则 cos cos （ ）
3 3 3
5 1 1 1
A. B. C. D.
6 2 6 6
【答案】A
【解析】
【分析】应用 ( ) ，结合两角和的余弦即可求解.
3 3
1
【详解】 cos cos[ ( )] cos cos sin sin ,
3 3 3 3 2
1 1 5
则 cos cos .
3 2 3 6
故选：A
4. 已知直线 y kx 3与曲线 y ln x 相切，则实数 k 的值为（ ）
1 1
A. e B. C. e2 D.
e e2
【答案】C
【解析】
1 x
【分析】首先设切点为 x0 ,ln x0 ，利用导数的几何意义得到 k ，从而得到直线方程为 y 3 ，
x0 x0
再将切点代入直线求解即可.
1 1
【详解】设切点为 x0 ,ln x0 ， y ，则 k ，
x x0
x
所以直线方程为 y 3 .
x0
x 2
又因为 x0 ,ln x0 在直线 y 3 上，所以 ln x0 1 3 2 ，解得 x0 e .
x0
1
所以 k e2 .
e2
故选：C
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5. 已知 AD 是 ABC 的边 BC 上的高，且 AB (1,3) ， BC (6,3) ，则 AD （ ）
A. (1,2) B. (1,2) C. (2,1) D. (2,2)
【答案】B
【解析】
【分析】设 BD mBC 6m,3m ，表达出 AD 1 6m,3 3m ，根据垂直关系得到方程，求出
1
m ，进而得到答案.
3
【详解】设 BD mBC 6m,3m ，
则 AD AB BD 1,3 6m,3m 1 6m,3 3m ，
由 AD BC 0 得 AD BC 1 6m,3 3m(6,3) 6 36m 9 9m 0 ，
1
解得 m ，
3
故 AD 1 2,31 1,2
故选：B
6. 设点 A(0, 4），抛物线 y2 2 px( p 0) 上的点 P 到 y 轴的距离为 d．若 PA +d 的最小值为 2，则 p
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】结合抛物线的定义即可求解.
p p
【详解】抛物线 y2 2 px( p 0) ，则焦点 F( ,0) ，准线 x ，
2 2
p p
PA +d 最小时，即 PA +d + 最小，根据抛物线的 定义， d | PF |，
2 2
所以只需求| PA | | PF | 的最小值即可，当 P 为线段 AF 与抛物线交点时，
p p
| PA | | PF | 最小，且最小值为| AF | ( )2 42 2 ，
2 2
解得 p = 6 .
故选：D
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1 1 1 8
7. 已知an 是等差数列，且 a1 1， ，则 a10 （ ）
a1a2 a2a3 a8a9 25
A. 15 B. 26 C. 28 D. 32
【答案】C
【解析】
1 1 1 1 1
【分析】设出公差为d ，进而裂项相消法求和得到 1 ，从而得到方
a1a2 a2a3 a8a9 d 1 8d
程，求出公差，进而求出答案.
【详解】设公差为d ，则 an a1 n 1d 1 n 1d ，
1 1 1 1 1
则 ，
anan1 1 n 1d 1 nd d 1 n 1d 1 nd
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 1
a1a2 a2a3 a8a9 d 1 d 1 d 1 2d 1 7d 1 8d
1 1
1 ，
d 1 8d
1 1 8
故 1 ，解得 d 3，
d 1 8d 25
故 a10 1 93 28 .
故选：C
8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S1 ， S2 ，侧面积为 S，则
（ ）
2
A. S S1S2 B. S S1 S2 C. S S1 S2 D. S 2 S1S2
【答案】C
【解析】
【 分析】利用等体积法即得.
【详解】设小球半径为 R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为
顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径 R，且棱台
的高是 2R，
1 1 1 1
则四棱台的体积为V RS RS RS S S S S 2R ，
3 1 3 2 3 3 1 2 1 2
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2
得 ，即 S S S ，
S S1 S2 2 S1S2 S1 S2 1 2
故选：C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，P 在底面上的射影 E 在线段 BD 上，则（ ）
A. PA PC B. PB PD
C. AC 平面 PBD D. BD 平面 PAC
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项，由线面垂直得到线线垂直，结合勾股定理求出 PA PC ；B 选项，由于 ED 与 EB 不一
定相等，故 PB, PD 不一定相等；C 选项，由线线垂直得到线面垂直；D 选项，连接 PH ，若 E, H 不重
合， PH 与 EH 不垂直，故 BD 与 PH 不垂直，D 错误.
【详解】A 选项，由题意得 PE 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，
连接 AC 与 BD 交于点 H ，则 AH CH ， EH AC ，
因为 AE EC ，故 AE EC ，
又 PA PE 2 AE 2 , PC PE 2 CE 2 ，故 PA PC ，A 正确；
B 选项，因为 PE 平面 ABCD ，所以 PD PE 2 ED2 , PB PE 2 EB2 ，
由于 ED 与 EB 不一定相等，故 PB, PD 不一定相等，B 错误；
C 选项，因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC BD ，
又 PE 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，
所以 PE AC ，
因为 PE BD E ， PE, BD 平面 PBD ，
所以 AC 平面 PBD ，C 正确；
D 选项，连接 PH ，若 E, H 不重合，此时 RtPEH 中， PH 为斜边，
故 PH 与 EH 不垂直，
故 BD 与 PH 不垂直，故此时 BD 与平面 PAC 不垂直，D 错误.
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故选：AC
10. 设矩形的长是宽的 2 倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线 W 经过另外两个顶点，则 W 的离心率
的可能取值为（ ）
1 5 3 5
A. B. C. 5 D. 2 5
2 2
【答案】AD
【解析】
【分析】分两种情况，作出图形，得到 Dc,c 或 Dc,4c ，代入双曲线方程，得到关于 a,b,c 的齐次
式，求出离心率.
【详解】（1）如图 1，矩形 ABCD 中， AB 2BC ，且 A, B 为两个焦点，
设 O 为 AB 中点，如图以 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为
x2 y2
1a 0,b 0 ，
a2 b2
则 OA AD c ，
x2 y2
设 Dc,c ，将 Dc,c 代入双曲线 1 中得，
a2 b2
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