2024 届高三年级 12 月份大联考
数学试题
本试卷共4页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 A x y x 2 ， B x x2 9 ，则 A B （ ）
R
A.[3,2] B. (,3) (2,)
C.[2,3] D. (,2) (3,)
i
2.已知复数 z ，则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
4i 1
4 1 4 1 4 1 4 1
A. , B. , C. , D. ,
17 17 17 17 17 17 17 17
3.已知 a (1,3) ， b (2,5) ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为（ ）
5 34 85 2 4 2
A. 1, B. , C. , D. ,1
2 29 29 3 3 5
1
4.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) ax 1，若 f (2) 5 ，则不等式 f (x) 的
2
解集为（ ）
1 1 1 1
A. , 0, B. ,0 0,
2 6 2 6
1 1 1 1
C. , , D. ,0 ,
2 6 2 6
5.过抛物线， 2 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，则
y 2 px( p 0) F A x1, 2 p B x2 ,2 2 p p
（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、B 系列、C 系列，其中A 系列的幅面规格为： A0 ，
A1 ， A2 ， A3 ，…， A8 ，所有规格的纸张的长度（以 x 表示）和幅宽（以 y 表示）的比例关系都为 x : y 2 :1 ；
将 A0 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 A1 规格；将 A1 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 A2 规
2
格；…，如此对开至 A8 规格.现有 A0 ， A1 ， A2 ， A3 ，…， A8 纸各一张，已知 A0 纸的幅面面积为1m ，
则 A0 ， A1 ， A2 ， A3 ，…， A8 这9 张纸的面积之和是（ ）
511 511 255 255
A. m2 B. m2 C. m2 D. m2
256 512 128 256
2 2
7.已知 P x0., y0 是 l ： x y 6 0 上一点，过点 P 作圆 O ： x y 16 的两条切线，切点分别为A，B，
则当直线AB与 l 平行时，直线AB 的方程为（ ）
A. x y 4 B. x y 8
C. 3x 3y 16 D. 3x 3y 8
2 1 1
函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
8. f (x) 2x ln x f (m) f 2 0 3m 2
x n n
A. 2 6 B.4 C. 2 3 D.1
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分.
2
9.一组互不相等的样本数据 x1 ， x2 ，…， x2n1 ，其平均数为 x ，方差为 s ，极差为 m ，中位数为 n ，去掉最
大值后，余下数据的平均数为 x ，方差为 s2 ，极差为 m ，中位数为 n ，则下列选项一定正确的有（ ）
A. n n B. x x C. s2 s2 D. m m
10.函数 f (x) Asin(x ) （ A 0 ， 0 ， ）的部分图象如图所示，将函数 f (x) 的图象上所有
2
3
点的横坐标变为原来的3 倍，纵坐标变为原来的2 倍，然后向左平移 个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，
4
则（ ）
A. A 1
2
B. g(x) 的解析式为 y 2sin x
3 3
7
C. ,0 是 g(x) 图象的一个对称中心
2
11 5
D. g(x) 的单调递减区间是 3k ,3k ， k Z
4 4
11.若[lg M ] ， (lg M ) 分别为 lg M 的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（ ）
0.001
A. log3 2.999 e B. [lg M ] (lg M )
C. log4 3 log2 1 D. log2 3 log3 5
12.棱长为6 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在球 O 的表面上，若点 M 为球面上的任意一点，则
OAOB (OB OA)OM 的取值可以为（ ）
A. 2 B.3 C.5 D. 9 3
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.
a
已知函数 的最小正周期为 ，则
13. f (x) tan 2 x (a 0) 2 a ________.
a 1
14.圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2 的扇形，则圆锥的体积为________.
70
15.在 (ax y z)7 的展开式中，记 xm yn zk 项的系数为 f (m,n,k) ，若 f (3,2,2) ，则 a 的值为________.
9
x2 y2
16.已知双曲线 C ： 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F ， F ，倾斜角为 的直线 PF 与双曲线 C
a2 b2 1 2 3 2
在第一象限交于点 P ，若 PF1F2 F2 PF1 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为________.
四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
已知数列an 为等差数列，数列bn 为等比数列， b2 b1 2 ， b3 b2 6 .
（1）求数列bn 的通项公式；
（2）设数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S6 b3 ， S12 b4 ，求 Sn .
18.（本小题满分 12 分）
已知在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 2c cos2 B 2bcos B cosC a .
（1）求 B ；
91
（2）若 AB 边上的中线长为 ， a 3，求ABC 的周长.
2
19.（本小题满分 12 分）身高体重指数（ BMI ）这个概念，是由 19 世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，
它的计算公式如下：身高体重指数（ BMI ）=体重（ kg ）身高（m）的平方.成人的 BMI 数值低于 18.5，
则体重过轻，在[18.5,24) 则正常；在[24,28) 为过重，在[28,32) 为肥胖，不低于 32 为非常肥胖，且专家指
出最理想的体重指数是 22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用
科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取 100 人， BMI 都分布在16,36
内，按 BMI 分成5 组进行统计： [16,20) ，[20,24) ，[24,28) ，[28,32) ，[32,36) .统计后分别制成如下的
频率分布直方图.
科学饮食组 对照组
（1）求a，b，并估计科学饮食组的 80%分位数（结果精确到小数点后两位）；
（2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的 100 人中抽取 25 人，再从这 25 人中随机抽取2 人，记其中“肥
胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X 的分布列与数学期望.
20.（本小题满分 12 分）
如图， AE 平面 ABCD ， CF 平面 ABCD ， AD AB ， AD//BC ， AB AD 3 ， AE BC 6 .
（1）求证： DE// 平面 BCF ；
2 21
（2）试求 CF 为何值时，直线 CE 与平面 BEF 所成角的正弦值为 .
63
21.（本小题满分 12 分）
2
函数 f (x) ln x 在 x 4 处的切线方程为 y h(x) .
x
（1）求 h(x) ；
1
（2）已知 a 1 ，过 (a,b) 可作 f (x) 的三条切线，证明： h(a) b f (a) .
3
22.（本小题满分 12 分）
x2 y2
已知椭圆 C ： 1， O 为坐标原点，若椭圆 C 与椭圆 C 的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭
8 2
圆 C 的长轴长与椭圆 C 的长轴长之比为1: 2 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 P 在椭圆 C 上，点A，B 在椭圆 C 上，若 OP OA OB ，则四边形 OAPB 的面积是否为定值?
若是，求出定值；若不是，请说明理由.
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