命题人：李静 审题人：陈中友
考生注意：本试卷分第卷基础题（133 分）和第卷提高题（14 分）两部分，共 147分.3
分卷面分.
知 识 技 能 学习能力
集合简 函 圆锥 立体 基本不 平面 复
内容 数列 三角函数 关键环节
单逻辑 数 曲线 几何 等式 向量 数
分数 10 15 35 20 20 5 5 18 5 14
第卷 基础题（共 131分）
一、选择题（每小题5 分，共 45分）
U {1,2,3,4,5,6}, A {1,3,6}, B {2,3,4} A U B
1. 设集合 ，则 （ ）
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
2. 设数列an 的公比为 q，则“ a1 0 且 0 q 1”是“an 是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 x
3. 函数 f x x2log 的大致图象是（ ）
4 2 x
A. B. C. D.
4. 设 a 20.3 ,b sin28 ,c ln2 ，则（ ）
A. c b a B. b c a
C. a b c D. b a c
3y x
5. 已知 2x 24 y 3 ，则 的值为（ ）
xy
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A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
6. 若三棱锥 P ABC 中，已知 PA 底面 ABC ， BAC 120 ， PA AB AC 2 ，若该三棱雉的
顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 10 3 B. 18 C. 20 D. 9 3
3
7. 已知函数 f x sinxcosx cos2x ，则下列说法不正确的是（ ）
2
A. 函数 f x 的最小正周期为
B. 函数 f x 的图象关于点 ,0 对称
6
1
C. 函数 f x 的图象可由 y sin x 的图象上所有点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到
3 2
D. 函数 f x 的图象可由 y sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位得到
6
x2 y2
8. 已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线
1 2 a2 b2 2
交双曲线于点 P ，若 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. 5 C. 3 D. 2
sin 2 x, x 0
f (x) a 的
9. 设 a R ，函数 f (x) 2 ，若 在区间 a, 内恰有 5 个零点，则 取
x 4x 7 4a, x 0
值范围是（ ）
7 5 11 7 5 3 7 5 11 3 7 5
A ,2 , B. ,2 2, C. , , D. , 2,
. 4 2 4 4 2 2 4 2 4 2 4 2
二、填空题：每小题 5 分，共 30 分.
2a i
10. 已知复数 是纯虚数，则实数 a ______.
2i 1
11. 抛物线 y2 8x ，过焦点的弦 AB 长为 8，则 AB 中点 M 的横坐标为____.
2 2
12. 已知圆 x 2ax y 0a 0 截直线 x y 0 所得弦长是 2 2 ，则 a 的值为______．
n
13. 设数列 an 的通项公式为 a 2n 1cos ，其前 n 项和为 Sn ，则 S20 __________
n 2
m 1n 1
14. 已知 m 0 ， n 0 ， m 2n 1，则 的最小值为______.
mn
15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形 ，其中正六边形边长为 1，设
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AG xAB y AI ，则 x y ______； P 是平面图形 边上的动点，则 GE AP 的取值范围是______.
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 72 分）
16. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的 边分别为 a，b，c.已知 sin A 3 sin C ， B 150 ，ABC 的面
积为 3 .
（1）求 a 的值；
（2）求 sin A 的值；
（3）求 sin 2A 的值.
6
17. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， PA 面ABCD ， M 是棱 PD 的中点，且
AB AC PA 2 ， BC 2 2 ．
（I）求证： CD 面PAC ； （）求二面角 M AB C 的大小；
10 AN
（）若 N 是 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 成角的正弦值为 ，求 的值．
5 NB
2 2
x y 1
18. 设椭圆 1(a b 0) 的右焦点为 F，左右顶点分别为 A，B．已知椭圆的离心率为 ，
a2 b2 2
| AF | 3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知 P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线 BP 交 y 轴于点 Q，若四边形 OPQA 的面积是三角形
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BFP 面积的 3 倍，求直线 BP 的方程．
19. 已知数列an ,bn , Sn 是数列an 的前 n 项和，已知对于任意 n N* ，都有 3an 2Sn 3，数列
bn 是等差数列， b1 log3a1 ，且 b2 5,b4 1,b6 3 成等比数列.
（1）求数列an 和bn 的通项公式.
bn2 1
（2）记 dn ,n N ，求数列dn 的前 n 项和Tn .
bnbn1an
a ,n为奇数
n 2n
（3）记 cn ，求 ck ck 1 .
bn ,n为偶数
k 1
2
第卷提高题（共 14 分）
20. 已知函数 f x ex a 1 x 1，其中 a R .
（1）当 a 3 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）讨论函数 f x 的单调性；
（3）当 a 1 时，证明： f x xlnx acosx .
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静海一中 2023-2024 第一学期高三数学（12月）
学生学业能力调研试卷
命题人：李静 审题人：陈中友
考生注意：本试卷分第卷基础题（133 分）和第卷提高题（14 分）两部分，共 147分.3
分卷面分.
知 识 技 能 学习能力
集合简 函 圆锥 立体 基本不 平面 复
内容 数列 三角函数 关键环节
单逻辑 数 曲线 几何 等式 向量 数
分数 10 15 35 20 20 5 5 18 5 14
第卷 基础题（共 131分）
一、选择题（每小题5 分，共 45分）
U {1,2,3,4,5,6}, A {1,3,6}, B {2,3,4} A U B
1. 设集合 ，则 （ ）
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 AU B .
【详解】由题设可得 U B 1,5,6 ，故 AU B 1,6 ，
故选：B.
2. 设数列an 的公比为 q，则“ a1 0 且 0 q 1”是“an 是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
a
【详解】由等比数列的通项公式可得， a a qn1 1 qn ，
n 1 q
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a a
当 a 0 且 0 q 1时，则 1 0 ，且 y qn 单调递减，则 a 1 qn 是递减数列，故充分性满足；
1 q n q
a1 n a1 0 a1 0
当 an q 是递减数列，可得 或 ，故必要性不满足；
q 0 q 1 q 1
所以“ a1 0 且 0 q 1”是“an 是递减数列”的充分不必要条件.
故选：A
2 x
3. 函数 f x x2log 的大致图象是（ ）
4 2 x
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函
数值的符号排除即可判断.
2 x
【详解】方法一：因为 0 ，即 x 2 x 2 0 ，所以 2 x 2 ，
2 x
2 x
所以函数 f x x2log 的定义域为 2,2 ，关于原点对称，
4 2 x
2 x
又 f x (x)2 log f x ，所以函数 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，
4 2 x
故排除 B, C ；
2 x 2 x
当 x 0,2 时， 1，即 log4 0 ，因此 f x 0 ，故排除 A.
2 x 2 x
故选:D.
方法二：由方法一，知函数 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B, C ；
1
又 f 1 log 3 0 ，所以排除 A.
2 2
故选：D.
4. 设 a 20.3 ,b sin28 ,c ln2 ，则（ ）
A. c b a B. b c a
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C. a b c D. b a c
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.
1 1 1
【详解】 a 20.3 20 1,b sin28 sin 30 ，而 e 2 e ，则 ln 2 1，即 c 1，
2 2 2
所以 b 故选：B 3y x 5. 已知 2x 24 y 3 ，则 的值为（ ） xy A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数与对数互化的公式表示出 x log 3, y log 3 ，再利用换底公式和对数的运算性质化 2 24 简计算. x y 【详解】因为 2 24 3 ，所以 x log2 3, y log24 3 ，由换底公式和对数的运算性质可得 3y x 3 1 3 1 8 1 3log3 2 log3 24 log3 8 log3 24 log3 log3 1. xy x y log2 3 log24 3 24 3 故选：C 6. 若三棱锥 P ABC 中，已知 PA 底面 ABC ， BAC 120 ， PA AB AC 2 ，若该三棱雉的 顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 10 3 B. 18 C. 20 D. 9 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知三棱锥 P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱 柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得． 【详解】三棱锥 P ABC 中，已知 PA 底面 ABC ， BAC 120 ， PA AB AC 2 ， 故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥 P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球， 所以外接球的直径 2R 42 22 2 5 ，则 R 5 ， 2 所以该球的表面积为 S 4R2 4 5 20 ． 第3页/共 19页 故选：C． 3 7. 已知函数 f x sinxcosx cos2x ，则下列说法不正确的是（ ） 2 A. 函数 f x 的最小正周期为 B. 函数 f x 的图象关于点 ,0 对称 6 1 C. 函数 f x 的图象可由 y sin x 的图象上所有点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 3 2 D. 函数 f x 的图象可由 y sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位得到 6 【答案】B 【解析】 【分析】首先化简函数 f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断 A，整体代入法判断对称中心 判断 B，利用函数图象变换法则即可判断 CD. 3 1 3 【详解】 f x sinxcosx cos2x sin 2x cos 2x sin 2x ， 2 2 2 3 2 所以函数的最小正周期T ，故 A 正确； 2 2 3 当 x 时， f sin 2 sin 0 ， 6 6 6 3 3 2 所以 ,0 不是函数 f (x) 的一个对称中心，故 B 错误； 6 1 由 y sin x 的图象上所有点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 y sin(2x ) ， 3 2 3 故 C 正确； 将 y sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位得到 y sin[2(x )] sin(2x ) ，故 D 正确. 6 6 3 故选：B 第4页/共 19页 x2 y2 8. 已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 与双曲线的一条渐近线平行的直线 1 2 a2 b2 2 交双曲线于点 P ，若 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 b 【分析】设过 F 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P ，运用双曲线的定义和条件可 2 a 得| PF1 | 3a ，| PF2 | a ，| F1F2 | 2c ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所 求值． b 【详解】设过 F 与双曲线的一条渐近线 y x 平行的直线交双曲线于点 P ， 2 a 由双曲线的定义可得| PF1 | | PF2 | 2a ， 由| PF1 | 3| PF2 | ，可得| PF1 | 3a ，| PF2 | a ，| F1F2 | 2c ， 1 a b cosF1F2 P 2 由 tan F1F2 P 可得 b c ， a 1 a2 在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得： 2 2 2 | PF1 | | PF2 | | F1F2 | 2 | PF2 | | F1F2 | cosF1F2 P ， a 即有 9a2 a2 4c2 2a 2c ，化简可得 c2 3a2 ， c c 所以双曲线的离心率 e 3 ． a 故选：C． sin 2 x, x 0 f (x) a 9. 设 a R ，函数 f (x) 2 ，若 在区间 a, 内恰有 5 个零点，则 的取值 x 4x 7 4a, x 0 范围是（ ） 7 5 11 7 5 3 7 5 11 3 7 5 A. ,2 , B. ,2 2, C. , , D. , 2, 4 2 4 4 2 2 4 2 4 2 4 2 【答案】D 【解析】 9 13 【分析】解法一：利用排除法，分别令 a 和 a 求解函数的零点进行判断， 4 8 第5页/共 19页 解法二：分类讨论，分 f x 在区间 a,0 有 5 个零点且在区间0, 没有零点， f x 在区间 a,0 有 4 个零点且在区间0, 有1个零点和 f x 在区间 a,0 有 3 个零点且在区间0, 有 2 个零点三 种情况求解即可 9 sin 2 x, x 0 9 【详解】法一（排除法）：令 a ，则 f (x) 2 ，当 x 0 时， f x 在区间 ,0 4 x 4x 2, x 0 4 有 4 个零点，当 x 0 时， f 0 2 0 ， 24 0 ， f x 在区间0, 有1个零点，综上所述， f x 在区间 a, 内有 5 个零点，符合题意，排除 AC. sin 2 x, x 0 13 13 令 a ，则 f (x) 2 1 ，当 x 0 时， f x 在区间 ,0 有 3 个零点，当 x 0 8 x 4x , x 0 8 2 1 时， f 0 0 ， 14 0 ， f x 在区间0, 有 2 个零点，综上所述， f x 在区间 a, 2 内有 5 个零点，符合题意，排除 B，故选 D. 法二（分类讨论）：当 f x 在区间 a,0 有 5 个零点且在区间0, 没有零点时，满足 0 5 ，无解； 3 a 2 0 当 f x 在区间 a,0 有 4 个零点且在区间0, 有1个零点时，满足 f 0 0 ，解得 5 a 2 2 5 2 a ； 2 0 当 f x 在区间 a,0 有 3 个零点且在区间0, 有 2 个零点时，满足 f 0 0 ，解得 3 2 a 2 3 7 a ， 2 4 3 7 5 综上所述， a 的取值范围是 , 2, ， 2 4 2 故选：D. 第6页/共 19页