数学
本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
z
1. 已知复数 z 满足 z z 2 ， z z 4i ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5
已知集合 M x y ln 1 2x ， N y y ex ，则 （ ）
2. M N
1 1 1
A. 0, B. , C. , D.
2 2 2
3. 已知向量 a 2,4 ， b 1,t ，若 a 与 b 共线，则向量 a b 在向量 j 0,1 上的投影向量为
（ ）
A. j B. j C. 2 j D. 2 j
b
4. 已知函数 f x a ab 0 是奇函数，则（ ）
3x 1
A. 2a b 0 B. 2a b 0 C. a b 0 D. a b 0
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最
上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……．记各层球数构成数列an ，且an1 an 为等
1
差数列，则数列 的前100 项和为（ ）
an
99 100 99 200
A. B. C. D.
100 101 50 101
6. 直线 l : y kx 2 与圆 C : x2 y2 6x 7 0 交于 A，B 两点，则 AB 的取值范围为（ ）
A. 7,4 B. 2 7,8 C. 3,4 D. 2 3,8
1 3
7. 已知 0 ， cos ， sin ，则 tan tan 的值为（ ）
2 5 5
1 3 5
A B. C. D. 2
. 2 5 3
1
8. 若函数 f x x3 ax2 x 1在区间 0,2 上存在极小值点，则 a 的取值范围为（ ）
3
5 5 5
A. 1, B. 1, C. ,2 D. 1,
4 4 4
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了 200 户家庭十月份的用
电量（单位：kWh），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方
图，则（ ）
A. 图中 a 的值为 0.015
B. 样本的第 25 百分位数约为 217
C. 样本平均数约为 198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在170,230 内的户数为 108
x2 y2
10. 已知双曲线 E : 1a 0 的左、右焦点别为 F1 ， F2 ，过点 F2 的直线 l 与双曲线 E 的右支相
a2 2
交于 P,Q 两点，则（ ）
A. 若 E 的两条渐近线相互垂直，则 a 2
B. 若 E 的离心率为 3 ，则 E 的实轴长为1
若 F PF 90 ，则 PF PF 4
C. 1 2 1 2
D. 当 a 变化时，AF1PQ 周长的最小值为8 2
3
11. 已知点 P ,1 是函数 f x sin x b 0 的图象的一个对称中心，则（ ）
8 4
3
A. f x 1是奇函数
8
2 8
B. k ， k N*
3 3
3 11
C. 若 f x 在区间 , 上有且仅有 2 条对称轴，则 2
8 8
2 14
D. 若 f x 在区间 , 上单调递减，则 2 或
5 5 3
12. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 M，N，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ， BC 的中
点，Q 为平面 PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线 DB1 的夹角为 30 ，则（ ）
A. DB1 平面 PMN
B. 平面 PMN 截正方体所得的截面面积为 3 3
C. 点 Q 的轨迹长度为
D. 能放入由平面 PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
3 3
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，点 M 在 C 上， MF x 轴，若OFM （O 为坐标原
点）的面积为 2，则 p ______.
5
14. 2x2 x y 的展开式中 x5 y2 的系数为______（用数字作答）.
15. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上， PC 平面 ABC ， PC BC 6 ， AB 2 6
6
，且 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为 ，则该球的表面积为______.
6
16. 已知函数 f x e2x 2a x 2ex a2 x2 a 0 恰有两个零点，则 a ______.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 1 .
（1）求数列an 的通项公式；
log2 an ,n为奇数
（2）若数列bn 满足 bn ，求数列bn 的前 2n 项和T2n .
为偶数
an ,n
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， CD//AB ， ABC 90， AB 2BC 2CD 4 ，三棱锥
4 2
B PAD 的体积为 .
3
（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；
（2）若 PA PD ，平面 PAD 平面 ABCD ，点 N 在线段 AP 上， AN 2NP ，求平面 NCD 与平面
ABCD 夹角的 余弦值.
19. 记 AABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin B csin C asin A 2bsin Bsin C 且
C .
2
（1）求证： B A ；
2
（2）求 cos A sin B sin C 的取值范围.
20. 已知函数 f x x 2ln x 1 ax .
（1）当 a 0 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）当 1 x 0 时， f x 0 ，求 a 的取值范围.
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河
和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同
学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，内
部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等
可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用
X 表示甲购买的次数，求 X 的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥
物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 3,0 ，点 P x, y 是平面内的动点.若以 PF 为直径的圆与圆
O : x2 y2 4 内切，记点 P 的轨迹为曲线 E．
（1）求 E 的方程；
（2）设点 A0,1 ， M t,0 ， N 4 t,0t 2 ，直线 AM，AN 分别与曲线 E 交于点 S，T（S，T 异于
A）， AH ST ，垂足为 H，求 OH 的最小值．
2024 届广州市高三年级调研测试
数学
本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.
不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
z
1. 已知复数 z 满足 z z 2 ， z z 4i ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5
【答案】C
【解析】
【分析】由条件求得 z ，即可计算模长.
【详解】 z z 2 ， z z 4i ， 2z 2 4i ， z 1 2i ，
z 12 (2)2 5 .
故选：C.
2. 已知集合 M x y ln 1 2x ， N y y ex ，则 M N （ ）
1 1 1
A. 0, B. , C. , D.
2 2 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得 M , N ，进而求得 M N .
1 1
【详解】由1 2x 0 ，解得 x ，所以 M x | x ，
2 2
而 y=ex 0 ，所以 N y | y 0，
1
所以 M N 0, .
2
故选：A
3. 已知向量 a 2,4 ， b 1,t ，若 a 与 b 共线，则向量 a b 在向量 j 0,1 上的投影向量为
（ ）
A. j B. j C. 2 j D. 2 j
【答案】C
【解析】
【分析】根据 a 与 b 共线，可得 2t 4 0 ，求得 t 2 ，再利用向量 a b 在向量 j 0,1 上的投影向
(a b) j j
量为 ，计算即可得解.
j j
【详解】由向量 a 2,4 ， b 1,t ，
若 a 与 b 共线，则 2t 4 0 ，所以 t 2 ，
a b (1,2) ，
所以向量 a b 在向量 j 0,1 上的投影向量为：
(a b) j j (1,2)(0,1)
j 2 j ，
j j 1
故选：C
b
4. 已知函数 f x a ab 0 是奇函数，则（ ）
3x 1
A. 2a b 0 B. 2a b 0 C. a b 0 D. a b 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.
【详解】 f x 的定义域为x | x 0，
由于 f x 是奇函数，所以 f x f x 0 ，
b b b3x b
所以 a a 2a
3x 1 3x 1 3x 1 3x 1
b1 3x
2a 2a b 0 .
3x 1
故选：B
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最
上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……．记各层球数构成数列an ，且an1 an 为等
1
差数列，则数列 的前100 项和为（ ）
an
99 100 99 200
A. B. C. D.
100 101 50 101
【答案】D
【解析】
【分析】根据累加法求得 an ，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】 a1 1,a2 3,a3 6 ， a2 a1 2,a3 a2 3 ，
由于an1 an 为等差数列，所以 an1 an 2 n 11 n 1，
所以 an a1 a2 a1 a3 a2 an an1
1 n
1 2 3 n n ， a 也符合，
2 1
nn 1 1 2 1 1
所以 an , 2 ，
2 an nn 1 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 200
所以数列 的前100 项和为 21 21 .
an 2 2 3 100 101 101 101
故选：D
6. 直线 l : y kx 2 与圆 C : x2 y2 6x 7 0 交于 A，B 两点，则 AB 的取值范围为（ ）
A. 7,4 B. 2 7,8 C. 3,4 D. 2 3,8
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出 AB 的取值范围.
【详解】由题易知直线 l : y kx 2 恒过 M 0,2 ，
2
圆 C : x2 y2 6x 7 0 化为标准方程得 C : x 3 y2 16 ，
即圆心为 C 3,0 ，半径 r 4 ，
圆心到 M 0,2 距离 CM 3 02 0 22 13 4 ，
所以 M 0,2 在圆 C 内，
则直线l 与圆 C 交点弦 AB 最大值为直径即 8，
AB 最小时即为圆心到直线距离最大，
即 CM l 时，此时 AB 2 42 13 2 3 ，
所以 AB 的取值范围为 2 3,8 .
故选：D
1 3
7. 已知 0 ， cos ， sin ，则 tan tan 的值为（ ）
2 5 5
1 3 5
A. B. C. D. 2
2 5 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
1
【详解】 cos cos cos sin sin ，
5
3
sin sin cos cos sin ，
5
cos cos sin sin 1
，分子分母同时除以 cos cos 得：
sin cos cos sin 3
1 tan tan 1
，
tan tan 3
0
由于 0 ，所以 0 ，所以 0 ，
2 2 2
0
2
2
3 4
所以 cos 1 ，
5 5
sin 3
所以 tan ，
cos 4
tan tan 3 3 3
即 , tan tan tan tan ，代入得：
1 tan tan 4 4 4
1 tan tan 1
3
3 3 3 ，解得 tan tan .
tan tan 5
4 4
故选：B
1
8. 若函数 f x x3 ax2 x 1在区间 0,2 上存在极小值点，则 a 的取值范围为（ ）
3
5 5 5
A. 1, B. 1, C. ,2 D. 1,
4 4 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据 f x 的零点、 f x 的极值点的情况列不等式，由此求得 a 的取值范围.
1
【详解】 f x x3 ax2 x 1， f x x2 2ax 1，
3
f x x2 2ax 1的开口向上，对称轴为 x a ，与 y 轴的交点为 0,1 ，
当 a 0 时，在区间 0, 上， f ( x) >0 ， f x 单调递增，
没有极值点，所以 a 0 ，