数学（理科）
1．本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页。全卷满分 150 分，
考试时间 120 分钟。
2．答第卷时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号；答第卷时，用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，
字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3．考试结束后，监考员将答题卡收回。
第卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1 i
1.已知 i 是虚数单位，若 a bia,b R ，则 a b 的值是（ ）
1 i
1 1
A. 1 B. C. D.1
3 2
2.集合 A x 1 x 1 ， B x x a ，若 A B x x 1 ，则 a 的取值范围为（ ）
A.1,1 B. 1,1 C.1,1 D. 1,1
3.如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：则下列正确的是（ ）
A. f 3 1
B. f 1 3
C.若 f x 16 ，则 x 2 或 14
D.若 f x 16 ，则 x 2 或 14
x y 5 0
4.若实数 x ， y 满足 y 5 ，则 z x y 的最大值为（ ）
0 x 2
A.5 B.7 C.9 D.6
5.已知 f x x2 3xf 1 ，则 f 2 （ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
6.已知向量 a m,n ， b cos,sin ，其中 m,n, R .若 a 4 b ，则当 ab 2 恒成立时实数 的
取值范围是（ ）
A. 2 或 2 B. 2 或 2
C. 2 2 D. 2 2
7.已知函数 f x ln x ，若 b a 0 ，且 f a f b ，则 2a b 的取值范围是（ ）
A. 2 2, B. 2 2, C. 3, D.3,
8.已知 0, ，且 3cos 2 8cos 5，则 sin （ ）
5 2 1 5
A. B. C. D.
3 3 3 9
9.随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具.某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路
考的行驶路线，即从 A 点出发沿曲线段 B 曲线段 C 曲线段 D ，最后到达 E 点.某观察者站在点 M 处观
察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，设观察者从点 A 开始随车子运动变化的视角为 ，即
AMP( 0) ，练车时间为 t ，则函数 f t 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、
戊 5 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人.若甲、乙两人不能
同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A.8 种 B.14 种 C.20 种 D.16 种
11.设函数 f x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数， f x 为 f x 的导函数，当 x 0 时，
x 2 f x
xln x f x f x 0 ，则使得 0 成立的 x 的取值范围是（ ）
x 1
A. ,20,1 B.2,0 0,1
C.2,0 1, D. ,2 1,
12.已知函数 f x xex 2aln x x 有两个零点，则 a 的最小整数值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
第卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
数列 中， ， ，若 ，则
13. an a1 2 amn aman ak 1 1024 k ________.
5
2 1 4
14.在二项式 x 的展开式中，含 x 的项的系数是________.
x
15.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测
试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 x 近似地服从正态分布 N , 2 ，用样本平均
数 x 和标准差 S 分别作为 、 的近似值，其中样本标准差 S 的近似值为 50，现任取一辆汽车，则它的单次
最大续航里程 X 250,400的概率为________.
（参考数据：若随机变量 X ~ N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545 ， P 3 X 3 0.9973）
16.设函数 f x sin x 0 ，已知 f x 在0,2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：
5
f x 在 0,2 有且仅有 3 个极大值点； f x 在 0,2 有且仅有 2 个极小值点； 的取值范围是
12 29
, ； f x 在 0, 上单调递增.
5 10 10
其中所有正确结论的编号是________.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）
已知等差数列 的前 项和为 ， ，
an n Sn a2 3 S5 a3 30 .
（ ）求 及 ；
1 an Sn
a
（ ）若 n1 ，求数列 的前 项和
2 bn bn n Tn .
Sn Sn1
18.（本小题满分 12 分）
某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额 x
（单位：亿元）对年盈利额 y （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展 10 年期间年研发资
金投入额 和年盈利额 数据进行分析，建立了两个函数模型： 2 ， xt ，其
xi yi i 1,2,,10 y x y e
中 、 、 、 均为常数， 为自然对数的底数，令 2 ， ，经计算得如下数
t e ui xi vi ln yi i 1,2,,10
据：
x 26 y 215 u 680 v 5.36
10 10 10 10
2 2 2
xi x 100 ui u 22500 ui u yi y 260 yi y 4
i1 i1 i1 i1
10 10
2
vi v 4 xi x vi v 18
i1 i1
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（系数精确到 0.01）
（3）若希望 2024 年盈利额 y 为 800 亿元，请预测 2024 年的研发资金投入额 x 为多少亿元？（结果精确到 0.01）
n
xi x yi y
附：相关系数 r i1 ，参考数据： ln 2 0.693， ln 5 1.609 .
n n
2 2
xi x yi y
i1 i1
n
xi x yi y
回归直线 中： i1 ，
y bx a b n a y bx .
2
xi x
i1
19.（本小题满分 12 分）
1
已知函数 f x ax 2 ln x .
2
（1）当 a 1时，求 f x 的极值；
（2）若不等式 f x 1 a x 1恒成立，求整数 a 的最小值.
20.（本小题满分 12 分）
B C
ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， a 6 ， bsin a sin B .
2
（1）求角 A 的大小；
（2） M 为ABC 内一点， AM 的延长线交 BC 于点 D ，________，求ABC 的面积.
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题.
M 为ABC 的外心， AM 4 ；
M 为ABC 的重心， AM 2 3 ；
M 为ABC 的内心， AD 3 3 .
21.（本小题满分 12 分）
1 m
已知函数 f x x sin x ln x 1 .
2 2
（1）当 m 2 时，试讨论函数 f x 在 , 上的单调性；
（ ）存在 ， ， ，求证： 2
2 x1, x2 0, x1 x2 f x1 f x2 x1x2 m .
（二）选考题：共 10 分.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给
分.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
xOy x C1
cos 4 .
（ ） 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角坐标方
1 M C1 P OM OP OM 16 P C2
程；
（ ）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 ，求 面积的最大值．
2 A 2, B C2 OAB
3
23.（本小题满分 10 分）
已知 a b c 3 ，且 a ， b ， c 都是正数.
1 1 1 3
（1）求证： ；
a b b c a c 2
（2）是否存在实数 m ，使得关于 x 的不等式 x2 mx 2 a2 b2 c2 对所有满足题设条件的正实数 a ，b ，
c 恒成立？如果存在，求出 m 的取值范围；若果不存在，请说明理由.