高三数学
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
M x | 3x2 17x 0 , N {x Z| 2 x 4}
1. 已知集合 ，则 M N （ ）
A. 1,2,3 B. 0,1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3
2 mi
2. 若复数 5 i 为纯虚数，则 m （ ）
i
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
3. 已知函数 f x 2x2 ax ，则“ f x 在区间1,2 上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A. a 4 B. a<0
C. a 5 D. a 4
4. 老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步 3 公里，以后每天跑步比前一天
增加的距离相同.若老张打算用 20 天跑完 98 公里，则预计这 20 天中老张日跑步量超过 5 公里的天数为
（ ）
A. 8 B. 9 C. 13 D. 14
5. 两直线 3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的 距离为（）
10 7 2 10 2
A. B. 10 C. D. 13
5 20 5 13
6. 已知直线 kx y 2k 0 与直线 x ky 2 0 相交于点 P，点 A4,0 ，O 为坐标原点，则 tan OAP
的最大值为（ ）
3
A. 2 3 B. C. 1 D. 3
3
7. 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于点 A，B，与圆 x2 y2 4x 3 0 交于点
P，Q，其中点 A，P 在第一象限，则 2 AP QB 的最小值为（ ）
A. 2 2 3 B. 2 2 5 C. 4 2 5 D. 4 2 3
8. 设 a 0.1， b sin0.1， c 1.1ln1.1 ，则 a,b,c 的大小关系正确的是（ ）
A. b c a B. b a c C. a b c D. a c b
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二、多选题（每题 5 分，共计 20 分，少选 2 分，错选 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
3
A. 已知点 A(2,3) ， B(3,2) ，若直线 y k(x 1) 1与线段 AB 有交点，则 k 或 k 4
4
B. m 1是直线 l1 ： mx y 1 0 与直线 l2 ： m 2 x my 2 0 垂直的充分不必要条件
C. 经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上的截距都相等的直线的方程为 x y 2 0
D. 已知直线 l1：ax y 1 0 ， l2 ： x ay 1 0 ， a R ，和两点 A(0,1) ， B(1,0) ，如果 l1 与 l2 交于
点 M ，则 MA MB 的最大值是1.
10. 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，公差为d ．已知 a3 6 ， S16 0 ， a9 0 ，则（ ）
12 S
A. d 1 B. 数列 n 的最大项为第 9 项
11 an
C. Sn 0 时， n 的最小值为 17 D. a8 0
11. 已知抛物线C : y2 2 px( p 0) ，C 的准线与 x 轴交于 K，过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 P、Q 两点，设
PQ 的中点为 M，过 M 作 PQ 的垂线交 x 轴于 D，下列结论正确的是（ ）
A. PKF QKF B. tan PKF sin PFD
C. PQ 最小值为 p D. PQ 2 FD
12. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，顶点 B,C, A1 到
的距离分别为1,2,3，则（ ）
A. BD 平面
B. 平面 A1 AC 平面
C. 直线 AB1 与 所成角比直线 AA1 与 所成角大
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D. 正方体的 棱长为 11
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知集合 M 0,1,a 1，若 1 M ，则实数 a ________．
14. 在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC, AB AC 2, BC 2 3, PA 3 ，则三棱锥 P ABC 的
内切球的表面积等于__________.
15. 已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的
一个 f x 的解析式为 f x __________.
m,n R ， f m n f m f n ； f x 为奇函数； f x 在 R 上单调递减.
2
16. 已知 f x x 8x 10 ， x R ，数列an 是公差为 1 的等差数列，若 f a1 f a2 f a3 的
值最小，则 a1 ________．
四、解答题；本题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 f (x) 2 3sin x cos x 2cos2 x 1(x R)
p
（1）求函数在 - ,0的单调递减区间;
2
（2）求函数 f (x) 的最小正周期及在区间 0, 上的最大值和最小值.
2
*
18. 设数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S2 4,an1 2Sn 1n N ．数列bn 是首项为 a1 ，公差不为
零的等差数列，且 b1,b2 ,b7 成等比数列．
（1）求数列an 和bn 的通项公式；
bn
（2）若 cn ，数列cn 的前 n 项和为Tn ，且Tn m 恒成立，求 m 的取值范围．
an
19. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，
药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的 4 小时
内，药物在白鼠血液内的浓度 y1 （单位：毫克/升）与时间 t（单位：小时）满足关系式 y1 5 at
（ a 0 ，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 y2 （单位：毫克/升）与时间 t
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2 t ,0 t 1,
（单位：小时）满足关系式 y2 4 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物
5 ,1 t 4.
t
和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使
用每种方式给药的浓度之和．
（1）若 a 1，求 4 小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后 4 小时内血液中的药物浓度都不低于 4 毫克/升，求正数 a 的取值范围．
A B c a b
20. 在 bsin csin B ， 3 c cos A b asin C ， 这三个条件中
2 cosC cos A cos B
任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且
满足________.
（1）求 C ；
（2）若 ABC 的面积为8 3 ， AC 的中点为 D ，求 BD 的最小值.
21. 已知函数 f x x alnx x 1 ，其中 a R ．
（1）当 a 1时，求证： f x 在 0, 上单调递减；
（2）若 f x x 0 有两个不相等的实数根 x1, x2 ．
（）求实数 a 的取值范围；
2
（）求证： x1 x2 e ．
ax
22 已知函数 f x ln x 1 .
. x 1
（1）当 a 1时，求 f x 的极值；
（2）若 f x 0 ，求 a 的值；
1 1 1
（3）求证： sin sin sin ln2n N* .
n 1 n 2 2n
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高三数学
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
M x | 3x2 17x 0 , N {x Z| 2 x 4}
1. 已知集合 ，则 M N （ ）
A. 1,2,3 B. 0,1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3
【答案】C
【解析】
17
【分析】根据题意，求得集合 M x | 0 x ， N 2,1,0,1,2,3 ，结合集合交集的概念及运
3
算，即可求解.
2 17
【详解】由题意，集合 M x | 3x 17x 0 x | 0 x ，
3
N {x Z| 2 x 4} 2,1,0,1,2,3 ，
根据集合交集的概念及运算，可得 M N 0,1,2,3 .
故选：C.
2 mi
2. 若复数 5 i 为纯虚数，则 m （ ）
i
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.
2 mi
【详解】 5 i 2i m 5 i 5 m 3i ，
i
所以 5 m 0 ，解得 m 5 ，
故选：A.
3. 已知函数 f x 2x2 ax ，则“ f x 在区间1,2 上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A. a 4 B. a<0
C. a 5 D. a 4
【答案】D
【解析】
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【分析】借助导数研究函数的单调性并运用充分不必要条件的定义即可得到.
【详解】 f x 在区间1,2 上单调递增等价于 f x 4x a 在区间1,2 上大于等于 0 恒成立，
即 在 x 1,2 上恒成立，即 a 4x 4 ，
a 4x max
故 a 4 是 a 4 的充分不必要条件，故 D 正确.
故选：D.
4. 老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步 3 公里，以后每天跑步比前一天
增加的距离相同.若老张打算用 20 天跑完 98 公里，则预计这 20 天中老张日跑步量超过 5 公里的天数为
（ ）
A. 8 B. 9 C. 13 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得这 20 天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解.
【详解】由已知可得这 20 天日跑步量成等差数列，记为a ，
n
设其公差为d ，前 n 项和为 Sn ，且 a1 3
2020 1 2020 1
则 S 20a d ，即 203 d 98 ，
20 1 2 2
1
解得 d ，
5
1 n 14
所以 a a n 1d 3 n 1 ，
n 1 5 5 5
n 14
由 a 5 ，得 5 ，
n 5 5
解得 n 11，
所以这 20 天中老张日跑步量超过 5 公里的天数为 20 11 9 天，
故选：B.
5. 两直线 3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的 距离为（）
10 7 2 10 2
A. B. 10 C. D. 13
5 20 5 13
【答案】B
【解析】
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【分析】
根据两直线平行求得 m 的值，利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】 3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行,
6 3m ,即 m 2
1
直线为 6x 2y 1 0 ,即 3x y 0
2
1
3 7
2 7 10
d 2
32 12 10 20
故选：B
6. 已知直线 kx y 2k 0 与直线 x ky 2 0 相交于点 P，点 A4,0 ，O 为坐标原点，则 tan OAP
的最大值为（ ）
3
A. 2 3 B. C. 1 D. 3
3
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件求出点 P 的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.
【详解】直线 kx y 2k 0 恒过定点 M (2,0) ，直线 x ky 2 0 恒过定点 N(2,0) ，
而 k 1 (1)k 0 ，即直线 kx y 2k 0 与直线 x ky 2 0 垂直，当 P 与 N 不重合时，
PM PN ， PM PN 0 ，
当 P 与 N 重合时， PM PN 0 ，令点 P(x, y) ，则 PM (2 x, y) ， PN (2 x, y) ，
于是得 x2 y2 4 ，显然点 P 与 M 不重合，因此，点 P 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆（除点 M
外），如图，
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观察图形知，射线 AP 绕点 A 旋转 OAP [0, ) ，当旋转到与圆 O： x2 y2 4 相切时， OAP 最
2
大， tan OAP 最大，
因| OA | 4 ， AP 为切线，点 P 为切点，| OP | 2 ， OPA 90 ，则 OAP 30 ，
3
所以 OAP 最大值为 30 ， (tan OAP) tan 30o .
max 3
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简化计
算，快捷解决问题.
7. 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于点 A，B，与圆 x2 y2 4x 3 0 交于点
P，Q，其中点 A，P 在第一象限，则 2 AP QB 的最小值为（ ）
A. 2 2 3 B. 2 2 5 C. 4 2 5 D. 4 2 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将 2 AP QB 表示为焦半径与半径的
关系，然后根据坐标 xA , xB 的特点结合基本不等式求解出 2 AP QB 的最小值.
【详解】如图所示：
因为圆的方程为 x2 y2 4x 3 0 即为 x 22 y2 1，所以圆心为 2,0 即为抛物线 y2 8x 的焦点
且半径 R 1
因为 2 AP QB 2 AF R BF R ，所以 2 AP QB 2 AF BF 3，
p p
又因为 AF x x 2 ， BF x x 2 ，
A 2 A B 2 B
所以 2 AP QB 2xA xB 3，
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x my 2 2 2
设 l : x my 2 ，所以 2 ，所以 x 4 8m x 4 0 ，所以 xAxB 4，
y 8x
所以 ，取等号时
2 AP QB 2xA xB 3 2 2xA xB 3 4 2 3 xA 2, xB 2 2 .
综上可知： 2 AP QB 4 2 3 .
min
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛
p
y2 2 px p 0
物线 上任意一点 M x0, y 0 以及焦点 F ，则有 MF x0 ；(2)当过焦点的直线l 与抛
2
2
2 p 2
物线 y 2 px p 0 相交于 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则有 x x , y y p .
1 2 4 1 2
8. 设 a 0.1， b sin0.1， c 1.1ln1.1 ，则 a,b,c 的大小关系正确的是（ ）
A. b c a B. b a c C. a b c D. a c b
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数 f x sin x x 比较 a，b，构造函数 g(x) (1 x)ln(1 x) x 比较 a，c
作答.
【详解】令函数 f x sin x x ， x [0, ) ，当 0 x 时， f x cos x 1 0 ，即 f x 在
2 2
(0, ) 上递减，
2
则当 0 x 时， f (x) f (0) ，即 sin x x ，因此 sin 0.1 0.1，即 b a ；
2
令函数 g(x) (1 x)ln(1 x) x ， 0 x 1，当 0 x 1时， g(x) ln(1 x) 0 ，则 g(x) 在( 0, 1) 上
单调递增，
则当 0 x 1时， g(x) g(0) 0 ，即 (1 x)ln(1 x) x ，因此 0.11.1ln1.1，即 a c ，
所以 a,b,c 的大小关系正确的是b a c .
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析
并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
二、多选题（每题 5 分，共计 20 分，少选 2 分，错选 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
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