数学（文科）
本试卷共 23 小题，共 150 分，共4页.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第卷（选择题 共 60分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的.
A 1,0,1,2, B x 0 2 x 3
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
A. {0,1} B. {1,0} C. {1,0,1} D. {0,1,2}
2. 已知 z 2 i 1，则复数 z 的虚部为（ ）
1 1 1 1
A. B. C. i D. i
5 5 5 5
3. 已知向量 m (2,) ， n (2 ,4) ，若 m 与 n 共线且同向，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 或 4
4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
第1页/共5页
2 2
A. 8 B. 8 2 C. 4 D. 4 2
3 3
1
5. 已知 sin x cos x ，则 sin 2x （ ）
2
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2
6. 为庆祝我国第 39 个教师节，某校举办教师联谊会，甲乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”
4 3
比赛，每轮比赛由甲乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮
5 4
比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
3 19 7 1
A. B. C. D.
5 20 20 20
7. 已知 p : 0 x 1； q : x m ，若 p 是 q的充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m 0 B. m 1 C. m 0 D. m 1
8. 已知双曲线 mx2 y2 1 的一条渐近线的斜率为 2，则 m （ ）
1 1
A. 4 B. 4 C. D.
4 4
9. 下列函数中，在0, 上是减函数且是偶函数的是（ ）
1
A. f (x) x2 1 B. f (x) x3 C. f (x) lg D. f (x) 2|x|
| x |
10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角
坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数 y 4sin(x )
0,| | 的图象上，且图象过点 ,2 ，相邻最大值与最小值之间的水平距离为 ，则使得函数
2 24 2
单调递增的区间的是（ ）
第2页/共5页
5
A. , B. ,
3 4 8 24
5 3 5 3
C. , D. ,
24 8 8 4
11. 已知 F 是抛物线 C ： y2 2 px 的焦点， x 2 是抛物线 C 的准线，点 N 0,t （ t 0 ）连接 FN 交
抛物线 C 于 M 点， MN MF 0 ，则OFN 的面积为（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 2 D. 4 2
12. 设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 3x2ex ，且 f 0 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. f x 在 R 上单调递减 B. f x 在 R 上单调递增
C. f x 在 R 上有最大值 D. f x 在 R 上有最小值
第卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知单位向量 a ， b 满足 2a b b ，则 a 与 b 的夹角为 __________.
log2 (1 x), x 0
14. 函数 f (x) ，则 f (3) f (log 3) __________.
x 2
4 , x 0
15. 已知 ABC 中， AB=3， AC=2 ， A 60 ，则 ABC 的外接圆面积为___________.
16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为 64 球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 等差数列an 中， a2 4 ， a4 a7 15 ．
（1）求数列an 的通项公式；
an 2
（2）设 bn 2 n ，求 b1 b2 b3 b10 的值．
18. 某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市 1565 岁的 人群抽样，回答问题统
计结果如图表所示．
第3页/共5页
回答正确 回答正确的人数占
组别 分组
的人数 本组的概率
第 1 组 [15，25) 5 0.5
第 2 组 [25，35) a 0.9
第 3 组 [35，45) 27 x
第 4 组 [45，55) b 0.36
第 5 组 [55，65] 3 y
（1）分别求出 a，b，x，y 的值；
（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第 2 组至少有
1 人获得幸运奖的概率．
19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， BCD 120 ，侧面 PAB 底面 ABCD ，
PB 2 2 ， AB AC PA 2.
（1）求证： BD 平面 PAC
1
（2）过 AC的平面交 PD 于点 M，若V V ，求三棱锥 P AMC 的体积．
M —PAC 2 P— ACD
x2 y2 3
20. 已知椭圆 E : 1a b 0 的离心率为 ；，与直线 l : x y 5 0 有且只有一个公共点.
a2 b2 2
（1）求椭圆 E 的方程；
第4页/共5页
（ ）过点 M 1,0 的直线 l 与椭圆 交于两点 A, B ，若 ，求直线 l 的方程
2 2 E AM 2 MB 2
21. 已知函数 f x alnx a x ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）证明：当 a 0 时， f x 3a 2 ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第
一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
x cos
22. 在直角坐标系： xOy 中曲线C1 的参数方程为 （ 为参数）， M 是C1 上的动点， P 点满
y 1 sin
足 OP 3OM ， P 点的轨迹为曲线 C2 ．
（）求 C2 的参数方程；
3
（）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 y x 与C1 的异于极点的交点为 A ，
3
与 C2 的异于极点的交点为 B ，将曲线C1 、 C2 的方程转化为极坐标方程后，求 AB ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 设函数 f (x) | 2x 1| | x a |,a R
（1）当 a 1时，解不等式 f (x) 3 ；
（2）若存在 x R ，使得 f (x) a 1 成立，求 a 的取值范围.
第5页/共5页
汉中市 2024 届高三年级教学质量第一次检测考试
数学（文科）
本试卷共 23 小题，共 150 分，共4页.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第卷（选择题 共 60分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的.
A 1,0,1,2, B x 0 2 x 3
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
A. {0,1} B. {1,0} C. {1,0,1} D. {0,1,2}
【答案】A
【解析】
【分析】将集合 B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.
【详解】将集合 B 化简可得 B x 1 x 2，
则 A B 0,1
故选:A
2. 已知 z 2 i 1，则复数 z 的虚部为（ ）
1 1 1 1
A. B. C. i D. i
5 5 5 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.
第1页/共 18页
1 2 i 2 1 1
【详解】由 z 2 i 1可得 z i ，即虚部为 .
2 i 5 5 5 5
故选：A
3. 已知向量 m (2,) ， n (2 ,4) ，若 m 与 n 共线且同向，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 或 4
【答案】C
【解析】
【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数 的值.
【详解】由题意，
m (2,) ， n (2 ,4) ，
m 与 n 共线且同向
(2 ) 8 0 ，解得 2 或 4 ，
当 4 时， m 与 n 共线且反向，舍去，
故选：C．
4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
2 2
A. 8 B. 8 2 C. 4 D. 4 2
3 3
【答案】A
【解析】
【详解】根据三视图可知：该几何体是一个圆锥和正方体的组合体.
1 2 2
圆锥的体积为 12 2 ，正方体的体积为 8，故几何体的体积为：8
3 3 3
故选：A
第2页/共 18页
1
5. 已知 sin x cos x ，则 sin 2x （ ）
2
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2
【答案】C
【解析】
【分析】将条件等式两边平方，利用 sin2 x cos2 x 1，结合二倍角公式，即可求解.
1
【详解】因为 sin x cos x ，
2
1
所以 sin2 x cos2 x 2sin x cos x ，
4
3
所以 sin 2x ．
4
故选：C.
【点睛】本题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值，属于基础题．
6. 为庆祝我国第 39 个教师节，某校举办教师联谊会，甲乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”
4 3
比赛，每轮比赛由甲乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮
5 4
比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
3 19 7 1
A. B. C. D.
5 20 20 20
【答案】B
【解析】
【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即
可；法二，利用对立事件的概率和为1，间接法可得.
【详解】设事件 A “甲猜对”， B “乙猜对”， C “几何队至少猜对一个成语”，
4 3 1 1
所以 P A , PB ，则 P A , PB .
5 4 5 4
由题意知，事件 A, B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互独立，
法一： C AB AB AB ，且 AB, AB, AB 两两互互斥，
则 P(C) P(AB) P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B)
1 3 4 1 4 3 19
.
5 4 5 4 5 4 20
法二：事件 C 的对立事件 C “几何队一个成语也没有猜对”，即 C AB ，
第3页/共 18页
1 1 19
则 P(C) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(A)P(B) 1 .
5 4 20
故选：B.
7. 已知 p : 0 x 1； q : x m ，若 p 是 q的充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m 0 B. m 1 C. m 0 D. m 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分，必要条件与集合的包含关系，即可求解.
【详解】若 p 是 q的充分条件，则x 0 x 1 x x m ，
所以 m 0 .
故选：C
8. 已知双曲线 mx2 y2 1 的一条渐近线的斜率为 2，则 m （ ）
1 1
A. 4 B. 4 C. D.
4 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出 m 的值.
x2
y2 1
【详解】根据 mx2 y2 1 ,得到 1 ,
m
则焦点在 y 轴，故渐近线为 y mx ，
则 m 2 ，故 m 4 .
故选：A
9. 下列函数中，在0, 上是减函数且是偶函数的是（ ）
1
A. f (x) x2 1 B. f (x) x3 C. f (x) lg D. f (x) 2|x|
| x |
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【 详解】解：根据题意，依次分析选项：
第4页/共 18页
对于 A ， f (x) x2 1 ，是偶函数，在区间 (0,) 上是增函数，不符合题意；
对于 B ， f (x) x3 ，是奇函数，不符合题意；
1
对于 C ， f (x) lg ，是偶函数，在区间 (0,) 上是减函数，符合题意；
| x |
对于 D ， f (x) 2|x| ，是偶函数，但在区间 (0,) 上是增函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握幂指对函数的性质，属于基础题．
10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角
坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数 y 4sin(x )
0,| | 的图象上，且图象过点 ,2 ，相邻最大值与最小值之间的水平距离为 ，则使得函数
2 24 2
单调递增的区间的是（ ）
5
A. , B. ,
3 4 8 24
5 3 5 3
C. , D. ,
24 8 8 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得出函数的周期，求出 ，根据点的坐标，结合 的取值范围，求出 的值.然后得出函
数的单调区间，即可得出答案.
T 2
【 详解】由已知可得， ，所以T ， 2 ， y 4sin 2x .
2 2 T
又图象过点 ,2 ，所以有 4sin 2 ，
24 12
1
所以， sin .
12 2
5 7
因为 ，所以 ，
2 12 12 12
第5页/共 18页