2023-2024 学年度 12 月学情调研试卷
高三数学
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
A x x2 4 B x y log x
1. 若集合 ， 2 ，则 A B （ ）
A 2,2 B. 0,2 C. 0,2 D. 2,
.
2. 已知复数 z 满足 z 1 i 2 2i （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A. 2 B. 2i C. 2 D. 2i
3. 设平面向量 a ， b 均为单位向量，则“ a 2b = 2a+b ”是“ a b ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 北京时间 2020 年 11 月 24 日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三
步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等 11 个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，
若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为 200 公里，远月点（离月面最远的点）约为 8600 公里，
以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为 1740 公里，则
此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A. 0.48 B. 0.32 C. 0.82 D. 0.68
5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2 ，则它们的体
积比是（ ）
A. 1: 10 B. 1: 5 C. 2 : 10 D. 2 : 5
15 1
3
6. 等差数列an 各项均为正数，首项与公差相等， ，则 a2023 的值为（ ）
k 1 ak ak 1
A. 6069 B. 6079 C. 6089 D. 6099
2 1
7. 已知函数 f (x) ln x2 1 x 2 ，正实数 a,b 满足 f (2a) f (b 2) 4 ，则 的最小值为（ ）
a b
9
A. 5 B. C. 4 D. 9
2
f x 2x
8. 已知函数 f x 在 R 上都存在导函数 f x ，对于任意的实数 e ，当 x 0 时，
f x
f ln 2 1
f x f x 0 ，若 a ， b ef 1 ， c 5 f ln ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
2 5
A. a c b B. c b a C. c a b D. a b c
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2 分．
9. 若 a b 且 ab 0 ，则下列结论成立的是（ ）
1 1
A. B. a3 b3 C. a a b b D. 2a 3b
a b
10. 函数 f x sin x 0, 的图象如图所示，则（ ）
2
A. 2
B.
6
5
C. 对任意的 x 都有 f x f
12
D. f x 在区间 , 上的零点之和为
3
2 2
11. 已知 A x1, y1 ， B x2 , y2 是圆 O： x y 1 上两点，则下列结论正确的是（ ）
1
A. 若点 O 到直线 的距离为 ，则
AB 2 | AB | 3
3
B. 若 AOB 的面积为 ，则 AOB
4 3
1 3
C. 若 x x y y ，则点 O 到直线 AB 的距离为
1 2 1 2 2 2
D. x1 y1 1 的最大值为 2 1，最小值为 2 1
12. 在正四棱锥 P ABCD 中， AB 2 ， PA 3 ，点 Q 满足 PQ PA xAB y AD ，其中
x 0,1 ， y 0,1 ，则下列结论正确的有（ ）
A. PQ 的最小值是 2
B. 当 x 1时，三棱锥 P ADQ 的体积为定值
C. 当 x y 时， PB 与 PQ 所成角可能为
6
30
D. 当 x y 1时， AB 与平面 PAQ 所成角正弦值的最大值为
6
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 若命题“ x 1,3, x2 ax 1 0 ”是假命题，则实数 a 的最大值为______．
14. 已知向量 a 2 ， b 在 a 方向上的投影向量为 3a ，则 a b _______.
15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边
三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方
法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；.依次进行“ n 次分形”（ n N* ）.规
定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为 1 的正三角形“ n 次分形”后所得分形
图的长度不小于 120，则 n 的最小值是______.（参考数据： lg 2 0.3010 ， lg3 0.4771）
2ln x, x 1
2
16. 已知函数 f x 3 ，令 g x f x kx ，当 k e 时，有 g x0 0 ，则 x0
x 2x, x 1
______；若函数 g x 恰好有 4 个零点，则实数 k 的取值范围为_________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在 ABC 中， A ， B ， C 的对边别为 a ， b ， c ，若 a cosC 3asin C b c 0 .
（1）求角 A ；
3 3
（2）若 b c 4 ， S ，求 a .
ABC 4
n
18. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2 2an 1.
（1）求数列an 的通项公式；
an n1 n *
（2）求数列 n 1 3 n N 的前 n 项和Tn .
2
19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AD//BC ， AB BC ．点 M 在棱 PB 上，
2
PM 2MB ，点 N 在棱 PC 上， PA AB AD BC 2 ．
3
（1）若 CN 2NP ， Q 为 PD 的中点，求证： NQ// 平面 PAB ；
2 PN
（2）若直线 PA 与平面 AMN 所成角的正弦值为 ，求 的值．
3 PC
20. 如图，半径为 1 的光滑圆形轨道圆O1 、圆O2 外切于点 M ，点 H 是直线 O1O2 与圆O2 的交点，在圆形
轨道O1 、圆O2 上各有一个运动质点 P ， Q 同时分别从点 M 、 H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点
P ， Q 运动的角速度之比为 2：1，设点 Q 转动的角度为 ，以O1 为原点， O1O2 为 x 轴建立平面直角坐标
系．
2
（1）若 为锐角且 sin ，求 P 、 Q 的坐标；
4 10
（2）求 PQ 的最大值．
x2
21. 已知椭圆 C : y2 1(a 1) 的上顶点为 A ，右焦点为 F ，直线 AF 与圆
a2
M : x2 y2 6x 2y 7 0 相切．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若不过点 A 的动直线l 与椭圆相交于 P ， Q 两点，若 kAP kAQ 2 ，求证：直线l 过定点，并求出该
定点坐标.
22. 已知函数 f x 2ax x2 2ln x .
（1）若 f x 在定义域内单调，求实数 a 的取值范围；
5
（2）若 a ，m，n 分别为 f x 的极大值和极小值，求 m n 的取值范围.
2
2023-2024 学年度 12 月学情调研试卷
高三数学
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
A x x2 4 B x y log x
1. 若集合 ， 2 ，则 A B （ ）
A. 2,2 B. 0,2 C. 0,2 D. 2,
【答案】C
【解析】
【分析】解二次不等式和对数函数的性质化简集合 A, B ,再取交集即可得解.
2
【详解】由 x2 4 ，可得 2 x 2 ，所以 A x x 4 2,2 ，
由对数函数的性质得 B x y log2 x 0, ，
则 A B (0,2].
故选：C.
2. 已知复数 z 满足 z 1 i 2 2i （ i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A. 2 B. 2i C. 2 D. 2i
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求得 z ，进而求得 z ，由此得解.
【详解】因为 z 1 i 2 2i ，
2 2i 21 i1 i
所以 z 2i ，
1 i 1 i1 i
则 z 2i ，所以 z 的虚部为 2 .
故选：A.
3. 设平面向量 a ， b 均为单位向量，则“ a 2b = 2a+b ”是“ a b ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】将 a 2b = 2a+b 两边平方，化简后即可得 a b ，由此即可选出答案.
2 2 2 2
【详解】因为 a 2b = 2a+b a 4a b+4 b =4 a +4a b+ b
a b=0 a b ，
所以“ a 2b = 2a+b ”是“ a b ”的充分必要条件，
故选：C.
4. 北京时间 2020 年 11 月 24 日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三
步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等 11 个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，
若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为 200 公里，远月点（离月面最远的点）约为 8600 公里，
以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为 1740 公里，则
此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A. 0.48 B. 0.32 C. 0.82 D. 0.68
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.
【详解】由题意可知椭圆实轴长 2a 200 8600 21740 12280 ，所以 a 6140 ，
焦距 2c 2a (200 1740) 2 12280 3880 8400 ，所以 c 4200 ，
c 4200
所以椭圆的离心率 e 0.68 ，
a 6140
故选：D.
5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2 ，则它们的体
积比是（ ）
A. 1: 10 B. 1: 5 C. 2 : 10 D. 2 : 5
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥母线长为 l ，小圆锥半径为 r 、高为 h ，大圆锥半径为 R ，高为 H ，根据侧面积之比可得 R 2r ，
再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到l 3r ，利用勾股定理得到 h,H 关于 r 的表达式，从而将两个圆锥
的体积都表示成 r 的表达式，求出它们的比值即可.
【详解】设圆锥母线长为 l ，侧面积较小的圆锥半径为 r ，
侧面积较大的圆锥半径为 R ，它们的高分别为 h 、 H ，
则 rl:(Rl)=1:2 ，得 R 2r ，
因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
r+R
所以 2= 2 ，得l 3r ，
l
再由勾股定理，得 h l 2 r 2 2 2r ，
同理可得 H l 2 R2 5r ，
所以两个圆锥的体积之比为：
1 2 1 2
r 2 2r : 4r 5r 1: 10 .
3 3
故选：A.
15 1
3
6. 等差数列an 各项均为正数，首项与公差相等， ，则 a2023 的值为（ ）
k 1 ak ak 1
A. 6069 B. 6079 C. 6089 D. 6099
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列an 的公差为d ，结合等差数列的通项公式，利用裂项相消法化简方程求出d ，由此
得解.
【详解】设等差数列an 的公差为 d d 0 ，
因为首项 a1 与公差d 相等，所以 an a1 n 1d nd ，
1 a a 1 15 1
k1 k 3
因为 ak1 ak ， ，
ak ak1 ak1 ak d k 1 ak ak 1
15 1 1 1 3 d
所以 a16 a1 ( 16d d ) 3 ，所以 d 3，
k 1 ak ak 1 d d d
所以 a2023 2023 d 20233 6069 ，
故选：A．
2 1
7. 已知函数 f (x) ln x2 1 x 2 ，正实数 a,b 满足 f (2a) f (b 2) 4 ，则 的最小值为（ ）
a b
9
A. 5 B. C. 4 D. 9
2
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的对称性与单调性，从而得到 2a b 2 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为 f (x) ln x2 1 x 2 ，
所以 f x f x ln x2 1 x 2 ln x2 1 x 2 4 ，
故函数 f x 关于 0,2 对称；
又 f x 的定义域为 R ， f x ln x2 1 x 2 ，
所以由复合函数的单调性可判断 f x 在 R 上单调递增；
又 f (2a) f (b 2) 4 ，所以 2a b 2 0 ，即 2a b 2 ，
2 1 1 2 1 1 2b 2a 1 2b 2a 9
又 a 0,b 0 ，故 2a b 5 5 2 ，
a b 2 a b 2 a b 2 a b 2
2b 2a 2
当且仅当 ，即 a b 时，等号成立.
a b 3
2 1 9
所以 的最小值为 .
a b 2
故选：B.
f x 2x
8. 已知函数 f x 在 R 上都存在导函数 f x ，对于任意的实数 e ，当 x 0 时，
f x
f ln 2 1
f x f x 0 ，若 a ， b ef 1 ， c 5 f ln ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
2 5
A. a c b B. c b a C. c a b D. a b c
【答案】B
【解析】
f (x)
【分析】构造函数 g(x) ，研究 g(x) 的奇偶性、单调性，从而比较大小得解.
ex
f (x)
【详解】令 g(x) ，因为 x 0 时， f x f x 0 ，
ex
f x f x
所以当 x 0 时， g(x) 0 ，则 g(x) 在 (,0) 上单调递减，
ex
f (x) f x 2x f x f x
因为 g(x) 的定义域为 R ，又 e ，则 ，
ex f x ex ex
f x f x
所以 g(x) g(x) ，所以 g(x) 为偶函数，
ex ex
故 g(x) 在 (0,) 上单调递增，
f ln 2
又 a g ln 2 ， b ef 1 g 1 g 1 ，
2
1 1
c 5 f ln g ln g ln 5 g ln 5 ，
5 5
而 ln 5 1 ln 2 ，所以 g ln 5 g 1 g ln 2 ，即 c b a .
故选：B.
f (x)
【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出 g(x) ，从而得解.
ex
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2 分．
9. 若 a b 且 ab 0 ，则下列结论成立的是（ ）
1 1
A. B. a3 b3 C. a a b b D. 2a 3b
a b
【答案】BC
【解析】
【分析】举例说明判断 AD；利用不等式性质推理判断 BC.
1 1
【详解】对于 A，取 a 1,b 1 ，满足 a b ，此时 11 ，A 错误；
a b
对于 B， a b ，由不等式性质知， a3 b3 成立，B 正确；
对于 C，当 a 0 b 时， a a 0 b b ，当 0 a b ， 0 | a || b | ，则 a a b b ，
当 a b 0 时， a b 0 ，| a || b | 0 ，则 a | a | b | b | 0 ，于是 a a b b ，