数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、统计、计数原理、
随机变量及分布．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A 2,1,3, B x 2x 3 0
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
3
A. , B. 1 C. 1,3 D. 3
2
2. 命题“ a 0,1， a4 a2 1”的否定是（ ）
A. a 0,1， a4 a2 1 B. a 0,1， a4 a2 1
C. a 0,1 ， a4 a2 1 D. a 0,1 ， a4 a2 1
3. 某学校共1200 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布 N 105, 2 ，若
P105 120 0.35 ，则估计成绩不及格（在 90 分以下）的学生人数为（ ）
A. 240 人 B. 210 人 C. 180 人 D. 150 人
4. 设 a R ，则“ a 0 ”是“ a3 a2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 下列函数中，既是偶函数又在 0, 上单调递增的函数是（ ）
2
x 1 x x 1
A. f x xlnx B. f x C. f x e e D. f x
x x2 1
6. 设 某 批 产 品的 产 量 为 x （单位：万件），总成本 c x 100 13x （单位：万元），销售单价
800
p x 3 （单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润 销售收入-总成本）最大时
x 2
的产量为（ ）
A. 7 万件 B. 8 万件 C. 9 万件 D. 10 万件
7. 定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同
的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列an
1
是等方差数列，且公方差为 3 ， a1 1，则数列 的前 33 项的和为（ ）
an an1
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
2
8. 已知函数 f x x a ln x 有两条与直线 y 2x 平行的切线，且切点坐标分别为 P x1, f x1 ，
1 1
Q x , f x ，则 的取值范围是（ ）
2 2 x x
1 2
A. 0,2 2 B. 0,4 C. 2 2, D. 4,
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 甲、乙两个旅游景区某月初连续 7 天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这 7 天的日均
气温，下列判断正确的是（ ）
A. 甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等
B. 甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等
C. 甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大
D. 乙旅游景区日均气温的极差为1 C
1 1
10. 已知实数 a,b 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
a b
1 1
A. B. a2 b2
a b
1 a 1 a
C. a 1 D.
a 1 b 1 b
11. 已知 f x 为定义在 R 上的偶函数且 f x 不是常函数， F x f 1 x 1, g x f x 1 1，
若 g x 是奇函数，则（ ）
A. y f x 的图象关于 1,1 对称 B. f x f x 4
C. F x 是奇函数 D. F x 与 g x 关于原点对称
2 2
12. 已知数列an 满足 an 0 ， a1 2 ，且 n 1an1 nan an ，则下列说法正确的是（ ）
*
A. n N ， an 1
B. a 是递增数列
n
2
C. a1 a2 an n 1an1 4
a2 a2 a2 a2
D. n 2 ， n N* ， 2 3 4 n 2
22 32 42 n2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x x2 1 ，则 f 0 f 2 __________.
14. 某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演 3 个歌唱类节目和 2 个语言类节目，现
要排出一个节目单，若前 2 个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种．
15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速 v（单位：
1 M
m/s ）可以表示为 v log ，其中 M 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数
2 3 100
是其静止时耗氧量的单位数的 3 3 倍时，它的游速是______ m/s .
x2 ax b, x 0,
16. 已知函数 f x 若 f 1 0, f 0 1，函数 g x f x 2m 恰有三个不同
lgx , x 0,
的零点，则实数 m 的取值范围为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
17. 已知等比数列an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1， a5 9a4a8 ．
（1）求an 的通项公式；
（2）若 bn an log3 an ，求数列bn 的前 n 项和Tn ．
18. 随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在 2015 年，国家开始大力推行科技特长生招生
扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见
稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了 A 、 B 两个参加国内学科竞赛的中学，
从 A 、 B 两个中学的参赛学员中随机抽取了 60 人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
A 中学 11 6
B 中学 34 9
（1）依据 0.10 的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取 5 人，再从这 5 人中任选
3 人进行深度调研，记所选的 3 人中有 X 人来自 A 中学，求 X 的分布列及数学期望 E X ．
nad bc2
附： 2 ，其中 n a b c d ．
a bc d a cb c
0.10 0.05 0.025 0.010
x 2.706 3.841 5.024 6.635
*
19. 已知各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 3 ， an Sn Sn1 （ n N 且 n 2 ）．
（1）求an 的通项公式；
an
（2）若 bn ，求数列b 的前 n 项和Tn ．
2n n
x
20. 已知函数 f x 为 R 上的偶函数， g x 为 R 上的奇函数，且 f x g x log4 4 1 .
（1）求 f x ， g x 的解析式；
1
（2）若函数 h x f x log a 2x 2a 在 R 上只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
2 2
21. 某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了 A，B 两种投篮方案．方案 A：罚球线投篮，投中可以得 2
分，投不中不得分；方案 B：三分线外投篮，投中可以得 3 分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，
1
选择方案 A 投中的概率都为 p 0 p 1 ，选择方案 B 投中的概率都为 ，每人有且只有一次投篮机会，
0 0 3
投中与否互不影响．
4
（1）若甲同学选择方案 A 投篮，乙同学选择方案 B 投篮，记他们的得分之和为 X， P X 3 ，求 X
5
的分布列；
（2）若甲、乙两位同学都选择方案 A 或都选择方案 B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的
均值较大？
1
22. 已知函数 f x x2 ax ax 1lnxa R ，记 f x 的导函数为 g x
2
（1）讨论 g x 的单调性；
（2）若 f x 有三个不同的极值点 x1, x2 , x3 ，其中 x1 x2 x3
求 a 的取值范围；
证明： f x f x f x
3 1 2 .
23. 已知函数 f x Asin x （其中 A 0, 0, ）的部分图像如图所示，将函数 f x 的图象
2
向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象．
4
（1）求 f x 与 g x 的解析式；
（2）令 F x f x g x ，求方程 F x 2 在区间 0,2 内的 所有实数解的和．
通榆一中 2024 届高三上学期期中考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、统计、计数原理、
随机变量及分布．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A 2,1,3, B x 2x 3 0
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
3
A. , B. 1 C. 1,3 D. 3
2
【答案】C
【解析】
3
【分析】由题可得 B , ，然后利用交集的概念即得.
2
3 3
【详解】由 2x 3 0 可得 x ，即 B , ，
2 2
所以 A B 1,3．
故选：C．
2. 命题“ a 0,1， a4 a2 1”的否定是（ ）
A. a 0,1， a4 a2 1 B. a 0,1， a4 a2 1
C. a 0,1 ， a4 a2 1 D. a 0,1 ， a4 a2 1
【答案】D
【解析】
【分析】掌握存在量词的命题的否定需要改变量词和结论的判断词即可.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题 a 0,1， a4 a2 1的否定是 a 0,1 ，
a4 a2 1．
故选:D．
3. 某学校共1200 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布 N 105, 2 ，若
P105 120 0.35 ，则估计成绩不及格（在 90 分以下）的学生人数为（ ）
A. 240 人 B. 210 人 C. 180 人 D. 150 人
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态密度曲线的对称性求出 P 90 的值，再乘以1200 可得结果.
【详解】由已知可得， 105 ，所以 P 105 0.5 ．又 P105 120 0.35 ，
则 P 90 P 120 0.5 P105 120 0.5 0.35 0.15 ，
估计成绩不及格（在 90 分以下）的学生人数为12000.15 180 （人）．
故选：C．
4. 设 a R ，则“ a 0 ”是“ a3 a2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别证明充分性和必要性，即可得到本题答案.
1
【详解】当 a 时，满足“ a 0 ”，但不满足“a3 a2 ”，所以“a 0 ”不能推出“a3 a2 ”，故充
2
分性不成立；
由 a3 a2 ，解得 a 1 ，因“ a 1 ”可以推出“ a 0 ”，故必要性成立.
综上，可知“ a 0 ”是“ a3 a2 ”的必要不充分条件.
故选：B
5. 下列函数中，既是偶函数又在 0, 上单调递增的函数是（ ）
2
x 1 x x 1
A. f x xlnx B. f x C. f x e e D. f x
x x2 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数 f x ex ex 在 0, 的
单调性.
【详解】对于 A， f x xlnx 的定义域为 0, ，定义域不关于原点对称，
函数 f x 为非奇非偶函数，不符合题意；
x2 1 1
对于 B， f x x ，定义域为 ,0 0, ，
x x
1
因为 f x x f x ，所以 f x 为奇函数，不符合题意；
x
对于 C， f x ex ex ，所以 f x ex ex f x ，所以 f x 为偶函数，
又 x 0,, f x ex e x ，
令 h x ex e x ，则 h x ex e x 0 ，
所以 h x 在 0, 上单调递增，
所以 h x h0 0 ，即 f x 0 ，
故函数 f x 在 0, 上单调递增，符合题意；
1
对于 D， f x ，
x2 1
令 x2 1 ，在 0, 上单调递增，
1
而函数 y 在 0, 上单调递减，
1
所以函数 f x 在 0, 上单调递减，不符合题意．
x2 1
故选：C．
6. 设 某 批 产 品 的 产 量 为 x （单位：万件），总成本 c x 100 13x （单位：万元），销售单价
800
p x 3 （单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润 销售收入-总成本）最大时
x 2
的产量为（ ）
A. 7 万件 B. 8 万件 C. 9 万件 D. 10 万件
【答案】B
【解析】
【分析】表达出总利润关于 x 的关系式，变形后利用基本不等式求出最值，得到答案.
800 1600
【详解】总利润 f x x 3 100 13x 732 16 x 2
x 2 x 2
1600 1600
732 2 16 x 2 412 ，当且仅当 16 x 2 ，
x 2 x 2
即 x 8 时， f x 最大，故总利润最大时的产量为 8 万件．
故选：B．
7. 定义“等方差数列”：如果一个数列的 各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同
的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列an
1
是等方差数列，且公方差为 3 ， a1 1，则数列 的前 33 项的和为（ ）
an an1
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
2 2
【分析】根据数列an 是等方差数列，且公方差为 3，得到 an1 an 3 ，再利用等差数列通项公式求得
1 1
an ，从而得到 求解.
an an1 3n 2 3n 1
【详解】解：因为数列an 是等方差数列，且公方差为 3，
2 2 2
所以 an1 an 3 ，又 a1 1，
2 2
所以 an a1 n 13 3n 2 ，
又数列 的各项均为正数，所以 ，
an an 3n 2