数学
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A xx2 x 2 0
1. 已知全集U R ，能表示集合 与 B {x 0 x 5}关系的 Venn 图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 z 1与复数 (z 1)2 8i 都是纯虚数，则 z （ ）
A. 1 i B. 1 2i C. 1 2i D. 1 2i
2tan22.5 1 cos50
3. 设 a ,b 2sin13 cos13 ,c ，则有（ ）
1 tan2 22.5 2
A. a c b B. a b c
C. c b a D. b 4. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛 围，不断提高学生对科学法律健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路科普万里行”知 识竞赛.现抽取 10 个班级的平均成绩： 70717376787881858990 ，据此估计该校各个班级平均成绩 的第 40 百分位数为（ ） A. 77 B. 78 C. 76 D. 80 1 2 5. 已知 ABC ，点 D 在线段 BC 上（不包括端点），向量 AD xAB y AC ， 的最小值为（ ） x y A. 2 2 B. 2 2 2 C. 2 2 3 D. 2 3 2 6. 图 1 是一个水平放置且高为 6 的直三棱柱容器 ABC - A1B1C1 ，现往内灌进一些水，设水深为 h .将容器 底面的一边 AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为A1B1C ，如图 2， 第1页/共7页 则 h （ ） A. 3 B. 4 C. 4 2 D. 6 7. 已知函数 f x sinx 的图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图象所对应的函数解析式是（ ） 1 x 1 A. y f 2x B. y f 2 2 2 x C. y f 1 D. y f 2x 1 2 8. 设 a 0,1 ，若函数 f x a x (1 a)x 在 0, 递增，则 a 的取值范围是（ ） 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 A. , B. ,1 C. ,1 D. 0, 2 2 2 2 2 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 设 AB 为两个互斥的事件，且 P A 0, PB 0 ，则（ ） A. P AB 0 B. P AB P A PB P A B P A P B C. P(A B) 1 D. 10. 已知圆 C : (x 2)2 y2 1 ，点 P 是直线 l : x y 0 上一动点，过点 P 作直线 PAPB 分别与圆 C 相 切于点 AB ，则（ ） 1 3 1 A. 圆 C 上恰有一个点到l 的距离为 B. 直线 AB 恒过定点 , 2 2 2 第2页/共7页 C. AB 的最小值是 2 D. 四边形 ACBP 面积的最小值为 2 11. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BB1 2BC 4，M，N 分别为棱 A1D1, AA1 的中点， 则下列结论正确的是（ ） A. MN // 平面 ABC1 B. B1D 平面 CMN 3 C. 异面直线 CN 和 AB 所成角的余弦值为 3 D. 若 P 为线段 A1C1 上的 动点，则点 P 到平面 CMN 的距离不是定值 1 12. 对于函数 f x sinx sin2x ，则下列结论正确的是（ ） 2 A. 2 是 f x 的一个周期 B. f x 在0,2上有 3 个零点 3 3 C. f x 的最大值为 D. f x 在 0, 上是增函数 4 2 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分. 13. 以下 4 幅散点图所对应的样本相关系数 r1r2r3r4 的大小关系为__________. 第3页/共7页 14. 高中数学教材含必修类课本 2 册，选择性必修类课本 3 册，现从中选择 3 册，要求两类课本中各至少 选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答） 15. 如图，在三棱锥 S ABC 中， SA AB BC 1, SA AB, BC AB ，若 SC 2 ，则直线 SA与 BC 所成角的大小是__________. 16. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家 Pappus（约 300~350 前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点 C 为圆心作圆交角的两 边于 A，B 两点；取线段 AB 的三等分点 O，D；以 B 为焦点，A，D 为顶点作双曲线 H．双曲线 H 与弧 AB 1 的交点记为 E，连接 CE，则 BCE ACB ． 3 双曲线 H 的离心率为________； 若 ACB ，| AC | 3 2 ，CE 交 AB 于点 P，则| OP | ________． 2 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17. 记 Sn 为数列an an 0,n N 的前 n 项和，已知 Sn 是公差为 a1 的等差数列. 第4页/共7页 （1）求an 的通项公式； 1 1 1 1 （2）设 a1 1，证明： a1a2 a2a3 anan1 2 18. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 ， BC CC1 1，若在 CD 上存在点 E ，使得 A1E 平面 AB1D1 . （1）求 DE 的长； （2）求平面 AB1D1 与平面 BB1E 夹角的余弦值. 19. 某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为 20% .为试验一种新药，在有关部门批准后，某 医院把此药给 10 个病人服用，试验方案为：若这 10 个病人中至少有 5 人痊愈，则认为这种药有效，提高 了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的. （1）如果新药有效，把治愈率提高到了80% ，求经试验认定该药无效的概率 p ；（精确到 0.001，参考数 1 2 2 4 3 6 4 8 据：1 C10 2 C10 2 C10 2 C10 2 62201） （2）根据（1）中 p 值的大小解释试验方案是否合理. 20. 在凸四边形 ABCD 中，对角线 ACBD 交于点 E ，且 BE ED, AE 2EC, AB 4, AD 2 2 . （1）若 EC 1，求 BAD 的余弦值； （2）若 ABD ，求边 BC 的长. 4 x2 y2 3 21. 设椭圆 1(a b 0) 的离心率为 ，上下顶点分别为 AB, AB 4 .过点 E 0,1 ，且斜 a2 b2 3 率为 k 的直线l 与 x 轴相交于点 G ，与椭圆相交于 CD 两点. 第5页/共7页 （1）若 GC DE ，求 k 的值； （2）是否存在实数 k ，使得直线 AC 平行于直线 BD ？证明你的结论. 22. 已知函数 f (x) aex (a R) ， g(x) x2 ． （1）若 f (x) 的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数 y=xf（x）的单调区间； （2）当 a>0 时，曲线 f（x）与曲线 g（x）存在唯一的公切线，求实数 a 的值． 第6页/共7页 第7页/共7页 汕头市 2023-2024 学年度普通高中毕业班期中调研测试 数学 一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. A xx2 x 2 0 1. 已知全集U R ，能表示集合 与 B {x 0 x 5}关系的 Venn 图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断. 【详解】因为 A xx2 x 2 0 x1 x 2 ， 又 B {x0 x 5}， 所以 A B {x0 x 2}， 所以 A B A ， AI B B ， A B ， 根据选项的 Venn 图可知选项 D 符合. 故选：D. 2. 已知复数 z 1与复数 (z 1)2 8i 都是纯虚数，则 z （ ） A. 1 i B. 1 2i C. 1 2i D. 1 2i 【答案】D 【解析】 【分析】设 z a bi ，由题意列出方程组，求解即可. 【详解】解：设 z a bi ， 2 2 2 2 则 z 1 (a 1) bi ， z 1 8i=a 1 bi 8i=(a+1) b 2ba 1 8 i ， 第1页/共 22页 a 1 0 b 0 a 1 由题意可得 解得 ， 2 2 , a 1 b 0 b 2 2ba 1 8 0 所以 z 1 2i . 故选：D. 2tan22.5 1 cos50 3. 设 a ,b 2sin13 cos13 ,c ，则有（ ） 1 tan2 22.5 2 A. a c b B. a b c C. c b a D. b 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小. 2 tan 22.5 【详解】 a tan 45 1， b 2sin13cos13 sin 26 ， 1 tan2 22.5 2 1 cos50 1 1 2sin 25 c sin 25 ， 2 2 因为 y sin x 在 0 x 90 时单调递增，所以 sin 25 sin 26 sin 90 1，即 c b a . 故选：C. 4. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛 围，不断提高学生对科学法律健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路科普万里行”知 识竞赛.现抽取 10 个班级的平均成绩： 70717376787881858990 ，据此估计该校各个班级平均成绩 的第 40 百分位数为（ ） A. 77 B. 78 C. 76 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】由第 p 百分位数计算公式可得答案. 0 【详解】因共 10 个数据，则 i 10 40 0 4 ，故该组数据的第 40 百分位数为从小到大排列第 4 个 76 78 数据与第 5 个数据的平均数，即 77 . 2 故选：A 第2页/共 22页 1 2 5. 已知 ABC ，点 D 在线段 BC 上（不包括端点），向量 AD xAB y AC ， 的最小值为（ ） x y A. 2 2 B. 2 2 2 C. 2 2 3 D. 2 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量共线定理的推论得到 x y 1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 ABC ，点 D 在线段 BC 上（不包括端点）， 故存在 ，使得 BD BC ，即 AD AB AC AB ，即 AD AC 1 AB ， 因为向量 AD xAB y AC ，所以 y , x 1 ， 可得 x y 1， x 0 ， y 0 ，由基本不等式得 1 2 1 2 y 2x y 2x x y 1 2 3 2 2 2 3 ， x y x y x y x y 当且仅当 y 2x ，即 y 2 2, x 2 1时等号成立. 故选：C． 6. 图 1 是一个水平放置且高为 6 的直三棱柱容器 ABC - A1B1C1 ，现往内灌进一些水，设水深为 h .将容器 底面的一边 AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为A1B1C ，如图 2， 则 h （ ） A. 3 B. 4 C. 4 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在图 1 中的几何体中，水的体积为V1 SABC h ， 第3页/共 22页