数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．)
3 4i z 2 i z
1. 若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则 （ ）
5 3 1 3
A B. C. D.
. 5 5 5 4
2. 已知集合 M {2,1,0,1,2}， N xx2 x 2 0 ，则 M N （ ）
A. 2,1,0,1 B. 0,1,2 C. 1,0 D. 0,1
r
3. 已知向量 a 1,2 ， b 3,1 ， c x,4 ，若 a c / / b c ，则 x （ ）
A. 3 B. -1 C. 2 D. 4
n
4. 若数列an 满足 a1 1， an1 an 2 ，则 a10 （ ）
A. 511 B. 1023 C. 1025 D. 2047
5. 已知 ， 是一元二次方程 x2 5x 2 0 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 7
x2 x 9
6. 函数 y （ x 0 ）的最小值为（ ）
x
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
7. 已知 a log 2 ， b log 3， c sin ，比较 a，b，c 的大小为（ ）
5 4 6
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c
8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用“<”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数
a,b 下列说法正确的是（ ）
1 1
A. 若 a b ，则 B. 若 a b ，则 2 3
a b ab b
C. 若 a2 b2 ，则 a b D. 若 a b ，则 a2 b2
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．)
9. 下列选项中，能说明“ x ,2 ，都有 x2 4 ”为假命题的x 取值有（ ）.
A. 4 B. 2 C. 0 D. 3
10. 下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A e 1,2 ， e 2,4 B. e 1,2 ， e 2,4
. 1 2 1 2
5
C. e1 0,1 ， e2 2,0 D. e1 3,1 ， e2 5,
3
11. 某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 75 ，距离为12 6 nmile；在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西
30 ，距离为8 3 nmile．货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在南偏东 60 ，则下列说法正确的
是（ ）
A. A 处与 D 处之间的距离是 24nmile
B. 灯塔 C 与 D 处之间的距离是8nmile
C. 灯塔 C 在 D 处的西偏南 60
D. D 在灯塔 B 的北偏西 30
12. 若函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. 2 B. .
6
5
C. f x 在 , 上单调递减 D. f 3
2 6 2
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
13. 函数 y 的定义域为______．
7 6x x2
14. 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知 S5 15 ，则 a3 ____________．
2a 3 x 1 a, x 1
15. 已知函数 f x ，在 , 上单调递增，则实数 a 的取值范围
x, x 1
__________．
2 5
16. 已知 sin ，则 sin 2 的值为________．
5 2
四、解答题（17 题 10 分，18、19、20、21、22 每题 12 分，每题请写出解题过程）
2
17. 已知函数 f x loga x 5x ．
（1）求函数 f x 的定义域；
（2）若函数 f x 的图象过 1,2 ，求 f x 的单调区间．
18. 已知函数 f (x) ln x ax(a R) .
（1）若 a 1，求函数 f (x) 的极值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间.
19. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a9 a10 40 ， S8 8a1 a3 ．
（1）求an 的通项公式；
n1 an
（2）若 bn 1 ，求b 的前 20 项和T ．
nn 1 n 20
20. 如图，在 平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ,A 45 , AB 2, BD 5 .
（1）求 cosADB ；
（2）若BCD 的面积为 46 ，求 BC .
21. 已知函数 f x 2sinxcosx 1 2cos2 x, x R .
（1）求函数 f x 的最小正周期和值域；
（2）若 x 0, ，求函数 f x 的单调递增区间.
22. 已知数列an 的首项 a1 1， an 是 an1 与 1的等差中项．
（1）求证：数列an 1 是等比数列；
1 1 1 1 1
2
a a a a a
（2）证明： 1 2 3 n1 n ．
2023-2024 学年度（上）三校联考高三第三次调研考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．)
3 4i z 2 i z
1. 若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则 （ ）
5 3 1 3
A. B. C. D.
5 5 5 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.
2 i 2 i3 4i 2 i 2 1
【详解】由 3 4i z 2 i z i ，
3 4i 3 4i3 4i 5 5 5
2 2
2 1 5
所以 z .
5 5 5
故选：A
2. 已知集合 M {2,1,0,1,2}， N xx2 x 2 0 ，则 M N （ ）
A. 2,1,0,1 B. 0,1,2 C. 1,0 D. 0,1
【答案】D
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 N ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由 x2 x 2 0 ，即 x 1 x 2 0 ，解得 1 x 2 ，
所以 N xx2 x 2 0 x | 1 x 2 ，
又 M {2,1,0,1,2}，
所以 M N 0,1 .
故选：D
r
3. 已知向量 a 1,2 ， b 3,1 ， c x,4 ，若 a c / / b c ，则 x （ ）
A. 3 B. -1 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由 a c x 1,2 ， b c x 3,3 ，又由 a cb c ，可得： 2 x 3 = 3 x 1 ，解
得 x 3 .
故选：A.
n
4. 若数列an 满足 a1 1， an1 an 2 ，则 a10 （ ）
A. 511 B. 1023 C. 1025 D. 2047
【答案】B
【解析】
【分析】通过累加和等比数列的求和即可得答案.
n
【详解】由题意知: an1 an 2 ，
则有 a a 21 ， a a 22 ， a - a = 23 ，L ， a a 29 ，
2 1 3 2 4 3 10 9
由累加可得 1 2 3 9 ，
a10 a1 2 2 2 2
即 1 2 3 9
a10 1 2 2 2 2
11 210
210 1 1023 .
1 2
故选:B.
5. 已知 ， 是一元二次方程 x2 5x 2 0 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】由于 ， 是一元二次方程 x2 5x 2 0 的两个不相等的实数根，
25 42 0
所以 5 ，故 5 2 3 ，
2
故选：C
x2 x 9
6. 函数 y （ x 0 ）的最小值为（ ）
x
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式求最小值即可.
x2 x 9 9 9 9
【详解】 y x 1 2 x 1 5 ，当且仅当 x ，即 x 3 时等号成立，
x x x x
故选：C
7. 已知 a log 2 ， b log 3， c sin ，比较 a，b，c 的大小为（ ）
5 4 6
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数 y log5 x 和 y log4 x 的单调性，分别比较 a、b 与 c 的大小关系即可.
1
【详解】因为函数 y log x 在 0, 上单调递增，所以 a log 2 log 5 ，
5 5 5 2
1
又 c sin ，所以 a c ；
6 2
1
又因为函数 y log x 在 0, 上单调递增，所以 log 3 log 2 ，
4 4 4 2
所以b c .
综上，b c a .
故选：C
8. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利
奥特首次使用“<”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数
a,b 下列说法正确的是（ ）
1 1
A. 若 a b ，则 B. 若 a b ，则 2 3
a b ab b
C. 若 a2 b2 ，则 a b D. 若 a b ，则 a2 b2
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，或是代入特殊值，即可判断选项.
1 1
【详解】A：若 a 1 b 1，此时 ，与题意不相符，故 A 错误；
a b
B：若 a 0,b 0 ，则 ab2 b3 ，与题意不相符，故 B 错误；
C:若 a 3,b 2 ，则 a2 b2 ，但是 a b ，与题意不相符，故 C 错误；
D:若 a b ，两边平方，则 a2 b2 ，与题意相符，故 D 正确.
故选：D
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．)
9. 下列选项中，能说明“ x ,2 ，都有 x2 4 ”为假命题的 x 取值有（ ）.
A. 4 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】将选项中的取值逐一代入计算可得 AB 为假命题，符合题意.
2
【详解】易知 4,2 ，但 4 16 4 ，此时为假命题，即 A 正确；
2
同理 2,2 ，但 2 4 ，此时为假命题，即 B 正确；
而 0,2 ，但 02 0 4 ，此时为真命题，即 C 错误；
显然 3,2 ，可得 D 错误；
故选：AB
10. 下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A. e1 1,2 ， e2 2,4 B. e1 1,2 ， e2 2,4
5
C. e1 0,1 ， e2 2,0 D. e1 3,1 ， e2 5,
3
【答案】BD
【解析】
【分析】根据坐标判断两向量是否共线即可得到答案.
【详解】对于 A， e1 1,2 ， e2 2,4显然不共线，可以作为一组基底，故 A 错误；
对于 B， e1 1,2 ， e2 2,4 ，则 e2 2e1 ，两向量共线，不能作为一组基底，故 B 正确；
对于 C， e1 0,1 ， e2 2,0 显然不共线，可以作为一组基底，故 C 错误；
5 5
对于 D， e1 3,1 ， e2 5, ，则 e2 e1 ，两向量共线，不能作为一组基底，故 D 正确.
3 3
故选：BD
11. 某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 75 ，距离为12 6 nmile；在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西
30 ，距离为8 3 nmile．货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在南偏东 60 ，则下列说法正确的
是（ ）
A. A 处与 D 处之间的距离是 24nmile
B. 灯塔 C 与 D 处之间的距离是8nmile
C. 灯塔 C 在 D 处的西偏南 60
D. D 在灯塔 B 的北偏西 30
【答案】AC
【解析】
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在ABD 中，由已知得 ADB 60 ， DAB 75 ，
2
12 6
ABsin B 2
则 B 45, AB 12 6 ，由正弦定理得 AD 24 ，
sin ADB 3
2
所以 A 处与 D 处之间的距离为 24 n mile ，故 A 正确；
ADC 在中，由余弦定理得 CD2 AD2 AC 2 2AD AC cos30 ，
又 AC 8 3 ，解得 CD 8 3 ．所以灯塔 C 与 D 处之间的距离为8 3 nmile ，故 B 错误；
AC CD 8 3 ，CDA CAD 30 ，灯塔 C 在 D 处的西偏南 60 ，故 C 正确；
灯塔 B 在 D 的南偏东 60 ，D 在灯塔 B 的北偏西 60 ，故 D 错误；
故选：AC
12. 若函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. 2 B. .
6
5
C. f x 在 , 上单调递减 D. f 3
2 6 2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象结合三角函数的性质一一判定即可.
5 2
【详解】由题图，得 A 2 ，最小正周期T 4 ,所以 2 ，故 A 正确；
12 6
则 f x 2sin 2x ，又 f x 的图象过点 ,0 ，所以 2 2kk Z .
6 6
因为 ，所以 ，故 B 错误；
2 3
f x 2sin 2x ，令 t 2x ，
3 3