高三上学期 12 月月考 数学试题
总分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）
2
1．已知集合 A{ x y lg( x 2)}， B x x x 12 0，则 AB （ ）
A．2,4 B．3,4 C．2,3 D．4,3
2 i
2．已知复数 z ，则 的虚部为（ ）
i z
A．2 B．2i C． 2 D．-2i
3．等边 ABC 的边长为 3，若 AD 2 DC ， BF FD ，则 AF （ ）
19 17 15 13
A． B． C． D．
2 2 2 2
4．下列函数中，既是偶函数又在区间0, 上单调递增的是
A． y x3 B． y cos x C． y ex D． y x 1
5．若椭圆经过原点，且焦点分别为 FF1 1,0 ,2 3,0 , 则其离心率为
3 2 1 1
A． B． C． D．
4 3 2 4
3
6．已知cos 75 ，则 cos 30 的值为（ ）
2 3
1 1 2 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
7．“数列{}an 和数列{}bn 极限都存在”是“数列{}an b n 和数列{}an b n 极限都存在”
的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必
要
8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种
求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余
半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，
开平方得积”．也就是说，在 ABC 中， a,, b c 分别为内角 ABC,, 的对边，那么
2 2 2 2
1 2 2 a c b 3sinB
ABC 的面积 S a c ，若b 2 3 ，且 tanC ，则
4 2
1 3cosB
ABC 面积 S 的最大值为（ ）
A．3 2 B．3 3 C．6 D．3 6
二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
分。）
9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先
进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，
其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为 0.4
B．乙同学体温的众数为 36.4，中位数与平均数不相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第 80 百分位数为 36.5
10．若3x 2 ，5y 3 ，则下列选项正确的有（ ）．
2 1 1
A． x B． x y C． x y 2 xy D． x y
3 x y
11．下列说法中正确的是（ ）
A．全称量词命题“x N ， x2 x ”的否定是“ x N ， x2 x ”
B．若函数 f x 在其定义域内的最大值为 2，最小值为 0，则 f x 的值域
是0,2
C．定义在 R 上的函数 y f() x 的图象与 y 轴有且只有一个交点
D．若 f x 是奇函数，则 f 0 0
12．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将
它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（ ）
2
A．六面体的体积为
6
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 8 6
729
C．折后棱 AB ，CD 所在直线异面且垂直
D．折后棱 AB ，CD 所在直线相交
三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个
数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
14．已知一圆台的高为 3，下底面面积是上底面面积的 4 倍，若圆台的体积
为 7 ，则该圆台的母线长为 ．
4x 3x | 4 x 3x |
15．已知 f() x m 两个不同的零点，则 m 的取值范围
2 2
是 ．
x2 y 2
16．已知双曲线C : 1a 0, b 0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在
a2 b 2
x2 y 2
双曲线C : 1上，点 H 在直线 x a 上，且满足 2HP 3 HF 4 HF 0 .若存
a2 b 2 1 2
PF PF
在实数 使得OH OP 1 2 ，则双曲线C 的离心率为
sinPF2 F 1 sin PF1 F 2
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题
区域的答案无效。）
x x 2 x
17．已知函数 f( x ) cos sin 3 cos ．
3 2 2 3 3
（1）若 x , ，求 f() x 的递增区间和值域；
2
4 3 2
（2）若 f(), x x ，求点sin x0 ．
0 5 2 4 0 3
18．如图，在四面体O ABC 中，M，N，P，Q 分别为 BC，AC，OA，OB 的
中点，若 AB OC ，求证： PM QN ．
3 2
19．已知函数 f x ax bx cx d 的两个极值点为 1，2，且在 x 0 处的切
线方程为 2x y 1 0 ．
(1)求函数 f x 的表达式；
1 5
(2)当 x ,3 时， f x kx 恒成立，求实数 k 的取值范围．
3 6
*
20．已知数列{}an 中， a1 2 ，___________，其中 n N .
(1)求数列{}an 的通项公式：
an
(2)设bn 2 ，求数列{}an b n 的前 n 项和Tn .
2
从前 n 项和 Sn n n ， an1 2 an ， a4 8 且 2an1 a n a n2 ，这三个条
件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
21．肥胖已经成为威胁人类身体健康的第二大危险因素，体重指数是判断是
体重
否肥胖的标准之一（体重指数= ，其中，体重单位：公斤，身高单位：
身高2
米），体重指数超过 24 属于肥胖.为调查青少年的肥胖与性别是否有关，从 17
岁的青少年中随机抽取了 50 位进行调查，其中男生 30 人，女生 20 人，这 20
位女生的原始数据如表所示：已知，50 人中共有 11 人属于肥胖.
编 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
身
高 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
/ 5 6 7 6 7 6 6 7 6 7 6 6 5 6 5 7 6 6 6 6
cm 9 0 2 0 3 5 4 0 1 0 4 8 8 5 5 0 7 3 5 7
体
重
5 5 5 6 6 5 4 5 5 5 5 6 5 5 6 5 5 5 5 8
/
2 5 6 1 1 2 8 0 3 0 1 0 4 7 5 5 6 4 8 5
公
斤
体 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3
重 0 1 8 3 0 9 7 7 0 7 9 1 1 1 7 1 0 0 1 0
指 . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . .
数 6 5 9 4 3 1 8 3 4 3 0 3 6 9 1 1 3 3 5
(1)补充 2 2 列联表，并根据小概率值 0.05的独立性检验，能否认为肥胖与
性别有关系？
是否肥胖
合计
性别 肥胖 不肥胖
男生 30
女生 20
合计 50
n() ad bc 2
附： 2 ，其中 n a b c d .
(a b )( c d )( a c )( b d )
0.050 0.010 0.001
2 3.841 6.635 10.828
(2)从 11 位肥胖的同学中随机抽取 2 人进行减肥减脂训练，记抽取到的女生
人数为 X，求 X 的分布列及均值.
22．一个袋子中装有 n 个红球 (n… 5, n N ) 和 5 个白球，一次摸奖是从袋中同时
摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用 n 表示一次摸奖就中奖的概率；
（2）若 n 5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 P ，当 n 取多少
时， P 最大？
数 学 答 案：
1．A
【分析】求出集合 AB, 可得 AB .
【解析】 A (2, ) ， B ( 3,4) ，故 AB (2,4) ，
故选：A.
2．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数 z ，即可得到其共轭复数，从而
判断可得；
2 i 2 i i
【解析】解：因为 z 1 2i ，所以 z 1 2i ，则 z 的虚部为 2 ；
i i2
故选：A
3．A
1 5 3
【分析】取 BC 中点O ，建立直角坐标系，得到 AF , ，再根据模长的
4 4
坐标公式即可求解.
【解析】
3 3 3 3
如图，取 BC 中点O ，建立直角坐标系，则 ABC0, , ,0 , ,0 ，
2 2 2
2 2 3 3 3
由 AD 2 DC ，若 D(,) x y ，则 AD AC ( , ) (1, 3) ，
3 3 2 2
3 3 3
所以 (x , y ) (1, 3) 得： D1, ，
2 2
1 1 5 3 5 3
由 BF FD ，若 F(,) m n ，则 BF BD (,)(,) ，
2 2 2 2 4 4
3 5 3 1 3
所以 (,)(,)m n 得： F , ，
2 4 4 4 4
2 2
1 5 3 1 5 3 19
所以 AF , ，故 AF .
4 4
4 4 2
故选：A
4．D
【解析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.
【解析】 y x3 是奇函数，故 A 排除； y ex 是非奇非偶函数，C 排除；
y cos x 是偶函数，但在0, 上有增也有减，B 排除，只有 D 正确.
故答案为 D.
5．C
【解析】由题意可知：
3 1 1 3 c 1
c 1, a 2, e .
2 2 a 2
本题选择 C 选项.
6．A
【分析】由二倍角公式可求得 cos 150 的值，结合诱导公式
cos 30 cos 150 即可求得结果.
3
【解析】因为 cos 75 ，
2 3
2
2 3 1
所以cos 150 2cos 75 1 2 1 ，
2 3 3
1 1
所以 cos 30 cos 180 150 cos 150 .
3 3
故选：A.
7．C
liman ,lim b n
【解析】由题意，分别从充分性与必要性两个部分证明，对于充分性， n n
liman + b n liman b n limcn ,lim d n
都存在，证明 n 与 n 存在；对于必要性， n n 都存在，证
liman ,lim b n
明 n n 存在.
liman ,lim b n liman + b n lim an lim bn
【解析】 n n 都存在，所以 n nn ，
liman b n lim an lim bn
n nn ，
liman + b n liman b n
所以 n 与 n 存在，故充分性成立；
1 1
记 cn a n b n ， dn a n b n ，则 a c d ，b c d ，
n2 n n n2 n n
limc ,lim d 1
由题意， n n 都存在，所以 liman = lim cn lim dn ，
n n n 2 nn
1 lima ,lim b
limbn = lim cn lim dn ，所以 n n 都存在，故必要性成立，
n 2 nn n n
所以“数列{}an 和数列{}bn 极限都存在”是“数列{}an b n 和数列{}an b n 极限都存在”
的充分必要条件.
故选：C.
8．B
【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得 c 3 a ，代入“三斜求积”公式，利
用二次函数求解最值.