东莞市2023-2024 学年第一学期七校联考试卷
高三数学
一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
S s s 2 n 1, n Z T t t 4 n 1, n Z
1. 已知集合 ， ，则 ST = （ ）
A. B. S C. T D. Z
z
2. 在复平面内，复数 z 对应的 点为 1,- 1 ，则 （ ）
( ) 1 i
1
A. 2 B. 1 C. D.
2 2
3. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f x ，都有（ ）
A. f x f x 0 B. f x f x 0
C. f x f x 0 D. f x f x 0
4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报 40 元；
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番．
现打算投资 10 天，三种投资方案的总收益分别为 A10 ， B10 ， C10 ，则 ( )
A. ABC10 10 10 B. ACB10 10 10
C. BAC10 10 10 D. CAB10 10 10
x x t
5. 函数 f x e 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A. 6, B. ,6
C. ,4 D. 4,
1
6. 等边 ABC 边长为 2 ， BD BC ，则 AD BC （ ）
3
2 2
A. 1 B. 1 C. D.
3 3
7. 已知正实数 a, b 满足 a b 3 ab ，则 a 4 b 的最小值为（ ）
8
A. 9 B. 8 C. 3 D.
3
8. 向量 a 0,1 ， b 2, 3 ，则 b 在 a 上的投影向量为（ ）
2,0 0,2 3,0 0, 3
A. B. C. D.
二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 某学校一同学研究温差 x（）与本校当天新增感冒人数 y（人）的关系，该同学记录了 5 天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 y2.6 x a ，则（ ）
A. 经验回归直线经过 (8,25) B. a 4.2
C. x 5 时，残差为 0.2 D. 若去掉样本点 (8,25) ，则样本的相关系数 r 增大
10. 已知函数 f x sin x ( 0, ) 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. f x 的图象可由曲线 y sin 2 x 向左平移 个单位长度得到
3
B f x cos 2 x
. 6
2
C. ,0 是 f x 图象的一个对称中心
3
7 5
D. f x 在区间 , 上单调递增
6 4
11. 如图，圆锥 SO 的底面圆 O 的直径 AC 4 ，母线长为 2 2 ，点 B 是圆 O 上异于 A ， C 的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A. SC 与底面所成角为 45
B. 圆锥 SO 的表面积为 4 2
C. SAB 的取值范围是 ,
4 2
D. 若点 B 为弧 AC 的中点，则二面角 S BC O 的平面角大小为 45
12. 已知大气压强 pPa 随高度 hm 的变化满足关系式 lnp0 ln p kh， p0 是海平面大气压强，
k 104 .我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔 /m
第一级阶梯 4000
第二级阶梯 1000 2000
第三级阶梯 200 1000
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为
p1,, p 2 p 3 ，则（ ）
p
A. p 0 B. p p
1 e0.4 0 3
0.18
C. p2 p 3 D. p3 e p2
三填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
5 2 3 4 5
13. 已知 (x 1) a0 axax 1 2 ax 3 ax 4 ax 5 ，则 a3 的值为________．
sin 2
14. 已知 tan 2 ，则 的值为______.
2cos2 1
1 1 1
15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾，坐公交
3 3 3
1 1 1
车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率
4 5 6
是________．
16. 已知 AB, 是球 O 的球面上两点， AOB 60 ， P 为该球面上的动点，若三棱锥 P OAB 体积的最大
值为 6，则球 O 的表面积为________.
四解答题：本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，1819202122 题各 12 分，共 70 分.解答应
写出文字说明证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超
出指定区域的答案无效.
17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acos C c cos A 2 b cos B .
（1）求 B；
（2）若 b 2 3 ， ABC 的面积为 2 3 ，求 ABC 的周长.
18. 如图，在长方体 ABCD A1 B 1 C 1 D 1 中， AA1 AD 2, DC 2 2, BD1 和 BD1 交于点 EF, 为 AB 的
中点.
（1）求证： EF // 平面 ADD1 A 1 ；
（2）求点 A 到平面 CEF 的距离.
*
19. 记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 2Sn 3 a n 3 n N ．
（1）求 an ；
1
（2）若 bn log3 a 2n 1 ，记Tn 为bn 的前 n 项和，且满足Tn 150 ，求 n 的最大值．
an
20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地
农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不
同自然条件的田地中随机抽取 400 亩，统计其亩产量 x （单位：吨 t ）.并以此为样本绘制了如图所示的
频率分布直方图.
2
2 n() ad bc
附： .
a b c d a c b d
0.100 0.050 0. 010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）求这 400 亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后
两位）；
（2）若这 400 亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：
亩产量超过 0.7t 亩产量不超过 0.7t 合计
河水灌溉 180 90 270
井水灌溉 70 60 130
合计 250 150 400
试根据小概率值 0.05的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？
21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖
投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为 p0 p 1 ．
（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮 6 次，恰好投进 4 次的概率为 f p ，求 f p 的最
大值点 p0 ；
（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮 6 次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮
相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的 p0 作为 p 的值；规则二：连续投篮 3 次，每投进
一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的 p0 作为 p 的值，若前次投进，
则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退 1 米，投进概率变为上次投
进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
m
22. 已知函数 f() x x ．
ex
（1）讨论 f() x 的单调性；
（2）若 x1 x 2 ，且 f x1 f x2 2 ，证明： 0m e ，且 x1 x 2 2 ．
东莞市 2023-2024 学年第一学期七校联考试卷
高三数学
一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
S s s 2 n 1, n Z T t t 4 n 1, n Z
1. 已知集合 ， ，则 ST = （ ）
A. B. S C. T D. Z
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得TS ，由此可得出结论.
【详解】任取 t T ，则 t4 n 1 2 2 n 1，其中 n Z ，所以， t S ，故TS ，
因此， STT .
故选：C.
z
2. 在复平面内，复数 z 对应的点为 1,- 1 ，则 （ ）
( ) 1 i
1
A. 2 B. 1 C. D.
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.
【详解】因为复数 z 在复平面内对应的点为(1,- 1) ，
所以 z 1 i .
z 1 i 1 i 1 i 1 2i i2
所以 i ，
1 i 1 i 1 i 1 i 2
z 2
所以 02 1 1.
1 i
故选：B.
3. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f x ，都有（ ）
A. f x f x 0 B. f x f x 0
C. f x f x 0 D. f x f x 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据 f x 为奇函数，可得 f x f x ，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】 f x 为奇函数，
f x f x ，
2
f x f x = f x f x f x 0 ，
2
又 f 0 =0 ， f x 0 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.
4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报 40 元；
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番．
现打算投资 10 天，三种投资方案的总收益分别为 A10 ， B10 ， C10 ，则 ( )
A. ABC10 10 10 B. ACB10 10 10
C. BAC10 10 10 D. CAB10 10 10
【答案】B
【解析】
【分析】设三种方案第 n 天的回报分别为 an ， bn ， cn ，由条件可知{}an 为常数列；{}bn 是首项为 10，公
差为 10 的等差数列；{}cn 是首项为 0.4，公比为 2 的等比数列，然后求出投资 10 天三种投资方案的总收
益为 A10 ， B10 ， C10 ，即可判断大小．
【详解】解：设三种方案第 n 天的回报分别为 an ， bn ， cn ，则 an 40 ，
由条件可知{}an 为常数列；{}bn 是首项为 10，公差为 10 的等差数列；
{}cn 是首项为 0.4，公比为 2 的等比数列．
设投资 10 天三种投资方案的总收益为 A10 ， B10 ， C10 ，
10 9
则 A 400 ； B 10 10 10 550 ；
10 10 2
0.4(1 210 )
C 409.2 ，
10 1 2
所以 BCA10 10 10 ．
故选： B ．
【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公
比等，属于中档题.
x x t
5. 函数 f x e 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A. 6, B. ,6
C. ,4 D. 4,
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可得 y x x t 的单调性，从而可求得 t 的取值范围.
【详解】因为函数 y ex 在 R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 y x x t 在 2,3 上单
t
调递减，则 3 ，解得 t 6 .
2
故选：A
1
6. 等边 ABC 边长为 2 ， BD BC ，则 AD BC （ ）
3
2 2
A. 1 B. 1 C. D.
3 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
1
【详解】如图所示，由 ABC 是边长为 2 的等边三角形，且 BD BC ，可得 AD AB BD ，
3
2 2
所以 AD BC AB BD BC AB BC BD BC 2 2 cos120 2 .
3 3
故选：D.
7. 已知正实数 a, b 满足 a b 3 ab ，则 a 4 b 的最小值为（ ）
8
A. 9 B. 8 C. 3 D.
3
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可
1 1
【详解】由条件知 3 ，
a b
1 1 1 1 a 4 b 1 a 4 b
a4 b ( a 4 b ) 5 5 2 3 ，
3 a b 3 b a 3 b a
当且仅当 a2 b 1时取等号.
故选：C
8. 向量 a 0,1 ， b 2, 3 ，则 b 在 a 上的 投影向量为（ ）
A. 2,0 B. 0,2 C. 3,0 D. 0, 3
【答案】D
【解析】
【分析】直接由投影向量公式求解即可.
a b a
【详解】 b 在 a 上的投影向量为. 3a 0, 3
a a
故选：D.
二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 某学校一同学研究温差 x（）与本校当天新增感冒人数 y（人）的关系，该同学记录了 5 天的数据：
x 5 6 8 9 12