数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 A 0,1,2,3,4， B x 0 x 2, x Z ，则 A B （ ）．
A．0,2 B．1,2 C．0,1,2 D．1,2,4
1 0
2．函数 f x x 1 的定义域是（ ）．
9 x2
A．3,3 B．3,1 1,3
C． 3,3 D． 3,1 1,3
n 1 n
3．已知 p : m n 0 ， q : ，则 p 是 q 的（ ）．
m 1 m
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 0, ，且 cos 2 cos 2 ，则 sin 2 （ ）．
2 4
3 1 1 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
Sn n 2 a3 a9
5．已知等差数列an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，若 ，则 （ ）．
Tn 3n 4 b4 b6 b8
13 26 26 13
A． B． C． D．
111 37 111 37
6．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 B 在同一平面内的两个观测点 C 与 D，现测得
CDB 37 ， BCD 68 ， CD 37.6 米，在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 64 ，则该铁塔的高度约为
（ ）．（参考数据： 2 1.4 ， 6 2.4 ， tan 64 2.0 ， cos37 0.8 ）
A．42 米 B．47 米 C．38 米 D．52 米
7．设 a ln1.04 ， b 1.04 ， c e0.04 ，其中 e 为自然对数的底数，则（ ）．
A． c b a B． b a c C． b c a D． a c b
8．已知 f x 是定义在 R 上的函数，且满足 f 3x 2 为偶函数， f 2x 1 为奇函数，则下列说法一定正
确的是（ ）．
A．函数 f x 的图象关于直线 x 1对称 B．函数 f x 的周期为 2
C．函数 f x 关于点 2,0 中心对称 D． f 2023 0
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列命题中为真命题的是（ ）．
2
A． x R ， sin x B． x R ， ln x 1
2
C． x R ， x2 0 D． x R ， 3x 0
10．函数 f x sin x 0 4 的图象关于直线 x 对称，将 f x 的图象向左平移 个单位
4 6 6
长度后与函数 y g x 图象重合，则关于 y g x ，下列说法正确的是（ ）．
A．函数图象关于直线 x 对称 B．函数图象关于点 ,0 对称
3 3
2
C．在 0, 单调递减 D．最小正周期为
3
11．已知 a，b 均为正实数，且 4a b1 a 0 ，则下列不等式正确的是（ ）．
A． ab 16 B． 2a b 6 4 2
1 16 1
C． a b 0 D．
a2 b2 2
12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 满足 AP AB AD AA1 ， ， ， R
（P，B，D， A1 四点不重合），则下列说法正确的是（ ）．
A．当 1时， PA 的最小值是 1
B．当 1， 时， PB平面 AB1D1
1
C．当 1， 时，平面 PBD 平面 A BD
2 1
2
D．当 1， 0 时，直线 PA，与平面 A B C D 所成角的正切值最大，最大值为
1 1 1 1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 i
13．已知 z ，则 z z __________．
2 2i
2
14．已知平面向量 a ， b ， c 是两两夹角均为 的单位向量，则 a 2b 3c __________．
3
15．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图
所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为 20cm 和10cm ，侧面是全等的等腰梯
形，梯形的高为 5 2cm ，那么这个“升”的“平升”可以装__________mL 的粮食．（结果保留整数）
16．已知函数 f x e3 ， g x a x 1 ， a R ，若 f x g x 恒成立，则实数 a 的取值范围是
__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 1， nSn1 n 2 Sn ．
（1）求数列an 的通项公式；
an bn
（2）设 bn 2 ，若数列cn 满足 cn ，求cn 的前 n 项和．
bn 1bn1 1
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，O 是 BC 的中点， PB PC 3 ，
PD BC 2AB 2 ．
（1）求证：平面 PBC 平面 ABCD ；
（2）求点 A 到平面 PCD 的距离．
19．（12 分）如图，在ABC 中， B ， AC 2AB ，D 为边 BC 上一点， CAD ．
4 6
CD
（1）求 的值；
AD
（2）当 AD 4 时，求线段 AC 的长．
20．（12 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 1， an1 2an 1．
（1）求 an ；
（2）设 bn nan ，求数列bn 的前 n 项和Tn ．
21．（12 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA AB 2 ，且 PA 底面 ABCD ，点 F
是棱 PD 的中点，平面 ABF 与棱 PC 交于点 E．
（1）求 PC 与平面 ABE 所成角的正弦值；
（2）在线段 PB 上是否存在一点 G，使得直线 EG 与直线 AF 所成角为 45 ？若存在，试说明点 G 位置；若
不存在，请说明理由．
22．设函数 f x a ln x ln x 1 m ， a 0 ， m R ．
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）若对任意 0 a 1，函数 f x 均有 2 个零点，求实数 m 的取值范围；
2 3 n1
2
1 2 3 n 1 n
（3）设 n N 且 n 2 ，证明： L 2 2 ．
n n n n