广东深圳外国语学校高中部2024届高三上学期第四次月考-数学试题+答案

2023-12-11·12页·1.5 M

2024 届广东高三12 月联考

数学试题

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为 120 分钟,满分 150 分

一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合 A 0,1,2,3,4, B x 0 x 2, x Z ,则 A B ( ).

A.0,2 B.1,2 C.0,1,2 D.1,2,4

1 0

2.函数 f x x 1 的定义域是( ).

9 x2

A.3,3 B.3,1 1,3

C. 3,3 D. 3,1 1,3

n 1 n

3.已知 p : m n 0 , q : ,则 p 是 q 的( ).

m 1 m

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 0, ,且 cos 2 cos 2 ,则 sin 2 ( ).

2 4

3 1 1 3

A. B. C. D.

4 4 4 4

Sn n 2 a3 a9

5.已知等差数列an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn ,若 ,则 ( ).

Tn 3n 4 b4 b6 b8

13 26 26 13

A. B. C. D.

111 37 111 37

6.如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底 B 在同一平面内的两个观测点 C 与 D,现测得

CDB 37 , BCD 68 , CD 37.6 米,在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 64 ,则该铁塔的高度约为

( ).(参考数据: 2 1.4 , 6 2.4 , tan 64 2.0 , cos37 0.8 )

A.42 米 B.47 米 C.38 米 D.52 米

7.设 a ln1.04 , b 1.04 , c e0.04 ,其中 e 为自然对数的底数,则( ).

A. c b a B. b a c C. b c a D. a c b

8.已知 f x 是定义在 R 上的函数,且满足 f 3x 2 为偶函数, f 2x 1 为奇函数,则下列说法一定正

确的是( ).

A.函数 f x 的图象关于直线 x 1对称 B.函数 f x 的周期为 2

C.函数 f x 关于点 2,0 中心对称 D. f 2023 0

二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.

9.下列命题中为真命题的是( ).

2

A. x R , sin x B. x R , ln x 1

2

C. x R , x2 0 D. x R , 3x 0

10.函数 f x sin x 0 4 的图象关于直线 x 对称,将 f x 的图象向左平移 个单位

4 6 6

长度后与函数 y g x 图象重合,则关于 y g x ,下列说法正确的是( ).

A.函数图象关于直线 x 对称 B.函数图象关于点 ,0 对称

3 3

2

C.在 0, 单调递减 D.最小正周期为

3

11.已知 a,b 均为正实数,且 4a b1 a 0 ,则下列不等式正确的是( ).

A. ab 16 B. 2a b 6 4 2

1 16 1

C. a b 0 D.

a2 b2 2

12.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 满足 AP AB AD AA1 , , , R

(P,B,D, A1 四点不重合),则下列说法正确的是( ).

A.当 1时, PA 的最小值是 1

B.当 1, 时, PB平面 AB1D1

1

C.当 1, 时,平面 PBD 平面 A BD

2 1

2

D.当 1, 0 时,直线 PA,与平面 A B C D 所成角的正切值最大,最大值为

1 1 1 1 2

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

1 i

13.已知 z ,则 z z __________.

2 2i

2

14.已知平面向量 a , b , c 是两两夹角均为 的单位向量,则 a 2b 3c __________.

3

15.“升”是我国古代测量粮食的一种容器,在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平,这叫“平升”,如图

所示的“升”,从内部测量,其上、下底面均为正方形,边长分别为 20cm 和10cm ,侧面是全等的等腰梯

形,梯形的高为 5 2cm ,那么这个“升”的“平升”可以装__________mL 的粮食.(结果保留整数)

16.已知函数 f x e3 , g x a x 1 , a R ,若 f x g x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

__________.

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10 分)已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 1, nSn1 n 2 Sn .

(1)求数列an 的通项公式;

an bn

(2)设 bn 2 ,若数列cn 满足 cn ,求cn 的前 n 项和.

bn 1bn1 1

18.(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,O 是 BC 的中点, PB PC 3 ,

PD BC 2AB 2 .

(1)求证:平面 PBC 平面 ABCD ;

(2)求点 A 到平面 PCD 的距离.

19.(12 分)如图,在ABC 中, B , AC 2AB ,D 为边 BC 上一点, CAD .

4 6

CD

(1)求 的值;

AD

(2)当 AD 4 时,求线段 AC 的长.

20.(12 分)已知数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 1, an1 2an 1.

(1)求 an ;

(2)设 bn nan ,求数列bn 的前 n 项和Tn .

21.(12 分)在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA AB 2 ,且 PA 底面 ABCD ,点 F

是棱 PD 的中点,平面 ABF 与棱 PC 交于点 E.

(1)求 PC 与平面 ABE 所成角的正弦值;

(2)在线段 PB 上是否存在一点 G,使得直线 EG 与直线 AF 所成角为 45 ?若存在,试说明点 G 位置;若

不存在,请说明理由.

22.设函数 f x a ln x ln x 1 m , a 0 , m R .

(1)求函数 f x 的单调区间;

(2)若对任意 0 a 1,函数 f x 均有 2 个零点,求实数 m 的取值范围;

2 3 n1

2

1 2 3 n 1 n

(3)设 n N 且 n 2 ,证明: L 2 2 .

n n n n

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