高三数学试题
本试卷共 22 题．全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
N {x | x 1 x 2 0}
已知集合 M {2,1, 0，1， 2}， ，则 M N
1.
A. 1,0 B. 0,1 C. {1, 0，1} D. {0, 1， 2}
2. 平面直角坐标系 xOy 中， i, j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，向量 a 2i，b i j ，以
下说法正确的是（ ）
r r r
a b a b b
A. B. C. a b 1 D. a A b
3. “ ”是“函数 f (x) sin 2x (x R) 与函数 g(x) cos(2x )(x R) 为同一函数”的
6 3
（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
n1
4. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 Sn t 2 1，则 t （ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为
（ ）.
A. 1: 2 B. 1:3 C. 1: 4 D. 1:5
e e 3
6. 已知 e1,e2 均为单位向量，若 1 2 ，则 e1 与 e2 的夹角为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2x , x 0
7. 已知 f (x) ，若 f (a) 1 则 a 的取值范围是（ ）
log2 x, x 0
A. (,0) B. (0,2) C. (2,) D. (,0) 0,2
8. 已知 f x Asinx A 0, 0, 的一段图象如图所示，则（ ）
3
A. f x sin 2x
4
B. f x 的图象的一个对称中心为 ,0
8
5
C. f x 的单调递增区间是 k , k ,k Z
8 8
5
D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
k
A. “ k 0 ”是“ y 是反比例函数”的既不充分也不必要条件
x
B. “ x 1”是“ x 0 ”的充分不必要条件
C. “ b2 4ac 0 ”是“ ax2 bx c 0(a 0) 有实数解”的充要条件
D. “ m 0 ”是“方程 x2 2x m 0 有一个正根和一个负根”的充要条件
10. 如图， AC 为圆锥 SO 的底面圆 O 的直径，点 B 是圆 O 上异于 A ， C 的动点， SO OC 2 ，则下列
结论正确的是（ ）
A. 圆锥 SO 的侧面积为 2 2
8
B. 三棱锥 S ABC 体积的最大值为
3
C. SAB 的取值范围是 ,
4 3
D. 若 AB BC ， E 为线段 AB 上的动点，则 SE CE 的最小值为 2 3 1
x2ex , x 1
11. 已知函数 f (x) ex ，则下列选项正确的是（ ）
, x 1
x2
A. x 2 是 f (x) 的极大值点
B. x1 (0,1), x2 (1,3) 使得 f (x1) f (x2 )
2
C. 若方程 f (x) 2af (x) 0(a 为参数， a R) 有两个不等实数根，则 a 的取值范围是
2 e2 e
( 2 , ) ,
e 8 2
D. 方程 f (x) ex 有且只有两个实根．
12. 某社区开展“防疫知识竞赛”，甲乙两人荣获一等奖的概率分别为 p 和 q，两人是否获得一等奖相互独
立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）
A. p(1 q) q(1 p) pq B. p q C. pq D.
1 (1 p)(1 q)
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3mn
13. logb 3 m ， logb 2 n ，则 b 的值__________．
14. (x2 2)5 的展开式中 x4 的系数为___________
15. 在 AABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c ，若 a 1， c 3 ， C ，则 A _______．
3
16. 已知函数 f (x)x(82x)(52x)在区间0，3上的最大值是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列an 满足 an1 an 2 ， n N ，且 a2 ， a5 ， a14 构成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
n
（2）设 bn 2 an1 ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
18. 四棱锥 P ABCD 中， AP AC ，底面 ABCD 为等腰梯形， CD//AB ， AB 2CD 2BC 2 ，
E 为线段 PC 的中点， PC CB .
（1）证明： AE 平面 PCB ；
（2）若 PB 2 ，求直线 DP 与平面 APC 所成角正弦值.
2c b cos B 1
19. 在 ， 2a cosC c 2b ， asin AcosC csin 2A 3bcos A 这三个条件中
a cos A 2
任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角 AABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且
______.
（1）求 A ；
（2）求 cos B cosC 的取值范围.
20. 卫生纸要求无毒性化学物质、无对皮肤有刺激性的原料、无霉菌病毒性细菌残留．卫生纸的特征是吸
水性强、无致病菌、纸质柔软厚薄均匀无孔洞、起皱均匀、色泽一致．卫生纸主要是供人们生活日常卫生
之用．是人民群众生活中不可缺少的纸种之一．某品牌卫生纸生产厂家为保证产品质量．现从甲、乙两条
生产线生产的产品中随机抽取 600 件进行品质鉴定．并将统计结果整理如下：
合格品 优等品
甲生产线 160 30
乙生产线 320 90
（1）根据表中数据判断是否有 90% 的把握认为产品的品质与生产线有关？
（2）用分层抽样的方法，从样本的优等品中抽取 8 件进行详细检测，再从这 8 件产品中任选 2 件，求所
选的 2 件产品中至少有 1 件来自甲生产线的概率．
2
2 n(ad bc)
附：， K 其中 n a b c d ．
a bc d a cb d
2
PK k0 0.15 0.10 0.05 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 6.635
21. 已知向量 a,b 满足 a sin x,1,b 1,cos x ，函数 f x a b 1, x R .
（1）求函数 f x 的对称轴方程；
（2）求函数 f x 在 x [0, ] 时的值域.
22. 1.已知函数 f x aex ln x 2 ln a 2 .
（1）若 f x 在 x 0 处取得极值，求 a 的值及函数的单调区间；
（2）请 在 下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
若 f x 0 恒成立，求 a 的取值范围.
若 f x 仅有两个零点，求 a 的取值范围.
2023—2024 学年第一学期青龙县部分学校期中联考
高三数学试题
本试卷共 22 题．全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
N {x | x 1 x 2 0}
1. 已知集合 M {2,1, 0，1， 2}， ，则 M N
A. 1,0 B. 0,1 C. {1, 0，1} D. {0, 1， 2}
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 N，再求 M N 即可．
【详解】集合 M {2,1, 0，1， 2}，
N {x | x 1 x 2 0} {x | 1 x 2} ，
M N 0,1 ．
故选 B．
【点睛】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2. 平面直角坐标系 xOy 中， i, j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，向量 a 2i，b i j ，以
下说法正确的是（ ）
r r r
A. a b B. a b b C. a b 1 D. a A b
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知 i 1,0, j 0,1 ，根据向量垂直和向量共线的坐标表示可判断 BD，根据向量模
的运算可判断 A，根据数量积运算可判断 C.
【详解】由题意不妨设 i 1,0, j 0,1 ，
则 a 2i 2,0 ， b i j 1,1 ，
据此逐一考查所给的选项：
a 4 0 2 ， b 11 2 ，则 a b ，选项 A 错误；
a b 1,1,a b b 11 0 ，则 a b b ，选项 B 正确；
a b 2 0 2 ，则 a b 1，选项 C 错误；
不存在实数 满足 a = b ，则 ab 不成立，选项 D 错误；
故选：B
3. “ ”是“函数 f (x) sin 2x (x R) 与函数 g(x) cos(2x )(x R) 为同一函数”的
6 3
（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.
【详解】若 ，则 g(x) cos 2x sin 2x sin 2x ，即函数
6 6 6 2 3
f (x) sin 2x (x R) 与函数 g(x) cos(2x )(x R) 为同一函数，充分性成立；
3
11
若函数 f (x) sin 2x (x R) 与函数 g(x) cos(2x )(x R) 为同一函数， 的值可以为 ，
3 6
即两个函数数为同一函数不能推出 ，必要性不成立，
6
所以，“ ”是“函数 f (x) sin 2x (x R) 与函数 g(x) cos(2x )(x R) 为同一函数”的
6 3
充分而不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.
n1
4. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 Sn t 2 1，则 t （ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列前 n 项和公式的结构求得 t .
【详解】设等比数列的公比为 q，当 q 1时， Sn na1 ，不合题意；
n
a1 1 q a a
当 q 1时，等比数列前 n 项和公式 S 1 qn 1 ，
n 1 q 1 q 1 q
1 1
依题意 S t 2n1 1 t 2n 1 t 1 0,t 2 .
n 2 2
故选：A
5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为
（ ）.
A. 1: 2 B. 1:3 C. 1: 4 D. 1:5
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算
【详解】设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是 a 、 b 、 c ，
1 1 1
则截去的棱锥的体积V abc abc ，
1 3 2 6
1 5
原长方体的体积V abc ，剩下的几何体的体积为V abc abc abc ，
2 6 6
V1：V2 1：5
故选：D
e e 3
6. 已知 e1,e2 均为单位向量，若 1 2 ，则 e1 与 e2 的夹角为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
【答案】C
【解析】
1
【分析】根据题意 e ,e 均为单位向量，若 e1 e2 3 ，两边平方，解得即 e e ，代入夹角公式，
1 2 1 2 2
根据夹角取值范围，即可求得夹角.
【详解】解：依题意， e1 e2 1， e1 e2 3 ，
1
所以 2 2e e 3 ，即 e e ，
1 2 1 2 2
e1 e2 1
所以 cose1,e2 ，
| e1 || e2 | 2
0 e1,e2 180 ，
所以 e1,e2 120 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的
方法，属于基础题.
2x , x 0
7. 已知 f (x) ，若 f (a) 1 则 a 的取值范围是（ ）
log2 x, x 0
A. (,0) B. (0,2) C. (2,) D. (,0) 0,2
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义域，对 f (a) 1 中的 a 分为 a 0 和 a 0 讨论，代入相应的解析式，并分别
结合指数函数、对数函数的单调性解不等式，即可求出 a 的范围．
【详解】当 a 0 时，由 f (a) 1 得 2a 1 20 ，所以 a<0 ，又 a 0 ，故 a<0 ，
当 a 0 时，由 f (a) 1 得 log2 a 1 log2 2 ，所以 0 a 2 ，又 a 0 ，故 0 a 2 ，
综上， a 的取值范围是 (,0) (0,2) ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查分段函数的不等式解法及指数、对数不等式的解法，同时考查分类讨论的思想，属
于基础题．
8. 已知 f x Asinx A 0, 0, 的一段图象如图所示，则（ ）
3
A. f x sin 2x
4
B. f x 的图象的一个对称中心为 ,0
8
5
C. f x 的单调递增区间是 k , k ,k Z
8 8
5
D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断 A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
T 3 2
【详解】解：由图可知 A 1 ， ，所以T ，解得 2 ，所以
2 8 8 2
3 3 3
f x sin 2x ，又函数过点 ,1 ，即 f sin 2 1，所以
8 8 8
3 5 3
2 2k ,k Z ，解得 2k ,k Z ，因为 ，所以 ，所以
8 2 4 4
3
f x sin 2x ，故 A 错误；
4
3
因为 f sin 2 sin 1，所以函数关于 x 对称，故 B 错误；
8 8 4 2 8
3 5
令 2k 2x 2k ,k Z ，解得 k x k ,k Z ，故函数的单调递增区间
2 4 2 8 8
5
为 k , k ,k Z ，故 C 正确；
8 8
5 5 3
将函数 f x 的图象向左平移 个单位得 y sin 2 x sin 2x cos 2x 为偶函数，
8 8 4 2
故 D 错误；
故选：C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
k
A. “ k 0 ”是“ y 是反比例函数”的既不充分也不必要条件
x
B. “ x 1”是“ x 0 ”的充分不必要条件