考试时间：120 分钟；
第I 卷（选择题）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
A x x2 9 0 B x y ln 2 x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 3,2 C. 0,3 D. ,3
a b
1 1
2. “ ”是“ a b 1”的（ ）
2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
3 已知 sin ， cos sin ，则 sin （ ）
. 3 4
1 5 5 1
A. B. C. D.
8 6 6 9
4. 已知函数 f x 2sin x ( 0) 的最小正周期为 ，把函数 f x 的图象向右平移 个单位长
3 6
度，所得图象对应函数解析式为（ ）
A. y 2sin2x B. y 2cos2x
2
C. y 2sin 2x D. y 2sin 2x
3 6
2xsin x
5. 函数 f x （e 为自然对数的底数）在2,2 的大致图象是（ ）
ex ex
A. B.
C. D.
x 3b a
6. 设函数 f x lg ，若 f a f b 0 ，则 的最小值为（ ）
1 x ab
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A. 4 2 3 B. 4 2 2
C. 1 4 2 D. 2 4 3
7. 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为 42．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设 AO
是眼睛与彩虹中心的连线，AP 是眼睛与彩虹最高点的连线，则称 OAP 为彩虹角．若平面 ABC 为水平
面，BC 为彩虹面与水平面的交线， M 为 BC 的中点， BC 1200 米， AM 800米，则彩虹（ BPC ）的
60
长度约为（ ）（参考数据： sin 42 0.67 ， sin1.1 ）
67
A. (1340 1474) 米 B. (1340 670) 米 C. (2000 1474) 米 D. (2000 670) 米
ln1.01
8. 设 a e0.01 ， b ， c 0.99 ，则（ ）
0.01
A. b a c B. c b a C. a b c D. a c b
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有
多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分．）
9. 设 a b 0 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
b a 1 1 a b
A. ab b2 B. C. D. 1
a b a b b
10. 在 ABC 中，若 A B ，则（ ）
A. sin A sin B B. cos A cos B
C. sin 2A sin 2B D. cos2A cos2B
11. 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2 f (x) f (x) ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A. e2 f 1 f 2 B. e2 f 1 f 2
C. f e e2e4 f 2 D. f e e2e4 f 2
12. 如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始边作锐角 ， ，
，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1 ， A1 ，P，则下列说法正确的是（ ）
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A. A1P1 AP
B. 扇形 OA1P1 的面积为
C. A P 2sin
1 2
1
D. 当 时，四边形 OAA1P1 的面积为 sin
3 2 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 已知锐角 满足 tan 4sin ，则 cos 2 _______________.
14. 中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 45 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡
度15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60 和 30 ，第
一排和最后一排的距离为10 2 米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，则旗杆 AB 的高度为
______米．
4 1
15. 已知 0 x 4 ，则 的最小值为______.
x 4 x
1
16. 已知函数 f (x) ln x ，过点 0,m 有两条直线与曲线 y f (x) 相切，则实数 m 的取值范围是
x
________．
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
3
17. 已知 cos , 0, ，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
5 2
7 2 2
P , ，且 0, .求
10 10
（1） sin cos ；
2
（2） .
18. 已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， 2acosB 2c b ．
（1）求 A；
（2）若 a 4 ，求 ABC 的面积的最大值．
1
19. 已知函数 f x x3 ax2 6x ，当 x 3 时，函数 y f x 取得极值.
3
（1）若 f x 在 m,m 2 上为增函数，求实数 m 的取值范围；
（2）若1 x 3 时，方程 f x m 0 有两个根，求实数 m 的取值范围.
20. 设 x1, x2 是函数 f x sin 2x ( 0) 的两个零点，且 x1 x2 的最小值是 .
6 2
（1）求函数 f x 的解析式;
（2）已知实数, 满足 2 a ，且对 x 0, 恒有 f (x) a2 2a ，求 4 2 的最小值.
6
21. 如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径 AB 长为 2km,C 和 D 两点在半圆弧上，满足
BC CD .设 COB 0 .
2
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段 ABBCCD和 DA 组成，则当 为何值时，观光道路的总
长l 最长，并求l 的最大值；
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（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD 和 BOC 内种满鲜花，在扇形 COD 内种一半面积的鲜花，
则当 为何值时，鲜花种植面积S 最大？
1
22. 已知函数 f (x) xex ax2 ， f (x) 为其导函数.
2
（1）若 a 2 ，求 f (x) 的单调区间；
（2）若关于 x 的方程 f (x) ex 有两个不相等的实根，求实数 a 的取值范围.
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2023 年秋季德化一中第一次月考高三数学试卷
考试时间：120 分钟；
第I 卷（选择题）
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
A x x2 9 0 B x y ln 2 x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 3,2 C. 0,3 D. ,3
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】 x2 9 0 3 x 3 ， 2 x 0 x 2 ，
所以 A 3,3 ， B ,2 ，
则 A B 3,2 ，
故选：B
a b
1 1
2. “ ”是“ a b 1”的（ ）
2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断．
a b
1 1
【详解】不等式 等价于 a b ，
2 2
由 a b 可推出 a b 1，
由 a b 1不一定能推出 a b ，例如 a 3,b 3 时， a b 1，但 a b ，
a b
1 1
所以“ ”是“ a b 1”的充分不必要条件.
2 2
故选：A.
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1 1
3. 已知 sin ， cos sin ，则 sin （ ）
3 4
1 5 5 1
A. B. C. D.
8 6 6 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式展开求出 sin cos ，然后利用两角和的正弦公式计算即可.
1 1
【详解】因为 sin sin cos cos sin sin cos ，
4 3
1 1 7
所以 sin cos ，
3 4 12
7 1 10 5
所以 sin sin cos cos sin .
12 4 12 6
故选：B
4. 已知函数 f x 2sin x ( 0) 的最小正周期为 ，把函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，
3 6
所得图象对应函数解析式为（ ）
A. y 2sin2x B. y 2cos2x
2
C. y 2sin 2x D. y 2sin 2x
3 6
【答案】A
【解析】
【分析】先根据正弦函数最小正周期公式求出 2 ，在根据左加右减求出平移后的解析式.
2
【详解】因为 0 ，所以 ，故 2 ，
则 f x 2sin 2x ，
3
则向右平移 个单位长度后得到 y 2sin 2 x 2sin 2x .
6 6 3
故选：A
2xsin x
5. 函数 f x （e 为自然对数的底数）在2,2 的大致图象是（ ）
ex ex
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A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可得答案.
【详解】由题知 f (x) 的定义域为 R ，
2(x)sin(x) 2xsin x
又因为 f (x) f (x) ，
ex ex ex ex
所以 f (x) 为偶函数，即图象关于 y 轴对称，排除 A、C；
4sin 2
又 f (2) 0 ，排除 D.
e2 e2
故选：B.
x 3b a
6. 设函数 f x lg ，若 f a f b 0 ，则 的最小值为（ ）
1 x ab
A. 4 2 3 B. 4 2 2
C. 1 4 2 D. 2 4 3
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数 f (x) 的定义域，根据给定等式求出 a,b 的关系，再利用“1”的妙用求解作答.
x x
【详解】函数 f (x) lg 中， 0 ，解得 0 x 1，由 f a f b 0 ，得 a,b(0,1) ，
1 x 1 x
a b a b
且 lg( ) 0 ，则 1，整理得 a b 1，
1 a 1 b 1 a 1 b
3b a 3 1 3b a 3b a 3b a
因此 (a b)( ) 4 4 2 4 2 3 ，当且仅当 ，即 a = 3b 取等
ab a b a b a b a b
号，
3 3 3 1
由 a = 3b 且 a b 1，得 a ,b ，
2 2
3 3 3 1 3b a
所以当 a ,b 时， 取得最小值 4 2 3 .
2 2 ab
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故选：A
7. 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为 42．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设 AO
是眼睛与彩虹中心的连线，AP 是眼睛与彩虹最高点的连线，则称 OAP 为彩虹角．若平面 ABC 为水平
面，BC 为彩虹面与水平面的交线， M 为 BC 的中点， BC 1200 米， AM 800米，则彩虹（ BPC ）的
60
长度约为（ ）（参考数据： sin 42 0.67 ， sin1.1 ）
67
A. (1340 1474) 米 B. (1340 670) 米 C. (2000 1474) 米 D. (2000 670) 米
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接 OB , OC , OM ，进而在 OBM 中求
BOM ，最后利用弧长公式求得彩虹长度.
【详解】
在AMB 中，由勾股定理，
可得： AB AM 2 BM 2 8002 6002 1000 ，
连接 PO，则在APO 中， PO AP sin 42 670 ，
连接 OB，OC，OM，则在OBM 中，
BM 600 60
sin BOM ，
BO 670 67
故 BOM 1.1， BOC 2.2 ，
则彩虹（ BPC ）的长度约为 (2 2.2) 670 1340 1474 .
故选：A
ln1.01
8. 设 a e0.01 ， b ， c 0.99 ，则（ ）
0.01
A. b a c B. c b a C. a b c D. a c b
【答案】A
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