2023-2024 学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷
满分：150分 时长：120分钟
第I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 10 小题，共 50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
U 0,1,2,3,4 B 2,4 ( A) B
1. 已知全集 ，集合 A {1,2,3}， ，则 U 为
A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4}
2. “ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4x
3. 函数 y 的图象大致为（ ）
x2 1
A. B.
C. D.
4. 设 a R ,若直线 l1 : ax 2y 8 0 与直线 l2 : x (a 1)y 4 0 平行,则 a 的值为
A. 1 B. 1 C. 2 或 1 D. 1或 2
0.2 0.3
5. 已知 a log2 0.2,b 2 ,c 0.2 ，则
A. a b c B. a c b C. c 6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图 1 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个 圆柱的组合体，其直观图如图 2 所示，其中 B,C 分别是上下底面圆的圆心，且 AC 3AB 6 ，底面圆 的半径为 2，则该陀螺的体积是（ ） 第1页/共5页 80 70p 56 A. B. C. 20 D. 3 3 3 7. 设点 A(2,3) B(3,2) ，若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 （ ） 3 3 1 A. k 或 k 4 B. k 或 k 4 4 4 3 3 C. 4 k D. k 4 4 4 8. 已知函数 f x 2sin x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 6 y sin 2x 3 cos 2x 的图象，则 的可能值为（） A. 0 B. C. D. 6 3 12 x 2 y2 9. 已知双曲线 1（ a 0 ，b 0 ）的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ．若双曲线右支上存在点 P ，使 a2 b2 得 PF1 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点 Q ，且 PF1 4 F1Q ，则双曲线的渐近线方程为（ ） 4 3 A y x B. y x C. y = x D. y 2x . 3 4 a 3x1 e x1 10. 对 x1, x2 1,3 ，当 x1 x2 时， 0 ，则实数 a 的取值范围是（ ） 3x2 e x2 A. 3, B. 3, C. 9, D. 9, 二、填空题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 11. 已知 (2 i)z i (i 为虚数单位)，则| z | ___________. 12. 已知向量 a 2k 4,3 ， b 3,k ，若 a b ，则实数 k 的值为______． 1 13. 已知 tan ， ，则 tan( ) 的值为________. 2 4 14. 圆心在直线 x y 1 0 上且与直线 2x y 1 0 相切于点 (1,1) 的圆的方程是________． 第2页/共5页 x2 y2 15. 以双曲线 1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________． 4 12 x2 y2 16. 已知 F1 、 F2 分别为 1（a b 0）椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线与椭圆交于 P 、 Q a2 b2 2 两点，若 QF1 QP PQ ， PF2 3F2Q ，则 F1PQ ____，椭圆的离心率为___. 17. 如图，在 ABC 中， AB 3, AC 2, BAC 60 ，D,E 分别边 AB,AC 上的点, 且 AE 1 1 AD AE ，则 AD ______________，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则 BP CP 的最小值为 2 _________________. e|x1| , x 0 18. 已知函数 f (x) 4 ，函数 y f x a 有四个不同零点，从小到大依次为 x 3, x 0 x x1, x2 , x3 , x4 ，则实数 a 的取值范围为___________； x1x2 x3 x4 的取值范围为___________. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 60.0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 bcosC 2a ccosB . （1）求角 B 的大小； （2）设 a 2 ， c 3，求 sin 2A B 的值. 第3页/共5页 20. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， CC1 平面 ABC， AC BC ， AC BC 2 ， CC1 3 ，点 D，E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上，且 AD 1， CE 2 ，M 为棱 A1B1 的中点. （1）求证： C1M B1D ； （2）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值. 21. 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形， PDQA ， PDA ，平面 ADPQ 平面 ABCD ，且 AD PD 2QA 2 . 2 （1）求证： QB平面 PDC ； （2）求平面 CPB 与平面 PBQ 所成角的大小； 7 3 （3）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的 余弦值为 ，求点 A 到平面 HBC 的距离. 15 a 22 已知函数 f (x) ln x, g(x) bx 1，(a，bR) . x2 （1）当 a=1，b=0 时，求曲线 y=f(x)g(x)在 x=1 处的 切线方程； （2）当 b=0 时，若对任意的x[1，2]，f(x)+g(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 a=0，b>0 时，若方程 f(x)=g(x)有两个不同的实数解 x1，x2(x1 第4页/共5页 第5页/共5页 2023-2024 学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷 满分：150分 时长：120分钟 第I 卷（选择题） 一、单选题（本大题共 10 小题，共 50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） U 0,1,2,3,4 B 2,4 ( A) B 为 1. 已知全集 ，集合 A {1,2,3}， ，则 U A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4} 【答案】C 【解析】 【分析】先根据全集 U 求出集合 A 的补集 U A ，再求 U A 与集合 B 的并集 (U A) B ． 【详解】由题得，U A 0,4, (U A) B 0,42,4 0,2,4. 故选 C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2. “ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式 x2 4 的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式 x2 4 ，可得 x 2 或 x< 2 ，则“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件. 故选：A. 4x 3. 函数 y 的图象大致为（ ） x2 1 A. B. C. D. 第1页/共 19页 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图 象. 4x 【详解】由函数的解析式可得： f x f x ，则函数 f x 为奇函数，其图象关于坐标原点 x2 1 对称，选项 CD 错误； 4 当 x 1时， y 2 0 ，选项 B 错误. 11 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称 性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4. 设 a R ,若直线 l1 : ax 2y 8 0 与直线 l2 : x (a 1)y 4 0 平行,则 a 的值为 A. 1 B. 1 C. 2 或 1 D. 1或 2 【答案】B 【解析】 【分析】由 a（a+1）2=0，解得 a．经过验证即可得出． 【详解】由 a（a+1）2=0，解得 a=2 或 1． 经过验证：a=2 时两条直线重合，舍去． a=1． 故选 B． 【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 0.2 0.3 5. 已知 a log2 0.2,b 2 ,c 0.2 ，则 A. a b c B. a c b C. c 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量 0 比较 a , c ，运用中间量1比较 b , c 0.2 0 0.3 0 【详解】 a log2 0.2 log2 1 0, b 2 2 1, 0 0.2 0.2 1, 则 0 c 1,a c b ．故选 B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化 与化归思想解题． 第2页/共 19页 6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图 1 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个 圆柱的组合体，其直观图如图 2 所示，其中 B,C 分别是上下底面圆的圆心，且 AC 3AB 6 ，底面圆 的半径为 2，则该陀螺的体积是（ ） 80 70p 56 A. B. C. 20 D. 3 3 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】已知底面圆的半径 r 2 ，由 AC 3AB 6 ，则 AB 2, BC 4 ， 2 1 2 56 故该陀螺的体积V BC r AB r . 3 3 故选：D. 7. 设点 A(2,3) B(3,2) ，若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 （ ） 3 3 1 A. k 或 k 4 B. k 或 k 4 4 4 3 3 C. 4 k D. k 4 4 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示： 第3页/共 19页 31 2 1 3 依题意， k 4,k ， PA 2 1 PB 31 4 要想直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交， 3 则 k 或 k 4 ， 4 故选：A 8. 已知函数 f x 2sin x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 6 y sin 2x 3 cos 2x 的图象，则 的可能值为（） A. 0 B. C. D. 6 3 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可. 【详解】 y sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x ， 3 函数 f x 2sin x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数的图象解析式为： 6 f x 2sin x ， 6 6 2 所以有 2kk Z ， 2k k Z 6 3 显然只有选项 A 符合， 故选：A 第4页/共 19页 x 2 y2 9. 已知双曲线 1（ a 0 ，b 0 ）的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ．若双曲线右支上存在点 P ，使 a2 b2 得 PF1 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点 Q ，且 PF1 4 F1Q ，则双曲线的渐近线方程为（ ） 4 3 A. y x B. y x C. y = x D. y 2x 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用渐近线方程和直线 F1P 解出 Q 点坐标，再由 F1P 4F1Q 得 P 点坐标，代入双曲线方程得到 a、b、c 的齐次式可解. b 【详解】如图，因为 PF 与渐近线 y x 垂直 1 a a a 所以 PF 的斜率为 ，方程为 y (x c) 1 b b b y x a a2 ab 解 的 Q 的坐标为 ( , ) a y (x c) c c b 设 P 点坐标 为 (x0 , y0 ) a2 ab 则 FQ ( c, ) ， F P (x c, y ) 1 c c 1 0 0 因为 F1P 4F1Q ， a2 ab 3c2 4a2 4ab 所以 (x c, y ) 4( c, ) ，得点 P 坐标为 ( , ) ， 0 0 c c c c x 2 y2 c2 25 代入 1得： a2 b2 a2 9 b2 c2 16 b 4 所以 1 ，即 a2 a2 9 a 3 4 所以渐近线方程为 y x 3 故选：B. 第5页/共 19页