高三数学 2023．11
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
1．已知集合 A{x|log2x2}，B{x|x x20}，则 AB ( )
A．(0，2) B．(1，2) C．(，4] D．(1，4]
2．若 a，b 是夹角为 60的两个单位向量，ab 与3a2b 垂直，则 ( )
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 4 8 4
3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，
该圆台侧面积为 3 5，则原圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． 5 C．4 D．2 5
4．已知 x，y 取表中的数值，若 x，y 具有线性相关关系，线性回归方程为^y0.95x2.6，
则 a ( )
x 0 1 3 4
A．2.2 B．2.4
y a 4.3 4.8 6.7
C．2.5 D．2.6
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点(t，1)，
5
若 cos ，则 tan( ) ( )
5 4
1 1
A．3 B． C． D．3
3 3
3n22tn2，n7
6．已知数列{an}通项公式为 an 4n94， n7 ，若对任意 nN*，都有 an+1an，则
实数 t 的取值范围是 ( )
23 9 23 9 23
A．t[3，) B．t[ ， ) C．t( ， ) D．t[ ，)
14 2 14 2 14
2 2
2 2 2 x y
7．已知圆 C1：x y b (b0)与双曲线 C2： 1(a0,b0)，若在双曲线 C2 上存在
a2 b2
点 P，使得过点 P 所作的圆 C1 的两条切线，切点为 A，B，且APB ，则双曲线 C2 的离
3
心率的取值范围是 ( )
5 5
A．(1， ] B．[ ，) C．(1， 3] D．[ 3，)
2 2
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}
8．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，f(x)f(x2)；且当 x[0，1]时，
f(x)x3x2x．则方程 4f(x)x20 所有的根之和为 ( )
A．6 B．12 C．14 D．10
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选
对的得 2 分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9.已知复数 z2i，z1xyi(x，yR )(i 为虚数单位)， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正
确的是 ( )
A． z 的虚部为i B．z 对应的点在第一象限
| z |
C． 1 D．若|zz1|1，则在复平面内 z1 对应的点形成的图形的面积为 2
|z|
10．已知 a0，b0，a2b1，则 ( )
2 1 1
A． 的最小值为 4 B．ab 的最大值为
a b 8
1
C．a2b2 的最小值为 D．2a4b 的最小值为 2 2
5
2
11．函数 f(x)sinx(0)在区间[ ，]上为单调函数，图象关于直线 x 对称，则( )
2 2 3
3
A．
4
2
B．将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称
3
14 2 14
C．若函数 f(x)在区间(a， )上没有最小值，则实数 a 的取值范围是( ， )
9 9 9
14 4
D．若函数 f(x)在区间(a， )上有且仅有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是[ ，0)
9 3
x2 y2
12．已知椭圆 C： 1(b0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P( 2，1)在椭圆内部，点 Q
4 b2
在椭圆上，椭圆 C 的离心率为 e，则以下说法正确的是 ( )
2
A．离心率 e 的取值范围为(0， ) B．存在点 Q，使得QF1QF20
2
2 6 1 1
C．当 e 时，|QF1||QP|的最大值为 4 D． 的最小值为 1
4 2 |QF1| |QF2|
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．为全面推进乡村振兴，某市开展了“四季村晚”活动，晚会有《茉莉花》、《扬鞭催马运
粮忙》、《数幸福》、《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸
福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
6 6 5
14．设(2x1) a6x a5x …a1xa0，则 a1a3a5_____________（用数字作答）．
15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片，再从中
任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片，…，以此类推，每次从纸片
中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过 8 次剪纸后，得到的所有多边形纸
片的边数总和为___________．
16．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACAB，AC2，
AA14，AB6，点 E，F 分别是 AA1，AB 上的动点，那么
C1EEFFB1 的长度最小值是 ，此时三棱
锥 B1-C1EF 外接球的表面积为 ．（第一空 2 分，
第二空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
2
17．（本小题满分10分）已知正项数列{an} 的前n项和为 Sn，an an2Sn2
a
数列{bn}满足bnan3 n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
18.（本小题满分 12 分）在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b2c(ac).
c
（1）若 B ，求 的值；
4 a
（2）若ABC 是锐角三角形，求 3sinB2cos2C 的取值范围．
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}
19．（本小题满分 12 分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国
共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1
道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学
从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学 A 类试题中有 7 道题
2
能答对，而他答对各道 B 类试题的概率均为 ．
3
(1)若该同学只抽取 3 道 A 类试题作答，设 X 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 X 的分
布和期望；
(2)若该同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率．
20（. 本小题满分 12 分）已知在四棱锥 CABED 中，DE平面 ABC，
ACBC，BC2AC4，AB2DE，DADC，点 F 为线段 BC 的中
点，平面 DAC平面 ABC．
（1）证明：EF平面 ABC；
（2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60，求二面角 BADC
的余弦值．
x2 y2
21．（本小题满分 12 分）已知双曲线 C： 1(a0，b0)经过点 P(4，6)，且离心率
a2 b2
为 2．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 P 作 y 轴的垂线，交直线 l：x1 于点 M，交 y 轴于点 N.设点 A，B 为双曲线 C
SMAB
上的两个动点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k22，求 ．
SNAB
a x2
22.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)ex x3 2ax．
3 2
（1）当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）若在[0，)上单调递增，求 a 的取值范围；
（3）若 f(x)的最小值为 1，求 a 的值．
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}
2023—2024 学年第一学期 11 月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
2
A x log2 x 2, B x x x 2 0
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
A. 0,2 B. (- 1,2) C. ,4 D. 1,4
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可得集合 A, B ，根据集合的并集运算即得答案.
2
【详解】因为 A x log2 x 2 0,4 ， B x x x 2 0 1,2 ，
所以 A B 1,4 ，
故选：D.
2. 若 a,b 是夹角为 60 的两个单位向量， a b 与 3a 2b 垂直，则 （ ）
1 1 7 7
A. B. C. D.
8 4 8 4
【答案】B
【解析】
2 2
【分析】由题意先分别算出 a ,b ,a b 的 值 ， 然 后 将 “ a b 与 3a 2b 垂 直 ” 等 价 转 换 为
a b3a 2b 0 ，从而即可求解.
2 2 2 2 1 1
【详解】由题意有 a a 1,b b 1,a b a b cos60 11 ，
2 2
又因为 a b 与 3a 2b 垂直，
2 2 1
所以 a b 3a 2b 3a 2 3a b 2b 3 2 3 2 0 ，
2
1 1
整理得 2 0 ，解得 .
2 4
故选：B.
3. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面
积为 3 5 ，则原圆锥的母线长为（ ）
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A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 5
【答案】D
【解析】
【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形
即可求解.
【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为 3 5 ，
则由圆台侧面积公式可得 l(1 2) 3l 3 5 ，所以 l 5 ，
l 1
设截去的圆锥的母线长为 l ，由三角形相似可得 ，
l l 2
则 2l l 5 ，解得 l 5 ，
所以原圆锥的母线长 l l 5 5 2 5 ，
故选： D .
4. 已知 x, y 取表中的数值，若 x, y 具有线性相关关系，线性回归方程为 $y 0.95x 2.6 ，则 a （ ）
x 0 1 3 4
y a 4.3 4.8 6. 7
A. 2.2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6
【答案】A
【解析】
【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.
0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 a 15.8
【详解】由题意可知： x 2 ， y ，
4 4 4
a 15.8
所以样本中心 x, y 为 2, ，
4
a 15.8
代入回归方程有： 0.95 2 2.6 ，解得 a 2.2 .
4
故选： A .
5
5. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 (t,1) ，若 cos ，则
5
第2 页 /共 25页
tan( ) （ ）
4
1 1
A. 3 B. C. D. 3
3 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据任意角的三角函数求出 t ，再求出 tan 的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的
值.
t 5 1
【详解】由任意角的三角函数公式可知 cos ，解得 t ，
t 2 1 5 2
tan tan
y 2 1 1
所以 tan 2 ，所以 tan 4 ，
x 4 1 tan tan 1 21 3
4
故选：C
3n2 2tn 2,n 7
6. 已知数列{an}通项公式为 an ，若对任意 n N* ，都有 an1 an ，则实数 t 的取
4n 94,n 7
值范围是（ ）
23 9 23 9 23
A. t [3,) B. t [ , ) C. t ( , ) D. t [ ,)
14 2 14 2 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的单调性，即可根据 2t 6n 3 对 n1,2,3,4,5,6 恒成立，以及 a8 a7 求解.
2 2
【详解】当 n1,2,3,4,5,6 时， an1 an 3n 1 2t n 1 2 3n 2tn 2 6n 3 2t 0 恒
成立，
9
所以 2t 6n 3 对 n1,2,3,4,5,6 恒成立，故 2t 9 t ，
2
又当 n 7,n N 时， an 4n 94 为单调递增的数列，
2
故要使对任意 n N* ，都有 an1 an ，则 a8 a7 ，即 48 94 3 7 14t 2 ，
23
解得 t ，
14
23 9
综上可得 t ( , ) ，
14 2
故选:C
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2 2
2 2 2 x y
7. 已知圆 C1 : x y b b 0 与双曲线 C : 1a 0,b 0 ，若在双曲线 C2 上存在一点 P ，
2 a2 b2
使得过点 P 所作的圆 C 的两条切线，切点为 A 、 B ，且 APB ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是
1 3 2
（ ）
5 5
A. 1, B. ,
2 2
C. 1, 3 D. 3,
【答案】B
【解析】
b2 x2
【分析】连接 OA 、 OB 、 OP ，则 OA AP ， OB BP ，设点 P x, y ，则 y2 b2 ，分析可得
a 2
2
b b
OP 2b a ，可得出 的取值范围，由 e 1 可求得 e 的取值范围.
a a
【详解】连接 OA 、OB 、 OP ，则 OA AP ， OB BP ，
由切线长定理可知， PA PB ，
又因为 OA OB ， OP OP ，所以，AOPBOP ，
1
所以， APO BPO APB ，则 OP 2 OA 2b ，
2 6
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b2 x2
设点 P x, y ，则 y2 b2 ，且 x a ，
a 2
b2 x2 c2 x2 c2
所以， OP 2b x2 y2 x2 b2 b2 a2 b2 a ，
a2 a2 a2
b 1 c c2 b 2 1 5
所以， ，故 ，
e 2 1 1
a 2 a a a 4 2
故选：B.
8. 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 ， f x f x 2 ；且当 x 0,1 时，
f x x3 x2 x ．则方程 4 f x x 2 0 所有的根之和为（ ）
A. 6 B. 12 C. 14 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 f x 为奇函数，其图象关于直线 x 1对称且一个周期为 4，再根据当 x 0,1
时， f x x3 x2 x ，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】 f x f x 0 ， f x 为奇函数，又 f x f x 2 ，
f x 的图象关于直线 x 1对称．
当 x 0,1 时， f x 3x2 2x 1 0 ， f x 单调递增．
由 f x f x 2 f x ，即有 f x 4 f x 2 ，
所以 f x 4 f x ，即函数 f x 的一个周期为 4，
由 f x f x 0 可得， f x f x 4 0 ，所以 f x 的图象关于 2,0 中心对称．
函数 f x 的简图如下：
其中 x3 2 ，
第5 页 /共 25页
1
由 f (x) (x 2) ，所有实根之和为 x x x x x 4 4 2 10 .
4 1 5 2 4 3
故选：D．
【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的
单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 已知复数 z 2 i ， z1 x yi ( x, y R )( i 为虚数单位)， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是
（ ）
A. z 的虚部为i B. z 对应的点在第一象限
z
C. 1 D. 若 z - z1 1，则在复平面内 z1 对应的点形成的
z
图形的面积为 2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.
【详解】对于 A： z 2 i ，所以 z 的虚部为 1，A 错误；
对于 B： z 对应的点为 2,1 ，位于第一象限，所以 B 正确；
2 z
对于 C： z 22 1 5 ， z 22 12 5 ，所以 1，C 正确；
z
对于 D：在复平面内 z - z1 1表示到点 2,1 距离小于等于 1 的所有的点，所以形成的图形为以 2,1 为
圆心 1 为半径的圆，所以面积为 S ，D 错误，
故选：BC
10. 已知 a 0,b 0 ， a 2b 1 ，则（ ）
2 1 1
A. 的最小值为 4 B. ab 的最大值为
a b 8
1
C. a2 b2 的最小值为 D. 2a 4b 的最小值为 2 2
5
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