2023-2024学年度第一学期期中练习题
年级：高三科目：数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知集合A{xN|x5}与集合B{x|x(x2)0}，则AB=()
A．{2,3,4}B．{3,4,5}C．[2,5)D．(2,5]
2i
2.复数z的虚部为()
12i
A．1B．1C．iD．i
3.下列函数中最小值为4的是()
44
A.yx22x4B.y|sinx|C.y2x22xD.ylnx
|sinx|lnx
4.在空间中，若a,b,c是三条直线，,是两个平面，下列判断正确的是()
A．若a的方向向量与的法向量垂直，则a//；
B．若a//，，则a；
C．若，c，ac，则a；
D．若,相交但不垂直，c，则在内一定存在直线l，满足lc.
5.“x0”是“x+sinx0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab()
31191719
A．B．C．D．
35353535
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7.如图，点O为坐标原点，点A(1,1).若函数yax(a0且a1)及
（且）的图象与线段分别交于点，，且，
ylogbxb0b1OAMNM
N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足()
A.ab1B.ba1C.ba1D.ab1
1
8.在ABC中，B=，BC边上的高等于BC,则cosA=()
43
3101010310
A．B.C.-D.-
10101010
9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及
格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者
对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪
种方案能通过考试的概率更大()
A．方案一B．方案二C．相等D．无法比较
如图，已知正方体的棱长为，分别是棱上
10.ABCDA1B1C1D11E,FAD,B1C1
D1C1
F
B1
的动点，设若棱与平面有公共点，则的取A1
AEx,B1Fy.．DD1BEFxy
值范围是()
D
133EC
A.[0,1]B.[,]C.[1,2]D.[,2]
222AB
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
已知直线，若，则实数
11.l1:ax(a2)y10l2:xay20.l1l2a=.
n1
等差数列的前项和为，，，则．
12.annSna33S410____________
k1Sk
13.函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移________个单
位长度得到.
14.已知直线l:mxy3m30与圆x2y212交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与
x轴交于C,D两点，若|AB|23，则|CD|______.
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=
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对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质
15.yf(x)x0x0f(x0)1f(x)P.
（1）下列函数中具有性质P的有.
f(x)2x22f(x)sinx(x[0,2])
1
f(x)x，(x(0,))f(x)ln(x1)
x
（2）若函数f(x)alnx具有性质P，则实数a的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16.(本小题满分13分)
1
已知函数f(x)sinxcosxsin2x.
2
（）求f(x)的单调递增区间；
（）在ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边，且满足bcos2AbcosAasinB，
且0A，求角A的值，进而再求f(B)的取值范围.
2
17.（本小题满分14分）
随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对
于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”
的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布
直方图：
频率/组距频率/组距
0.035
0.0300.030
0.0250.025
0.0200.020
0.0150.015
0.0100.010
0.0050.005
O102030405060分钟/天
O102030405060分钟/天
图1：甲大学图2：乙大学
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根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:
学习时间t
t2020t50t50
(分钟/天)
等级一般爱好痴迷
（）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
（）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列
和数学期望E；
2
（）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差S甲与
2
S乙的大小．(只需写出结论)
18.（本小题满分14分）
羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形，其中EFADBC，AD4，EFBCAB2，ED10，M
为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF.再从条件，条件，条件中选择一个作为
已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：
（）求证：BM平面CDE；
（）求二面角BAEF的余弦值.
（）在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的
7AQ
正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
7AE
条件：平面CDE平面ABCD；
条件：平面ADEF平面ABCD；
条件：EC23.
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19.（本小题满分15分）
x2y2
已知椭圆W:1(ab0)的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点．
a2b2
（）求椭圆W的方程；
（）设A,B,C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．
20.（本小题满分15分）
1
已知函数f(x)e2x1(ax2x)．
2
（）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；
（）若函数f(x)在x0处取得极大值，求a的取值范围；
（）若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．
21.（本小题满分14分）
a11a12
设数阵A0,其中a11,a12,a21,a22{1,2,,6}，
a21a22
设其中*且定义变换为对于数列
S{e1,e2,,el}{1,2,,6},e1e2el,lNl6.k“
的每一行，若其中有k或k，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k且没有k，则这一
行中所有数均保持不变表示将经过变换得到，再将经过
”(ke1,e2,,el).s(A0)“A0e1A1A1
变换得到，，以此类推，最后将经过变换得到，记数阵中四个数的和为
e2A2Al1elAl”Al
Ts(A0).
12
（）若A0，写出A0经过2变换后得到的数阵A1；
15
13
（）若A0，S{1,3},求Ts(A0)的值；
36
（）对任意确定的一个矩阵A0，证明：Ts(A0)的所有可能取值的和不超过4.
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2023-2024学年度第一学期期中练习题答案
年级：高三科目：数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
BBCDCDACAC
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
2n2
11.-3或012.13.14.4
n13
15.；(,e](0,)
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
111
16.（本小题共13分）解：（）由题知f(x)sin2x(1cos2x)
222
112
=sin2xcos2x=sin(2x).
2224
由2k2x2k（k），
242
解得kxk.
88
3
所以f(x)单调递增区间为[k,k]（k）.……………6分
88
（）依题意，由正弦定理，sinBcos2AsinBcosAsinAsinB.
因为在三角形中sinB0，所以cos2AcosAsinA.
即(cosAsinA)(cosAsinA1)0
当cosAsinA时，A；
4
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当cosAsinA1时，A.由于0A，所以A.
224
33
则B+C.则0B.又2B，
44444
2
所以1sin(2B)1.由f(B)sin(2B)，
424
22
则f(B)的取值范围是，.………………13分
22
17.（本小题满分14分）
解：（）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，
“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65，
所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分
（）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102人，
乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106人，
所以，随机变量的取值为0,1,2.
C0C215
所以，26，
P(0)2
C828
C1C1123
26，
P(1)2
C8287
C2C01
26
P(2)2.
C828
所以的分布列为
012
1531
P
28728
15311
的数学期望为E()012.……………11分
287282
22
（）X甲X乙;s甲s乙……………13分
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18.（本小题满分14分）
（）等腰梯形ABCDM是AD中点MDBCMDBC
平行四边形BCDMBMCDBM平面CDECD平面CDE
BM平面CDE.
（）选和选，过程仅在建系之前有区别.
选：取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN
平面ADEF平面ABCD平面ADEF平面ABCDADPMAD
PM平面ADEFPM平面ABCDMNAD，如图建系
选：取MD中点Q，连接CQ和EQEC23EQ3CQ3EQCQ
二面角EADC平面ADEF平面ABCD
2
取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN
平面ADEF平面ABCD平面ADEF平面ABCDADPMAD
PM平面ADEFPM平面ABCDMNAD，如图建系
A(0,2,0)B(3,1,0)C(3,1,0)D(0,2,0)E(0,1,3)F(0,1,3)M(0,0,0)
BA(3,1,0)AE(0,3,3)设平面BAE的一个法向量n(x,y,z)
nBA03xy0
令，则，，则
x3y3z3n(3,3,3)
nAE03y3z0
易知m(1,0,0)是平面AEF的一个法向量
mn7
cosm,n经检验，BAEF为钝角，
|m||n|7
7
所以二面角BAEF的余弦值为
7
AQ
（）设,[0,1]，AQAE(0,3,3)，MQMAAQ(0,32,3)
AE
|MQn|715
|cosMQ,n|解得,均不满足题意，故不存在点Q.
|MQ||n|73
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19.（本小题满分15分）
x2
解：（）由题意，椭圆W的方程为y21.
5
（）设中点，
AC:ykxm,A(x1,y1),C(x2,y2),ACM(x0,y0),B(x3,y3)
x25y25
(15k2)x210kmx5m250，
ykxm
(10km)24(15k2)(5m25)0，
10km5m25
xx,xx.(1)
1215k21215k2
由条件，得，
OAOCx1x2y1y20
即，
x1x2(kx1m)(kx2m)0
整理得22，
(1k)x1x2km(x1x2)m0
将(1)式代入得(1k2)(5m25)km(10km)m2(15k2)0
即6m25k25(2)
xx5kmm
又x12,ykxm
0215k20015k2
且同时也是的中点所以
MOB,x32x0,y32y0
因为在椭圆上所以22，
B,x35y35
5kmm
即4x220y25，4()220()25，
0015k215k2
所以4m25k21(3)
7
由(2)(3)解得m22,k2，
5
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验证知(10km)24(15k2)(5m25)1200，
所以四边形OABC可以为矩形.
20.（本小题满分15分）
111
解：（）f(0)e1，切点为(0,)，
22e2e
又f(x)e2x1[2ax22(a1)x]2x(axa1)e2x1，f(0)0，
1
切线方程为y0.
2e
（）定义域为R，f(x)2x(axa1)e2x1
1当a0时，f(x)2xe2x1，令f(x)0得x0，f(x)增区间为(,0)；
令f(x)0得x0，f(x)增区间为(0,)；f(x)在x0取极大值，合题意.
1a
2当a0时，由f(x)2x(axa1)e2x10可得x0,x0，
12a
x1a1a1a0
(,)(,0)(0,)
aaa
f(x)00
减极小值增极大值减
f(x)
f(x)在x0处取得极大值，a0合题意.
1a
3当a0时，由f(x)2x(axa1)e2x10可得x0,x
12a
1a
(i)当0即a1时，f(x)，f(x)变化情况如下表：
a
x1a1a1a0
(,)(,0)(0,)
aaa
f(x)00
增极大值减极小值增
f(x)
f(x)在x0处取得极小值，不合题意.
1a
(ii)当0即a1时,f(x)0在R上恒成立，f(x)在R上增，无极大值点.
a
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