数学
本卷满分：150分，考试时间：120分钟．
注意事项：
1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准
考证号填写清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、
用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答
题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是
符合题目要求的．
21
1．已知集合Axx40,Bx1，则AB（）
x
A．x2x2B．x2x1C．x0x1D．x0x1
2．若24iai1i（其中aR,i为虚数单位），则a（）
A．1B．2C．3D．4
3．为了得到函数y2sin4x的图像，只需要将函数y2sin4x的图像（）
3
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
1212
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
33
4．已知向量a1,m,b3,1，若向量a与ab垂直，则实数m的值为（）
1
A．2B．1C．2或1D．
3
5．北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任
务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中
高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则
女生抽取15人，则下列结论错误的是（）
A．24是样本容量
B．120名社团成员中男生有50人
C．高二与高三年级的社团成员共有90人
D．高一年级的社团成员中女生最多有30人
6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创
新研究院自主研发的极目一号型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合
观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高
度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个
圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”型浮空艇的表面积为（）
图1图2
A．2540B．449C．562D．561
2222
xyc2b
．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆
7FC:221(ab0)PCPFxy
ab216
相切于点Q，且PQ3QF，则椭圆C的离心率等于（）
2125
A．B．C．D．
3223
8．已知A,B,C,D是体积为36的球体表面上的四点，AB2,ACB90,ADB30，则平面CAB与
平面DAB的夹角的余弦值为（）
61013
A．B．C．D．
4433
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数gxcos2x，则下列说法正确的是（）
3
A．gx的最小正周期为B．gx在区间0,上单调递减
2
5
C．x是函数gx图象的一条对称轴D．gx的图象关于点,0对称
612
10．从1，2，3，4……2024这些数数据中篮选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的
顺序排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn，则下面对该数列描述正确的是（）
sn
A．a12B．数列为等差数列
n
C．数列lnan为等差数列D．该数列an共有170项
2
11．已知抛物线C:y2x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则（）
A．线段AB长度的最小值为4
3
B．当直线l斜率为-1时，AB中点坐标为,1
2
1
C．以线段AB为直径的圆与直线x相切
2
1
D．存在点M,0，使得AMFBMF
2
1
12．若正实数m,n满足ln2m2nm24n2，则（）
2
12
A．mn2B．m2n2C．m2n1D．mn
24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(x2y)5的展开式中含x3y2项的系数为____________．
14．直线l与直线xy30垂直，且被圆(x2)2(y3)28截得的弦长为26，则满足条件的直线l
的一个方程为____________．（写出一个方程即可）
15．若函数fx2axx2lnx是0,上的减函数，则实数a的最大值为____________．
16．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续3次正面向上的概率，由题意可知
P11,P21，则P5____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2an3n7nN，
（1）记bnan3，求证：数列bn为等比数列；
bn
（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn
anan1
18．（本题满分12分）已知在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，已知bcosCccosB3
（1）若A，求ABC周长的最大值
3
（2）若A,bx，满足此条件的三角形只有一个，求实数x的取值范围
3
19．（本题满分12分）某调查小组为了解本市不同年龄段的肺炎患者在肺炎确诊两周内的治疗情况，在肺炎患
者中随机抽取100人进行调查，并将调查结果整理如下：
两周内治愈两周内未治愈
12岁以上（含12岁）4515
12岁以下2515
（1）试判断是否有90%的把握认为该市肺炎患者在肺炎确诊两周内治愈与年龄有关；
（2）现从样本中肺炎确诊两周内未治愈的人群中用分层抽样法抽取6人做进一步调查，然后从这6人中随机
抽取3人填写调查问卷，记这3人中12岁以下的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：
20.1500.1000.0500.025
PKk0
2.0722.7063.8415.024
k0
n(adbc)2
K2，其中nabcd．
abcdacbd
20．（本题满分12分）如图：四棱雉SABCD中，底面ABCD为矩形，AB2AD,SAD为直角三角形，
SBSC,SBASCD,SBC的面积是SAD面积的17倍．
（1）求证：平面SAD平面ABCD；
（2）E为SB上的一点，四棱雉EABCD的体积为四棱雉SABCD体积的一半，求直线CS与平面DAE
所成角的正弦值．
x2y2
21．（本题满分12分）已知双曲线E:1(a0,b0)的右焦点为F4,0，过F且与x轴垂直的弦
a2b2
长为12．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过F作直线l与双曲线交于A、B两点，问在x轴上是否存在点Q，使QAQB为定值，若存在，请求
出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
22．（本题满分12分）已知函数fxaexexexexaR．
（1）当a0时，求fx的图象在0,f0处的切线方程；
（2）若方程fxe2x有三个不同的根，求实数a的取值范围．
2023年广西三新学术联盟高三年级11月联考
数学试题参考答案
1．D【详解】Ax2x2,Bx0x1，则ABx0x1．故选D．
2．C【详解】由24iai1i，可得24ia1a1i，解得a3，故选C．
3．A【详解】因为y2sin4x2sin4x，所以只需要将函数y2sin4x的图像向左平
312
移个单位，即可得到y2sin4x的图象．
123
2
4．C【详解】由a与ab垂直，可得aabmm20，解得m2或1，故选C．
5．B【详解】对于A，由样本容量定义知：样本容量为24，A正确；
15
对于B，女生共有12075人，男生有1207545人，B错误；
24
6
对于C，高一年级的社团成员有12030人，高二高三年级的社团成员共有1203090人，C正
24
确；
对于D，由C知：高一年级的社团成员共30人，高一年级的社团成员中女生最多有30人，D正确．故选：
B．
6．C
【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底
1
面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为482128（平方米），
2
圆柱的侧面积为2813208（平方米），圆台的侧面积为8172242225（平方米），故
该组合体的表面积为12820822512562（平方米）．故选：C
22
c2b
．【详解】设椭圆的左焦点为，连接，设圆心为，则，则圆心坐标为
7DF1F1Cxy
216
cb
,0，半径为r，
24
c
由于FF2c,FC,FF4FC,PQ3QF,PFQC，
1211
x2y2
故PF4CQb,PF2ab,线段PF与圆1(ab0)（其中c2a2b2）相切于点
1a2b2
Q，
3b2
2222222，则，
CQPFPF1PF,b(2ab)4cb(2ab)4ab,ab
2a3
cb25
e1，故选：D．
aa23
8．B【解析】设球心为O，分别取ABC,ABD的外接圆圆心为E,F，连接OE,EF,OF,ACB90，
点E为AB中点，则EAEB1，
由F为ABD外心，故FAFB，则FEAB，
由题意可得OE平面ABC，故平面CAB与平面DAB的夹角，
即为OEF的余角．在ABD中，AB2,ADB30，
2
则由正弦定理可得FAFBFD2，
2sin30
由球O的半径为3，
故OF32225,OE321222，
由OF平面DAB,EF平面DAB，可得OFEF，
OF10
则RtOEF中，sinOEF，
OE4
10
故OEF的余角的余弦值为，故选B．
4
9．ACD【详解】函数gxcos2x
3
22
对于A，gx的周期为T，故A正确；
2
4
对于B，由0x，得2x，从而
2333
2x即0x时，gx单调递减，故B不正确；
333
对于C，gcos2cos01，
663
所以x是函数gx图象的一个对称轴，故C正确；
6
55
对于D，gcos2coscos0，
1212322
5
所以gx的图象关于点,0对称，故D正确．故选：ACD．
12
10．AB【详解】将1到2024这2024个数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列，
构成首项为2，公差为12的等差数列，则数列an的通项公式为
n212n10s
a212n112n10,a2，故A正确；Sn6n4,n6n4
n1n2n
12n2
故B正确；lnalnaln，不为常数，故C错误；由212n102024知
n1n12n10
1
1n169nN
2
数列an共有169项，故D错误．
1
11．BCD【解析】p1,F为,0，通径最短，故AB最短长度为2p2，A错误；
2
1
此时直线l为xy，法一．与y22x联立得y22y10,yy2，
212
3
，故中点为，
x1x2y1y213,1
2
y22x2yy
法二．设中点坐标为11，两式相减有121，
x0,y0,2
y22x2y1y2x1x2
yy13
故yy2,y121，故xy，B正确；
12020022
1
设AB中点为D，过点A,B,D作准线x的垂线，垂足分别为A,B,D，
2111
由抛物线定义知AA1AF,BB1BF，
111
DD1AA1BB1AFBFAB，
222
1
故以线段AB为直径的圆与直线x相切，C正确；
2
1
设直线l为xty，与y22x联立得y22ty10,yy2t,yy1，
21212
11
y1x2y2x1
yy22
kk12
AMBM1111
xx
12x1x2
2222
yty1yty12tyyyy2t2t
122112120，
111111
x1x2x1x2x1x2
222222
故AMFBMF，D正确
12．BD【详解】依题意可知m0,n0，
2121212
不等式ln2mnm4n2可化为lnm4nm4n2，
222
1
令am2,b4n，则lnabab2，即lnaa1lnbb10，
2
1x
设fxlnxx1(x0),fx，
x
所以fx在区间0,1,fx0,fx递增；在区间1,,fx0,fx递减．
所以fxf10，所以要使fafb0成立，则ab1，
11
即am21,b4n1，由于m0，故解得m2,n，
24
1112
则mn2,m2n2,m2n,mn，所以BD选项正确．
4224
23232
13.40【详解】依题可得C5x(2y)40xy
14．xy30（答案不唯一）
【详解】因为直线l与直线xy30垂直，可设l:xym0，
由圆(x2)2(y3)28，可得圆心坐标为2,3，半径为22，
又因为弦长为26，可得圆心到直线l的距离为d(22)2(6)22，
23m
即2，解得m7或m3．
2
所以直线l的方程为xy30或xy70，
故答案为：xy30（或xy70)．
15．1ln2
【详解】fx2axx2lnx是0,上的减函数，
x2
则fx2alnx0在0,上恒成立，
x
x2
即2alnx在0,上上恒成立，
x
212x2
设gxlnx1，则gx，
xxx2x2
当x0,2时，gx0，函数gx单调递减
当x2,时，gx0，函数gx单调递增，
故函数g(x)ming22ln2，故a1ln2，即a的最大值为1ln2．
故答案为：1ln2
3
317
．【详解】当时，，当时，出现连续次正面的情况可能是：正正正反、
16n3P31n43
428
4
113
正正正正、反正正正，所以，要求，即抛郑次没有出现连续次正面的概率，分
P413Pnn3
216
类进行讨论，
若第n次反面向上，前n1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次n1次n2次概率
1
反面P
2n1
1
正面反面P
4n2
1
正面正面反面P
8n3
111
所以PPPPn4，
n2n14n28n3
7133
又PP1,P,P,P
123841654
．【答案】（）
171Sn2an3n7
当n1时，S12a137，解得a14．
当时，，两式子相减得，
n2Sn12an13n17
an2an2an13，即an2an13
可以得到an32an13，即bn2bn1
又，
b1a131
数列bn是一个以1为首项，2为公比的等比数列
n1n1
（2）由（1）可知，bn2，而bnan3,an23
nn1
b2n12323
故n
cnn1nn1n
anan123232323
11
2n132n3
1111
Tcccc
n123n2032n342n3
a2b2c2a2c2b2
18．（1）3bcosCccosBbca，
2ab2ac
得a3
由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c2bc(bc)23bc
(bc)2
又因为bc
4
31
故9(bc)2(bc)2(bc)2
44