（2023.10适用版）
一、（40分）雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图
a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外
边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上
的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下
呈现．
图a大自然中的彩虹
图b一根光线经过水滴的折射、反射和出射图c平行光照射到水滴后的1级光
考虑一个球形水滴，直径为102m量级．如图b,一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面
相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过
kk(=0,1,2,)次反射后的出射光称为k级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）．
（）已知入射光线在水滴外表面上的入射角为空气和水的折射率分别为和．试求级光的偏向角的
1i,1nkk
表达式．
（2）当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角i变化时，k级光的
偏向角有一极小值试求及其对应的入射角的表达式．
kkm,kmik
（）由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率
3nikkn
dd
的变化率k与入射角i的关系式，并求当i取第（2）问中的i时k的表达式．
dnkdn
ii=k
（）图是单色平行光照射到水滴后出射的级光示意图，在级光偏向角极小值附近出射的光线较为
4c111m
集中，即光强较大，此处出现级虹，相应偏向角的极小值为级虹的偏向角，类似地为级虹的偏
11m1kmk
向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为n红=1.329和n紫=1.344,试分别计算k=1和
=级虹的偏向角红和紫以及虹的角宽度=紫红，并分别指出它们从内到外颜色排列的次
k2kmkmkk(kmmk)
序．角度的计算结果以度（）为单位，精确到0.01．
（5）透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中s偏振（偏
振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为光的偏振度定义为
IspIp,
II
sp．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度．
P=(n红=1.329)k=1k=2Pk
IIsp+
提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射
n1n212s
nncoscos2ncos
光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为112211
rtss=,=
nn1cos12++cos2nn1cos12cos2
对于p偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
nn2cos11cos22n1cos1
rtpp=,=
nn2cos11++cos2nn2cos11cos2
（6）在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定
性解释附属虹产生的原因．
图d
二、（50分）如图2a,一根长度为l、质量为m的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴O转动．只考虑杆在垂
直于转轴O的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（<，以逆时针方向为正）作
为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为g．
已知杆的转轴O在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为zt()=Acost,振幅Al<<,圆频率
g
>>．在随转轴O同步平动参考系中讨论杆的运动．
l
图a
（1）试写出()t满足的动力学方程．
（2）()t可表示为()t和()t之和，其中()t表示平稳运动，()t表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考
g
虑到（即()t和()t的特征频率相差若干个量级），在()t变化的一个周期内，()t可视为不变；
l
高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出()t
满足的动力学方程．
（）由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能
3()tVeff()
（取=0处势能为零）．
（）根据有效势能试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的
4Veff(),0
情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率．
（）初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，
5O(0)=00(>0)O0
应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度．
cc0c 三、（40分）卢瑟福粒子散射实验揭示了原子的核式结构．利用粒子散射实验可确定材料靶原子的种类、浓 度及其深度分布等信息．典型的实验装置示意图如图a所示，一束粒子入射到待测材料靶（例如金箔）上， 测量不同角度方向上散射粒子的数目． 图a图b图c （）粒子可以通过放射性元素的衰变获得．静止的210（钋）衰变到（铅），同时放出动能为 184PoPb5.31MeV 的粒子．试写出此衰变过程的反应式，并计算衰变末态粒子的总动能（单位取MeV,保留两位有效数字）． （2）如图b,质量为m、电荷为20ee(>)、动能为E的粒子从远处沿某直线入射，该直线与靶核A的距离 为b（瞄准距离）．该粒子被核电荷数为Z的原子核A散射后，其在远处的运动方向与远处入射方向之间的 夹角为（散射角）．靶核A可视为始终静止不动，求b与之间的关系b()． （3）在粒子散射实验中，入射的实际上是一束粒子流，其束流强度为I（单位时间内、单位横截面积上 入射的粒子数）．散射粒子的角分布相对于过A且与粒子远处入射方向平行的直线是轴对称的，在以靶核A dN 为中心的环带立体角元d=2sind内，单位时间出射的粒子数正比于Id dt dN =()dI dt 其中()具有面积量纲，称为微分散射截面．求()的表达式（其中不可含有参量b）． （4）实验上利用加速器获得动能不同的粒子与金原子核发生散射．在散射角=60时测得的微分散射截 面（相对值）与入射粒子动能的关系如图c所示，实验数据在粒子动能为25MV处出现拐点．试解释该 e2 拐点出现的原因，并计算该情形下粒子到金原子核的最小距离．已知=1.44fmMeV,金原子的核电 40 荷数为79．金原子核可视为始终静止不动． （5）在图a所示的粒子散射实验中，由于粒子源或探测器（荧光屏和显微镜）的遮挡，无法实现散射角 为180左右的测量．试提出一个方案，以实现散射角为180的测量，并画出实验方案示意图． 四、（50分）当两个原子之间的距离较小时，两者之间的相互作用表现为强的排斥；距离较大时，其相互作用 表现为弱的吸引．大量原子可通过此相互作用结合成晶体．温度趋于0K时，原子排列为周期性的空间点阵， 处于力平衡状态；温度高于0K时，原子将在平衡位置附近做小幅振动．考虑由质量为M的同种原子组成的 立方晶体，试用如下模型讨论原子如何结合成晶体以及晶体中原子振动对其热学性质的影响． （1）距离为R的两个原子之间的相互作用势能VR()可以近似表示为伦纳德-琼斯势 126 rr VR()=00 RR 其中表征相互作用强度，表征力程．假设平衡时原子排列在立方点阵的顶点上，即原子的平衡位置为 >0r0 Rlll,,=(lalalax,y,z),lx,ly,lz=,2,1,0,1,2, xyz 其中是晶格常数．为简单起见，假设伦纳德琼斯势的形式在晶体熔化前一直成立，参量和也视为不变．试 a-r0 n/2 导出晶格常数的表达式．计算结果中可包含如下常数：222 aAn=(lllxyz++) lllxyz,, 其中是任意正整数，表示对所有不全为零的求和． n…lllxyz,, lllxyz,, （）试计算近邻原子、次近邻原子和次次近邻原子分别对值的贡献． 2A6 （3）严格求解晶体中原子在平衡位置R附近的小幅振动是非常复杂的．为简化起见，爱因斯坦假设原子的 lllxyz 运动互不干扰，即考虑任意一个原子的振动时，假设其它原子都静止于各自的平衡位置处．在此模型下，求上 述晶体中每个原子的小幅振动的圆频率（结果可包含和）． EaAn 以下假设爱因斯坦模型（包括上述关于圆频率的结果）仍然可适用于大振幅的情形： E （4）原子按振动状态的分布为玻尔兹曼分布：当绝对温度为T时，原子的动量大小在[pp,+d]p内、相对于 E 平衡位置的位移大小在[,uu+d]u内的概率正比于ekTBp22ddpuu 其中是动量大小为、位移大小为时原子的能量，是玻尔兹曼常量．已知阿伏伽德罗常数为试计 EpukBNA, 算上述晶体的定容摩尔热容（须有必要的推导过程）． （）原子振动的振幅随温度升高而增大．按照林德曼判据，当偏离平衡位置的距离的平均值大于时，晶 5CaL 体就会熔化，其中为常数（量级为）．试导出晶体熔点的表达式（结果可包含和）． CL0.1aE +2+2+2213+ e?xdx=,edxxx2=,edxxxx34=,edxx= 02040028 ++++ fxgy()()dxyd=fx()dxgy()dy 0000 五、（40分）黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量M、角动量J和电荷Q完全决定．对于 一个JQ=00、=、质量为M的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为r 的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞． （1）按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为M的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速c,此天 体即为黑洞．试导出该天体半径r的表达式．已知太阳质量约为21030kg,引力常量 G=6.671011m3/(kgs2),真空中的光速c=3108m/s,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？ （2）以上由牛顿力学得到的r恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致． kc3 按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵S正比于其视界面积A,即SA=B 4G 其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为 kBM MM(<2M)的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含A）． （3）对于一个绝对温度为T、质量为M的简单黑洞，其内能U和熵S满足基本热力学关系ddU=TS．按 照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系U=Mc2给出．试由此导出黑洞温度T与其质量M之间的关系式， 并计算此黑洞的热容． （）假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知求该热机从 4M10M20MM20>10, 开始至最终的全过程对外所做的总功． （5）按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温 度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率P与黑洞质量M之间的关系PM()．已知斯特藩-玻尔兹曼 24k 常量=B． 6032c （）由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为不考虑其它因 6M0, 素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间． 六、（50分）在制作玻璃时通过掺入熔融的金属（如金、银、铜等），可以制成彩色的玻璃．这些金属颗粒中 的电子在光的电场驱动下，对入射白光中的特定频率成分产生共振吸收，导致光在此频率附近的成分转化为热， 从而使透过玻璃的光呈现出颜色．这种共振称为等离激元共振． （）考虑真空中一个半径为、相对介电常数为的均匀介质球，将其置于匀强外电场中．试求稳定后 1RrE0 球内的电场强度和球的电偶极矩．已知均匀介质球在均匀外场中是均匀极化的，真空介电常量为． Einp0 （2）考虑一块均匀金属导体，其导电电子数密度为n、质量为m、电荷量为>ee(0),电子在外场作用下定 向漂移速度为v时，被晶格散射的平均作用等效为一阻力f=mv,为阻力系数．不考虑电子间的相互作用． （）若此金属导体中有匀强恒定电场试求稳定后金属内的电流密度以及此金属的电导率． iE,j,0 （）若此金属导体中有振幅为、圆频率为的匀强交变电场电子将会运动形成电流．若 iiEmEt()=Emcost, 稳定后金属内的电流密度表示为记jm，可类比交流电的复数表示引入复电导率 jt()=jmcos(t+j),= Em ii(t+j) j在复数形式下金属内复电流密度和复电场强度it的关系可表述为 =e,jj=meE=Eem ne2 ．求此金属的复电导率的表达式（用、、和参量表示）． jE==Re+iIm0p= 0m （）在上述匀强交变电场中，电子将会整体同步地运动，可类比电介质定义金属导体中的极化强度．在复 数形式下金属内复极化强度和复电场强度的关系可表述为其中为复极化率．进而可引入复 PEPE=0, 电位移矢量和复相对介电常数．求此金属的复相对介电常数 D=00EP+=rEr ne2 的表达式（用和参量表示）． rr()=Re()+iIm()r、p= 0m （）用上述金属导体制成半径为的纳米球形颗粒，放入圆频率为的平面简谐电磁波中，其电场 3R( 振幅大小为波长远大于．只考虑金属颗粒在电场中的极化，且在复数形式下可与第（）问中介质球的 E0,R1 极化类比．已知不考虑电磁辐射． p, （）试求稳定后金属纳米颗粒内的电场振幅大小当时达到最大，发生等离激元共振，试 iEin();=r,Ein 求共振圆频率（为简单起见，求时可取）． rr=0 （）试求共振时该颗粒内的电场振幅大小以及共振时该颗粒内的平均发热功率．（考虑到 iiEEr=in(r),Pr 略去的高阶小量） p, g 七、（50分）假设磁单极子（点磁荷）g的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即Br()=0r 4r3 其中为真空磁导率，是场点相对于该磁荷所在处的位矢．通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且迄 0r 今为止实验上也没有发现磁单极子．1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾相接 的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示．若将每一个 小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电螺线管，如 图a右图所示．这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩gld与螺线管轴线上相应线元dl的微元磁矩dm相 等，即d?m=gld（见图a）．在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极子”，这样引入的磁单极 子遵循通常的电磁学规律．以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题． 按通常的电磁学理论，磁感应强度B的通量可表示为矢势A的环量，即B=dSAdl SL mr 其中L为曲面S的边界环路．磁矩为m的小电流环所激发的矢势为Ar()=0 4r3 其中r是场点相对于电流环所在处的位矢． 图a （1）如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为g,从原点沿负z轴伸向无穷远． 图b （i）导出此螺线管在位置(,r,)处(0<)的矢势A的表达式． dxx 提示：=+任意常数． 3222 (xa22+)ax+a （）对于图中以轴为轴线、球坐标固定的有向圆形环路请先计算矢势的环量，再 iizr,(0<)L,AL 按磁荷库仑定律计算点磁荷的磁场通过以圆环为边界的圆面的通量（面元法向沿轴正向，且与环路 gLLz 绕向成右手螺旋关系．不考虑=情形），并比较与的异同（如有差异，请分析差异的来源） 2LL （）从原点沿负轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流为低频交变电流， 2zIt()=I0cost 已知螺线管的横截面积为S,单位长度匝数为n． （i）求原点处的等效磁荷gt()． 6 （ii）将一单位长度电阻为R的导线弯成正三角形回路，其边长为a．该三角形位于za=的平面上， 012 螺线管穿过其中心，如图c所示．求此三角形回路的平均热功率．不考虑辐射以及三角形回路的自感． 图c 提示：可考虑正三角形对g所张的立体角． （3）阿哈罗诺夫玻姆效应（即AB效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为A0 出现磁效应．它揭示了磁矢势A的物理意义．用自由电子双缝干涉实验可验证AB效应．在该实验中，双缝 （缝宽很小）与屏之间的距离为D,双缝间距为dd()D；一根无限长的极细直螺线管垂直放置于电子经过 双缝后的路径之间，其单位长度匝数为n，横截面积为S,如图d所示．电子源发出的自由电子的动量大小为p、 电荷为>ee(0),若螺线管中的电流从0变化到I，求中心亮条纹在屏上移动的距离．已知动量为p的电子 1 在矢势场A中的波矢为k=()peA,其中为约化普朗克常量． 图d 试题一液体粘滞系数（16分） （选择题中有多选题，多选少选不得分） 粘滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦．液体内部以及液体与容器壁之间均存在粘 滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量．在工程机械、石油石化和医药等领域，常 常需要对试样的粘滞系数进行准确测量． 对于粘滞系数较大且较透明的液体，常采用落球法测量其粘滞系数．较深透明容器中盛有密度为的均匀、 L 静止的粘性液体，液面近似为无限宽广（忽略容器壁影响），密度为、半径为r的均质小球以较慢的速度在 该液体中下落（无转动），其受到的粘滞阻力F满足斯托克斯公式：F=6rv 上式中v为小球的运动速度，即为该液体的粘滞系数． （分）在液面处以静止状态释放小球，小球下落初段为变速运动，最终会趋于收尾速度．请推导小 1.12v0 球下落过程速度的表达式（含时间和重力加速度）并给出收尾速度的表达式（含 vt()r,L,,,t,gv0 和重力加速度）． r,L,,g （分）测量小球沉降的收尾速度可以计算液体的粘滞系数．实验中常采用测量小球近似匀速下落一 1.22v0, 段距离需要的时间来估算收尾速度．常将下落速度达到后的运动认为是近似匀速下落．若粘性液体 st0.99v0 密度33小球半径小球密度33液体粘滞系数约为 L=0.9710kg/m,r=0.72mm,=8.9110kg/m, 若小球浸没在液体中释放时请估算小球下落速度为时的下落距离． 0.50Pas,L=0,0.99v0L 图：落球法示意图 1.3（3分）若用落球法测量甘油的粘滞系数时，测得小球的直径为d=(2.000.01)mm,小球的密度为 33小球在甘油中近似匀速下落的时间为甘油的密度为 =8.8510kgm,t=(20.00.1)s,L=1.26g/mL, 重力加速度为g=9.80m/s2．请写出甘油的粘滞系数的计算公式，计算粘滞系数，给出以小球直径d和 下落时间t为直接测量量时粘滞系数的不确定度表示式，并计算其不确定度．