高考数学专题06 向量专题(新定义)(原卷版)

2023-11-19·14页·994.1 K

专题06向量专题(新定义)一、单选题1.(2023全国高三专题练习)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的.令,下面说法错误的是()A.若与共线,则B.C.对任意的,,D.2.(2022春湖南邵阳高一统考期中)定义.若向量,向量为单位向量,则的取值范围是()A.B.C.D.3.(2021春云南昆明高一云南师大附中校考期中)平面内任意给定一点和两个不共线的向量,,由平面向量基本定理,平面内任何一个向量都可以唯一表示成,的线性组合,,则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标,记为,在仿射坐标系下,,为非零向量,且,,则下列结论中()若,则若,则一定成立的结论个数是()A.1B.2C.3D.44.(2022高一单元测试)若对于一些横纵坐标均为整数的向量,它们的模相同,但坐标不同,则称这些向量为“等模整向量”,例如向量,即为“等模整向量”,那么模为的“等模整向量”有()A.4个B.6个C.8个D.12个5.(2017四川广元统考三模)对于个向量,若存在个不全为0的示数,使得:成立;则称向量是线性相关的,按此规定,能使向量,,线性相关的实数,则的值为()A.B.0C.1D.26.(2022秋内蒙古鄂尔多斯高三统考期中)对任意两个非零的平面向量,定义,若平面向量满足,的夹角,且和都在集合中,则=()A.B.1C.D.7.(2023全国高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图,在斜坐标系中,过点P作两坐标轴的平行线,其在x轴和y轴上的截距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标,记,则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中,下列选项错误的是()A.当时与距离为B.点关于原点的对称点为C.向量与平行的充要条件是D.点到直线的距离为8.(2022春黑龙江大庆高三大庆实验中学校考阶段练习)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为斜坐标系,若,则把有序数对叫做向量的斜坐标,记为.在的斜坐标系中,则下列结论中,错误的是();;;在上的投影为A.B.C.D.9.(2021春上海浦东新高一华师大二附中校考阶段练习)如图,定义、的向量积,为当、的起点相同时,由的方向逆时针旋转到与方向相同时,旋转过的最小角,对于,,的向量积有如下的五个结论:;;;;;其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个10.(2022春山西朔州高一校考阶段练习)定义为两个向量,间的“距离”,若向量,满足下列条件:();();()对于任意的,恒有,现给出下面结论的编号,.....则以上正确的编号为()A.B.C.D.11.(2018湖南统考一模)在实数集中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”.定义如下:对于任意两个向量,,当且仅当“”或“且”,按上述定义的关系“”,给出下列四个命题:若,,,则;若,,则;若,则对于任意的,;对于任意的向量,其中,若,则.其中正确的命题的个数为()A.4B.3C.2D.112.(2017秋河南郑州高三郑州一中阶段练习)若非零向量的夹角为锐角,且,则称被“同余”.已知被“同余”,则在上的投影是()A.B.C.D.13.(2022春陕西榆林高一榆林市第一中学校考期中)设定义一种向量积:.已知,,点在的图象上运动,点Q在的图象上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的最大值A及最小正周期T分别为()A.2,B.2,4C.,4D.,14.(2023河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)设向量与的夹角为,定义.已知向量为单位向量,,,则()A.B.C.D.15.(2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中)记,设,为平面内的非零向量,则()A.B.C.D.16.(2021全国高三专题练习)对于向量,把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图,矩形的两条对角线相交于点,延长至,使得,联结,分别交于两点.下列的结论中,正确的是()A.的“平衡点”为.B.的“平衡点”为的中点.C.的“平衡点”存在且唯一.D.的“平衡点”必为二、多选题17.(2022春浙江高一期中)如图所示,在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量,,称为平面上的一个仿射坐标系,记作,向量与有序数组之间建立了一一对应关系,有序数组称为在伤射坐标系下的坐标,记作.已知,是夹角为的单位向量,,,则下列结论中正确的有()A.B.C.D.在方向上的投影向量为18.(2022春河南高一校联考阶段练习)对任意两个非零向量,定义新运算:.已知非零向量满足且向量的夹角,若和都是整数,则的值可能是()A.2B.C.3D.419.(2023全国高三专题练习)已知向量,是平面内的一组基向量,O为内的定点,对于内任意一点P,当时,则称有序实数对为点P的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为,,关于下列命题正确的是()A.线段A,B的中点的广义坐标为B.A,B两点间的距离为C.若向量平行于向量,则D.若向量垂直于向量,则20.(2022江苏南京统考模拟预测)设是大于零的实数,向量,其中,定义向量,记,则()A.B.C.D.21.(2022浙江温州高一永嘉中学统考竞赛)设、、是平面上任意三点,定义向量的运算:,其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到(若为零向量,规定也是零向量).对平面向量、、,下列说法正确的是()A.B.对任意,C.若、为不共线向量,满足,则,D.22.(2023春湖北武汉高一华中师大一附中校考阶段练习)对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量满足与的夹角,且和都在集合中.给出以下命题,其中一定正确的是()A.若时,则B.若时,则C.若时,则的取值个数最多为7D.若时,则的取值个数最多为23.(2023全国高三专题练习)定义平面向量的一种运算“”如下:对任意的两个向量,,令,下面说法一定正确的是()A.对任意的,有B.存在唯一确定的向量使得对于任意向量,都有成立C.若与垂直,则与共线D.若与共线,则与的模相等三、填空题24.(2023春江苏泰州高一靖江高级中学校考阶段练习)设向量与的夹角为,定义与的“向量积”,是一个向量,它的模等于,若,,则______.25.(2018春安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在平面斜坐标系中,,平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若(其中,分别为,轴方向相同的单位向量),则的坐标为,若关于斜坐标系的坐标为,则______26.(2019春安徽芜湖高一校联考期中)定义,若,,则与方向相反的单位向量的坐标为______________.27.(2022秋湖南长沙高三校考阶段练习)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.如图所示,顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、,则顶点R的坐标为______.28.(2022春北京海淀高一校考期中)设平面中所有向量组成集合,为中的一个单位向量,定义.则下列结论中正确的有___________(只需填写序号).若,则;若,,则;若,,,则有唯一解.29.(2022春江苏南通高一海安市曲塘中学校考期中)小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果:若,,则.试用上述成果解决问题:已知,,,则___________.30.(2022春上海宝山高一上海交大附中校考阶段练习)关于任意平面向量可实施以下6种变换,包括2种v变换和4种w变换:模变为原来的倍,同时逆时针旋转90;:模变为原来的倍,同时顺时针旋转90;:模变为原来的倍,同时逆时针旋转45;:模变为原来的倍,同时顺时针旋转45;:模变为原来的倍,同时逆时针旋转135;:模变为原来的倍,同时顺时针旋转135.记集合,若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取,依次将第i次抽取的变换记为,即可得到一个n维有序变换序列,记为,则以下判断中正确的序号是______.单位向量经过2022次v变换后所得向量一定与向量垂直;单位向量经过2022次w变换后所得向量一定与向量平行;单位向量经过变换后得到向量,则中有且只有2个v变换;单位向量经过变换后不可能得到向量;存在n,使得单位向量经过次变换后,得到.31.(2022春湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习)设V是已知平面M上素有向量的集合,对于映射,记的象为.若映射满足:对所有及任意实数都有,则f称为平面M上的线性变换,现有下列命题:设f是平面M上的线性变换,,则;若是平面M上的单位向量,对,设,则f是平面M上的线性变换;对,设,则f是平面M上的线性变换;设f是平面M上的线性变换,,则对任意实数k均有.其中的真命题是______(写出所有真命题的编号).32.(2021春重庆南岸高一重庆第二外国语学校校考阶段练习)定义平面非零向量之间的一种运算“”,记,其中是非零向量的夹角,若,均为单位向量,且,则向量与的夹角的余弦值为_________.33.(2021春陕西宝鸡高一统考期末)设是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做在坐标系中的坐标.假设,则的大小为________.34.(2018春浙江台州高一台州中学校考期中)已知向量及向量序列:满足如下条件:,且,当且时,的最大值为__________.35.(2017春北京东城高二统考期末)已知平面向量,平面向量,(其中).定义:.若,,则=_____________;若,且,,则_________,__________(写出一组满足此条件的和即可).36.(2014安徽高考真题)已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记,表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号).有5个不同的值.若则与无关.若则与无关.若,则.若,则与的夹角为37.(2021春重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考阶段练习)定义:对于实数和两个定点、,在某图形上恰有个不同的点,使得,称该图形满足“度囧合”,若在边长为的正方形中,,,且该正方形满足“度囧合”,则实数的取值范围是_________.38.(2022全国高三专题练习)定义两个向量组的运算,设为单位向量,向量组分别为的一个排列,则的最小值为_______.39.(2022北京顺义统考二模)向量集合,对于任意,,以及任意,都有,则称集合是“凸集”,现有四个命题:集合是“凸集”;若为“凸集”,则集合也是“凸集”;若都是“凸集”,则也是“凸集”;若都是“凸集”,且交集非空,则也是“凸集”.其中,所有正确的命题的序号是_____________________.四、解答题40.(2022秋河北沧州高二校考开学考试)平面内一组基底及任一向量,若点在直线上或在平行于的直线上,我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”,此时为定值,请证明该结论.41.(2022秋上海嘉定高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知在平面直角坐标系中,为坐标原点,定义非零向量的“相伴函数”为,向量称为函数的“相伴向量”;记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为(1)已知,,若函数为集合中的元素,求其“相伴向量”的模的取值范围;(2)已知点满足条件:,,若向量的“相伴函数”在处取得最大值,当在区间变化时,求的取值范围;(3)当向量时,“相伴函数”为,若,方程存在4个不相等的实数根,求实数的取值范围.42.(2022春上海奉贤高一校考期末)对于一个向量组,令,如果存在,使得,那么称是该向量组的“好向量”(1)若是向量组的“好向量”,且,求实数的取值范围;(2)已知,,均是向量组的“好向量”,试探究的等量关系并加以证明.43.(2021春山西临汾高一统考阶段练习)如图,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别是AD,BC的二等分点.(1)EF,EG有什么关系?用向量方法证明你的结论.(2)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量,叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P.已知正方形ABCD中,点,点,把点G绕点E沿顺时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标.44.(2021春四川成都高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)定义非零向量的“相伴函数”为,向量称为函数的“相伴向量”(其中为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.(1)设,请问函数是否存在相伴向量,若存在,求出与共线的单位向量;若不存在,请说明理由.(2)已知点满足:,向量的“相伴函数”在处取得最大值,求的取值范围.

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