高考数学专题02 函数与导数（新定义）（原卷版）

专题02函数与导数（新定义）一、单选题1．（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（）A．B．C．D．2．（2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：对任意a，，；对任意，；对任意a，，．则函数的值域是（）A．B．C．D．3．（2023上海统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（）A．B．C．D．4．（2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5．（2023高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（）A．B．C．D．6．（2023秋江苏无锡高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如；．已知函数，其中，则函数的值域为（）A．B．C．D．7．（2023山东菏泽统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（）A．B．C．D．8．（2022秋河北邢台高一统考期末）在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（）A．B．C．D．9．（2022秋广东深圳高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．10．（2022秋山东日照高一统考期末）已知符号函数则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件11．（2023秋山东潍坊高一统考期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．（2023秋青海西宁高一统考期末）定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A．B．C．D．13．（2023全国高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．（2022秋山东青岛高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：，；；.则（）A．B．C．D．15．（2016辽宁沈阳东北育才学校校考一模）定义两种运算：，，则函数的解析式为（）A．，B．，C．，D．，16．（2023全国高三对口高考）定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．17．（2022秋广西河池高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的，恒有，则称函数为“纯函数”，给出下列四个函数（1）；（2）；（3）；（4），则下列函数中纯函数个数是（）A．0B．1C．2D．318．（2021秋上海黄浦高三上海市大同中学校考期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”．若函数，则是“（）阶准奇函数”．A．1B．2C．3D．419．（2022秋上海徐汇高一位育中学校考阶段练习）定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（）A．B．C．D．20．（2022秋浙江杭州高一杭州四中校考期中）设是上的任意实值函数．如下定义两个函数和，对任意，，则下列等式不恒成立的是（）A．B．C．D．21．（2021秋上海徐汇高一上海中学校考期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（）个．；；；．A．1B．2C．3D．422．（2022秋黑龙江哈尔滨高一校考期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（）A．B．C．D．23．（2022秋河南周口高一校考期中）对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．24．（2021秋浙江嘉兴高一校联考期中）定义，如．则函数的最小值为（）A．B．C．D．25．（2023高一课时练习）函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”．若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．26．（2020秋北京顺义高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（）；A．0B．1C．2D．327．（2022秋江苏连云港高一校考阶段练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）A．B．C．D．28．（2022秋安徽滁州高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和,上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）A．B．C．D．29．（2022秋江西景德镇高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数对任意且，都有，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（）A．B．C．D．30．（2023秋陕西咸阳高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（）A．B．C．D．31．（2023全国高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（）A．B．C．D．32．（2022高二课时练习）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．33．（2022秋广东深圳高三校考阶段练习）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．34．（2022春山东高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）A．B．C．D．二、多选题35．（2023秋陕西渭南高一统考期末）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，在上是单调函数，当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（）A．函数有3个“和谐区间”；B．函数，存在“和谐区间”C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为36．（2023秋云南昆明高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（）A．是单调递增函数B．当时，的最大值为C．当为素数时，D．当为偶数时，37．（2022秋河北邢台高一统考期末）对于函数，若在区间上存在，使得，则称是区间上的“稳定函数”.下列函数中，是区间上的“稳定函数”的有（）A．B．C．D．38．（2023秋湖北襄阳高一统考期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是B．函数是回旋函数C．若函数为回旋函数，则D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点39．（2023秋河南周口高一统考期末）若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有；若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）A．B．C．D．40．（2023秋辽宁沈阳高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是（）A．对任意，，都有B．函数的值域为或C．函数在区间上单调递增D．41．（2023山东临沂高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称值是的一个周期为k的周期点．若，下列各值是周期为2的周期点的有（）A．0B．C．D．42．（2022秋河南漯河高一漯河四高校考期末）设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（）A．B．C．D．43．（2023秋上海崇明高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．若，则；若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．44．（2022秋上海宝山高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数的定义域为，满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是___________.45．（2023秋山东德州高一统考期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有_______个．46．（2021春福建三明高二三明一中校考阶段练习）对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.47．（2021春重庆渝北高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．48．（2018春河南南阳高二统考期中）定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上是一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．四、解答题49．（2023全国高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点.(1)求函数的不动点；(2)若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围.50．（2023秋北京高一校考期末）已知函数，若点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数.(1)求函数的解析式；(2)对任意的的图像总在其相关函数图像的上方，求实数的取值范围.51．（2023秋上海徐汇高一位育中学校考期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数”(1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由；(2)当时，证明：是“J形函数”；(3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围.52．（2022秋陕西安康高三统考期末）已知函数.(1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围；(2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”.已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围.53．（2022高二课时练习）记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值．54．（2023秋广东江门高一统考期末）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”.(1)已知函数，试问是否为“伪奇函数”？请说明理由；(2)是否存在实数满足函数是定义在上的“伪奇函数”？若存在，请求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.