数学
2023.11
命题：丁君斌（台州一中）王强（三门中学）
审题：庄丰（玉环中学）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将
所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合A1,2,2,1，Bx,y|xy1，则AB（）
A．2,1B．2,1C．1,2D．1,2
2．若coscos，则的取值可以为（）
3
52
A．B．C．D．
6363
1
3．已知非零向量a，b，c满足ab，ca，若c为b在a上的投影向量，则向量a，b夹角的余弦
3
值为（）
1111
A．B．C．D．
2345
4．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且a，b，则“a//b”是“”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长
8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6
人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）
A．288种B．360种C．480种D．504种
6．函数yfx的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）
11
A．yf1xB．yf1x
22
C．yf42xD．yf42x
7．已知二面角l的平面角为0，A，B，Cl，Dl，ABl，AB与平
2
S1
面所成角为．记ACD的面积为S1，BCD的面积为S2，则的最小值为（）
6S2
31
A．2B．3C．D．
22
123
8．已知atan，btan，c，则（）
2
A．acbB．cabC．abcD．bca
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个
球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）
A．可能取到数字4B．中位数可能是2C．极差可能是4D．众数可能是2
10．已知等差数列a中，a，公差为，btana，记S为数列a的前n项和，则下列说法正
n142nnnn
确的是（）
n
A．bn1
11n1
B．bbbb
123n2
1n1n
C．若cab，则cccc
nnn123n4
2n2n
D．若dbS，则dddd
nnn1232n4
x2y2
11．已知A为双曲线C：1上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点
169
A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（）
A．若AB10，则AFBFB．若AFBF，则ABF的面积为9
AF
C．2D．AFAM的最小值为8
AM
12．已知gx是定义域为R的函数fx的导函数，f01，f10，gxg2x0，
fxgx
0，则下列说法正确的是（）
x1
1
A．f21B．f3（e为自然对数的底数，e2.71828）
e
C．存在x0R，fx00D．若x00,1，则fx00,1
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1
13．若z2i（i为虚数单位），则z______．
2
14．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学玟分别有
75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为1:1:2，现从这三所学玟中随机选取一个学
生，则这个学生选了物理的概率为______．
15．在ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．若角A为锐角，b3，c4，则ABC的
周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）
16．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的
轴．过抛物线C：y24x上的点P（不为原点）作C的切线l，过坐标原点O作OQl，垂足为Q，直
线PF（F为抛物线的焦点）与直线OQ交于点T，点A0,2，则TA的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若*，．
17annSnan1an212annNS5121
（）求数列an的通项公式；
（）若bnanlnan，求数列bn的前n项和Tn．
18．已知fxsinxsinxcosxR．
（）当0时，求fx的最小正周期以及单调递减区间；
（）当2时，求fx的值域．
19．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB4，ADAE2．将ADE沿
AE折起，使点D到达点P的位置．
（第19题）
（）若平面APE平面ABCE，求证：APBE；
33
（）若点A到直线PC的距离为，求二面角PAEB的平面角的余弦值．
3
20．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绕（y分）的关系，某实验小
组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号12345
学习时间x3040506070
数学成绩y65788599108
（）请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的
55
数学成绩：（参考数据：，，的方差为）
xiyi22820yi435xi200
i1i1
（）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按
照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22列联表（表二）．依据表中数据及小概率
值0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
没有进步有进步合计
参与周末在校自主学习35130165
未参与周末不在校自主学习253055
合计60160220
n
xxyy2
iinadbc
附：bi1，aybx．2．
n2abcdacbd
xix
i1
0.100.050.0100.0050.001
2.7063.8416.6357.87910.828
x2
21．已知椭圆：y21a1的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动（不含端点），
a2
点P1,0，直线PQ与椭圆交于C，D两点（点C在点P左侧），PD中点M的轨迹交y轴于E，F两
3
点，且EF．
2
（）求椭圆的方程；
（）记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，求k1k2的最小值．
x
22．设fx
lnx
x2
（）求证：fx；
x1
（）若fxnln1x2恒成立，求整数n的最大值．（参考数据ln20.693，ln31.099）
台州市2024届高三第一次教学质量评估试题
数学参考答案及评分标准2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．B2．C3．B4．A
5．C6．A7．D8．A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．BD10．BCD11．ABD12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
347
13．14．15．9（答案不唯一，8,12内的任何一个值均可）
280
．
1651,51
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
2
解：（）设an的公比为qq0，依题意得：anqanq12an，
即q2q120，解得q3或q4（舍去）．
5
a113
又由S121，解得a1，故aaqn13n1；
5131n1
n1
（）因为bn3n1ln3，
所以012n1
Tnb1b2b3bn3333123n1ln3
13nn1n3n1n1nln3
ln3．
1322
18．（本小题满分12分）
解：（）当0时，fxsinxcosx2sinx，
4
35
令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，
24244
5
所以函数fx的最小正周期为2，单调递减区间为2k,2kkZ．
44
（）设sinxcosxt2t2，则sin2xt21，
2
215
令gttt1，t2,2，又gtt，
24
15
故当t2时，gt取得最大值12，当t时，gt取得最小值，
24
5
所以fx的值域为,12．
4
19．（本小题满分12分）
（）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且ADE为等边三角形，所以BCE120．
又E为CD的中点，所以CEEDDACB，所以BCE为等腰三角形，
故CEB30，所以AEB180AEDBCE90，即BEAE
因为平面APE平面ABCE，平面APE平面ABCEAE，BE平面ABCE，
所以BE平面APE，又AP平面APE，所以APBE．
（）取AE的中点O，连接PO，因为APE为等边三角形，所以POAE，
取AB的中点G，则OG//BE，由（）得BEAE，所以OGAE，
所以POG即为二面角PAEB的平面角，记为．
以点O为坐标原点，以OA，OG，OZ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标
系．
则A1,0,0，C2,3,0，P0,3cos,3sin，
PA1,3cos,3sin；PC2,33cos,3sin，
2
2
2PAPC13cos
所以点A到直线PC的距离为AP4，
PC106cos
2
13cos3317
由4，解得cos，或cos，
106cos339
17
所以二面角PAEB的平面角的余弦值为或．
39
20．（本小题满分12分）
3040506070
解：（）x50，
5
435152
，又，的方差为，
y87xii1,2,3,,5xix200
55i1
55
xxyyxy5xy
iiii2282055087
所以bi1i11.07，
5252001000
xix
i1
aybx871.075033.5，故y1.07x33.5，当x100时，y140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
22
nadbc220251303530110
212.22，
abcdacbd16555601609
因为12.2210.828，所以依据0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
21．（本小题满分12分）
解：（）设PD中点Mx0,y0，则D2x01,2y0，
1a1
因为点Q在线段AB上，可得02x1a，即x，
0202
2
x22x1
由点D在椭圆：y21上，所以04y21，
a2a20
113x2
令x0，得y1，由2y，解得a24，故椭圆的方程为y21．
002a2024
（）设CD：ykx1，k1，Cx1,y1，Dx2,y2．
ykx12
8k24k1
由2得4k21x28k2x4k210，xx，xx，
x2122122
y14k14k1
4
y11kx1k1k1k1
又k1k，k2k，
x1x1x1x2
2
64k416k1
2
24k21
11xx4k13k21
kkk1k121k1，
122
x1x2x1x24k1k1
4k21
2
3t26t4113
令，得，
tk10,2k1k2463
ttt2
413
当t即k时取等号，所以kk的最小值为．
33122
22．（本小题满分12分）
xx2
解：（）要证：，（x0，x1），
lnxx1
1xx11
只要证：，因为与lnx同号，只要证：lnx1，即证：lnx10．
lnxx1x1xx
111x1
令gxlnx1，（x0，x1），gx，
xxx2x2
由gx0，得x1，所以gx在0,1上递减，在1,上递增，
所以gxg10，故原不等式得证．
11
（）因为x0,1，当x时，有nln32ln2，
22ln2
111
则n2,3，所以整数n2．
22ln2ln3ln221.3861.0990.69320.2870.693
2x2
当时，由（）可得2，
n22ln1x2
x1
x2x211
下证：，，只要证：．
2x0,1lnxx
lnxx12x
1
令hx2lnxx，x0,1，
x
2
21x22x1x1
因为hx10，
xx2x2x2
所以hx在0,1上单调递减，故hxh10，所以得证．
综上所述，整数n的最大值为2．