重庆市铜梁一中等三校2023-2024学年高三10月联考数学答案

秘密启用前2023-2024学年上学期三校联合考试（高2024届）数学试题卷（共4页，满分150分．考试时间120分钟．）命题：白凤莉审题：李松田注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义即可求得答案.【详解】因为，，所以.故选：D.2.已知命题：，，那么是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题：，，则为：，.故选：B.3.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.4.=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】由题意知，，所以.故选：D.5.已知为了破解某密码，在最坏的情况下，需要进行2512次运算．现在有一台计算机，每秒能进行2.51014次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg20.3，1.58)（）A.3.1610139秒B.1.5810139秒C.1.5810140秒D.3.1610140秒【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则，结合题目条件，列出方程求解即可.【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为秒，则，所以，，所以．故选：B6.在中，，，则角的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，则，利用基本不等式求出的最小值，结合角的取值范围可求得角的最大值.【详解】设，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为，则.故选：A.7.对于函数，有下列结论：最小正周期为；最大值为2；减区间为；对称中心为．则上述结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】将化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.【详解】解：.,正确；时，错误；令,解得，因此减区间为，正确；令，解得，此时，故对称中心为，故错误.所以，上述结论正确的个数是2个.故选：B.8.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答.【详解】函数，则，因，则不等式成立必有，即，令，求导得，当时，，当时，，因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，当时，，于是得，即，令，当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，当时，，于是得，即，此时，函数在上单调递增，，，不等式解集为，所以不等式的解集为.故选：B【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，且，则下列结论中正确的是（）A有最大值B.有最小值3C.有最小值D.有最大值4【答案】BD【解析】【分析】对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断.【详解】对于A选项，因为，且，所以由可得，当且仅当时等号成立，.故A错误；对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，因为所以，当且仅当即时等号成立，故C错误对于D选项，因为，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，故，此时，故D正确故选：BD10.已知正八边形ABCDEFGH，其中，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】建立平面直角坐标系，借助平面向量的坐标运算，对各项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】分别以，所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知作，垂足为，则．因为，所以，所以，同理可得其余各点坐标，，，故A正确；，故B正确；，，，所以，故C正确；，，，，故D不正确．故选：ABC11.已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（）A.的图象关于对称B.C.若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增D.若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为【答案】BC【解析】【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用【详解】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；对于B选项，因为且函数为偶函数，所以，可得，所以，，所以，对任意的，，B对；对于C选项，因为，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；对于D选项，当时，，，所以，，D错.故选：BC.12.已知函数及其导函数满足，且，则（）A.在上单调递增B.在上有极小值C.的最小值为-1D.的最小值为0【答案】ABD【解析】【分析】构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.详解】设，则，所以（C为常数），所以，又，所以，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，因为，所以，所以在上有极小值可知A，B都正确．，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值即最小值为，故C错误．，当时，，，所以，当时，，，所以，而当时，，所以的最小值为0，故D正确．故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设则是成立的___________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可．【详解】解析当时，，显然不一定成立；反之，，则必然成立．故答案为：必要不充分14.在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意得，求出，所以，即，求解即可.【详解】因为，所以，又，即，因为点在线段上，所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，所以，又是边长为的等边三角形，所以，故.故答案为：.15.函数点处的切线方程为___________.【答案】【解析】【分析】求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率即得解.【详解】解：，所以切点为，，，所以切线的斜率为.故该切线方程为，即.故答案为：16.已知函数，则不等式的解集是______.【答案】，【解析】【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解．【详解】构造函数，那么是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称．不等式等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数图像上相邻两条对称轴的距离是，的最大值与最小值之差为1，且的图像的一个对称中心是．（1）求函数的解析式；（2）若方程在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得的周期、振幅，再根据正弦函数的对称点公式求解即可；（2）根据正弦函数的单调性与值域求解即可.【小问1详解】因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.又，故，.因为的最大值与最小值之差为1，故，，又由的图像的一个对称中心是，故，则，又，故当时，，故.【小问2详解】，，，，若方程在区间上有解，则，故实数m的取值范围是18.已知函数的图象关于原点对称．（1）求a的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数列出方程求解即可；（2）等价转换，分离变量，构造新函数，利用导数研究函数单调性，从而确定实数的取值范围.【小问1详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，即有，所以，则，即，解得，当时，，不满足题意，当时，，函数定义域为，且，满足题意，综上，可得的值为；【小问2详解】由，得恒成立，即当，恒成立，令，则显然在恒成立，所以在上单调递减，则的最大值为，所以，即实数的取值范围为．19.如图，在四边形中，（1）求角的值；（2）若，，求四边形的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.【小问1详解】，因为，得，或，解得或，因为，得，【小问2详解】在中，，在中，，，，，得，，所以四边形的面积为20.已知函数.（1）求的单调区间；（2）求过点的切线方程.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）y2x1【解析】【分析】（1）求出，令，求得增区间，令，求得减区间；（2）设出切点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，建立方程求出，可得切线斜率，求出切线方程.【小问1详解】的定义域为，，所以的单调递增区间是：，单调递减区间是：.【小问2详解】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率，又由斜率公式得，，因为切点在上，所以，所以，即，设，，在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为.21.在中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；（2）由（1）知，又是锐角三角形，可得，根据且其面积为可得，再设，根据角度关系化简可得，再根据求解即可.【小问1详解】因为，则，所以，即，得.所以或（不成立，舍去），从而，又，所以.【小问2详解】由（1）知，又是锐角三角形，则，得.因为，所以.设，因为，所以，因为，则，所以，从而，即，所以边的取值范围是.22.已知函数，.（1）讨论的单调性并求极值.（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可.【小问1详解】因为在上单调递增，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】因为，所以，当时，，所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，由可得，下面证明当时，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以当时，