理科数学
一、选择题
2i
z25
1.设1ii，则z（）
A.12iB.12iC.2iD.2i
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2i2ii2i2i1
【详解】由题意可得z12i，
1i2i511ii21
则z12i.
故选：B.
2设集合UR，集合Mxx1，Nx1x2，则xx2（）
.
A.UMNB.NUM
C.UMND.MUN
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x2即可.
【详解】由题意可得MNx|x2，则UMNx|x2，选项A正确；
UMx|x1，则NUMx|x1，选项B错误；
MNx|1x1，则UMNx|x1或x1，选项C错误；
UNx|x1或x2，则MUNx|x1或x2，选项D错误；
故选：A.
3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）
第1页/共25页
A.24B.26C.28D.30
【答案】D
【解析】
【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.
【详解】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13，
点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1,C1,D1,A1的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，
则三视图所对应的几何体为长方体ABCDA1B1C1D1去掉长方体ONIC1LMHB1之后所得的几何体，
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，
其表面积为：22242321130.
故选：D.
xex
4.已知f(x)是偶函数，则a（）
eax1
A.2B.1C.1D.2
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
第2页/共25页
xa1x
xexxxxee
【详解】因为为偶函数，则xexe，
fxaxfxfx0
e1eax1eax1eax1
又因为x不恒为0，可得exea1x0，即exea1x，
则xa1x，即1a1，解得a2.
故选：D.
22
5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域x,y1xy4内随机取一点，记该点为A，则直线OA
的倾斜角不大于的概率为（）
4
1111
A.B.C.D.
8642
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
22
【详解】因为区域x,y|1xy4表示以O0,0圆心，外圆半径R2，内圆半径r1的圆环，
则直线OA的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角MON，
44
2
结合对称性可得所求概率1.
P4
24
故选：C.
22
6.已知函数f(x)sin(x)在区间,单调递增，直线x和x为函数yfx的图像的
6363
5
两条对称轴，则f（）
12
3113
A.B.C.D.
2222
第3页/共25页
【答案】D
【解析】
5
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x即可得到答案.
12
2
【详解】因为f(x)sin(x)在区间,单调递增，
63
T22
所以，且0，则T，w2，
2362T
当x时，fx取得最小值，则22k，kZ，
662
55
则2k，kZ，不妨取k0，则fxsin2x，
66
553
则fsin，
1232
故选：D.
7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
（）
A.30种B.60种C.120种D.240种
【答案】C
【解析】
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有1种情况，
C6
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的种读物里，选出两种进行排列，共有2种，
5A5
根据分步乘法公式则共有12种，
C6A5120
故选：C.
8.已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，AOB120，若PAB的面
积等于93，则该圆锥的体积为（）
4
A.B.6C.3D.36
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
第4页/共25页
o
【详解】在AOB中，AOB120，而OAOB3，取AC中点C，连接OC,PC，有
OCAB,PCAB，如图，
393193
ABO30，OC,AB2BC3，由PAB的面积为，得3PC，
2424
33333
解得PC，于是POPC2OC2()2()26，
222
11
所以圆锥的体积VOA2PO(3)266.
33
故选：B
9.已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，ABD为等边三角形，若二面角CABD为150，则
直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）
1232
A.B.C.D.
5555
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取AB的中点E，连接CE,DE，因为ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CEAB，
又ABD是等边三角形，则DEAB，从而CED为二面角CABD的平面角，即CED150，
第5页/共25页
显然CEDEE,CE,DE平面CDE，于是AB平面CDE，又AB平面ABC，
因此平面CDE平面ABC，显然平面CDE平面ABCCE，
直线CD平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
从而DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB2，则CE1,DE3，在CDE中，由余弦
定理得：
3
CDCE2DE22CEDEcosCED13213()7，
2
DECD3sin1503
由正弦定理得，即sinDCE，
sinDCEsinCED727
35
显然DCE是锐角，cosDCE1sin2DCE1()2，
2727
3
所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为.
5
故选：C
2*
10.已知等差数列a的公差为，集合ScosanN，若Sa,b，则ab（）
n3n
11
A.1B.C.0D.
22
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
222
【详解】依题意，等差数列{a}中，aa(n1)n(a)，
nn13313
22
显然函数ycos[n(a)]的周期为3，而nN，即cosan最多3个不同取值，又
313
，
{cosan|nN}{a,b}
则在cosa1,cosa2,cosa3中，cosa1cosa2cosa3或cosa1cosa2cosa3，
22
于是有coscos()，即有()2k,kZ，解得k,kZ，
333
41
所以kZ，abcos(k)cos[(k)]cos(k)coskcos2kcos.
333332
故选：B
第6页/共25页
y2
11.设A，B为双曲线x21上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）
9
A.1,1B.(-1,2)C.1,3D.1,4
【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得kABk9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
x1x2y1y2
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则AB的中点M,，
22
y1y2
yyyy
可得k12,k212，
AB
x1x2x1x2x1x2
2
2
2y1
x11
22
因为在双曲线上，则9，两式相减得22y1y2，
A,Bx1x20
y29
x221
29
y2y2
所以12
kABk229.
x1x2
对于选项A：可得k1,kAB9，则AB:y9x8，
y9x8
联立方程2，消去得2，
2yy72x272x730
x1
9
2
此时272472732880，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
995
对于选项B：可得k2,k，则AB:yx，
AB222
95
yx
22
联立方程，消去y得45x2245x610，
y2
x21
9
2
此时24544561445160，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
第7页/共25页
对于选项C：可得k3,kAB3，则AB:y3x
由双曲线方程可得a1,b3，则AB:y3x为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
997
对于选项D：k4,k，则AB:yx，
AB444
97
yx
44
联立方程，消去y得63x2126x1930，
y2
x21
9
此时12624631930，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
12.已知O的半径为1，直线PA与O相切于点A，直线PB与O交于B，C两点，D为BC的中点，
若PO2，则PAPD的最大值为（）
1+2122
A.B.
22
C.12D.22
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
1212
PAPDsin2，或PAPDsin2然后结合三角函数的性质即可确定
224224
PAPD的最大值.
【详解】如图所示，OA1,OP2，则由题意可知:APO45，
由勾股定理可得PAOP2OA21
第8页/共25页
当点A,D位于直线PO异侧时，设OPC=,0，
4
则：PAPD=|PA||PD|cos
4
12coscos
4
22
2coscossin
22
cos2sincos
1cos21
sin2
22
12
sin2
224
0，则2
4444
当2时，PAPD有最大值1.
44
当点A,D位于直线PO同侧时，设OPC=,0，
4
则：PAPD=|PA||PD|cos
4
第9页/共25页
12coscos
4
22
2coscossin
22
cos2sincos
1cos21
sin2
22
12
sin2
224
0，则2
4442
1+2
当2时，PAPD有最大值.
422
1+2
综上可得，PAPD的最大值为.
2
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
二、填空题
13.已知点A1,5在抛物线C：y22px上，则A到C的准线的距离为______.
9
【答案】
4
【解析】
5
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x，最后利
4
用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.
2
【详解】由题意可得：52p1，则2p5，抛物线的方程为y25x，
559
准线方程为x，点A到C的准线的距离为1.
444
9
故答案为：.
4
第10页/共25页