一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或
不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如afx的函数取对数可
以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在
解高考导数题中有时能大显身手.
二、解题秘籍
(一)等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数
通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子
的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对
数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.
lnx+1
1(2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试)已知函数fx=.
ax
(1)讨论fx的单调性；
x2x122
(2)若ex1=ex2(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1x2，证明：x1+x2>2.
1
(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算，
形如fagb=hcfa>0,gb>0,fc>0或fagb>hc的等式或不等式通过两边取对数，
可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级.
2(2024届辽宁省名校联盟高三上学期联考)已知a>0，bR，函数fx=axlnx和gx=blnx+1
的图像共有三个不同的交点，且fx有极大值1．
(1)求a的值以及b的取值范围；
2
x3x12b-2
(2)若曲线y=fx与y=gx的交点的横坐标分别记为x1，x2，x3，且x1 x2 2 (三)把比较a,ba>0,b>0转化为比较lna,lnb的大小 n+1n 比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较n,n+1 lnn nN,n>2的大小，可通过取对数转化为比较n+1lnn,nlnn+1的大小，再转化为比较, n lnn+1lnx 的大小，然后可以构造函数fx=，利用fx的单调性比较大小. n+1x 1 3一天，小锤同学为了比较ln1.1与的大小，他首先画出了y=lnx的函数图像，然后取了离1.1很近 10 的数字1，计算出了y=lnx在x=1处的切线方程，利用函数y=lnx与切线的图像关系进行比较. 1 (1)请利用小锤的思路比較ln1.1与大小 10 ae (2)现提供以下两种类型的曲线y=+b,y=kx+t，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较, x2 e3的大小. 3 三、典例展示 xa 1(2021全国甲卷高考试题)已知a>0且a1，函数f(x)=(x>0)． ax (1)当a=2时，求fx的单调区间； (2)若曲线y=fx与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围． f(x) 2(2023届新疆高三第三次适应性检测)已知函数f(x)=ax2+(a+1)xlnx-1，g(x)=． x (1)讨论gx的单调性； 2 2xx1+x2e (2)若方程f(x)=xe+xlnx-1有两个不相等的实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明e>． x1x2 4 3已知函数，fx=lnx-x+m，mR． (1)求fx的极值； 1m (2)若fx有两个零点a，b，且a b 4设函数fx=-lnx. 12 (1)设1、20且1+2=1，求证：对任意的x1、x2>0，总有x1x21x1+2x2成立； n 12n (2)设xi>0，i>0i=1,2,,n，且i=1，求证：x1x2xn1x1+2x2++nxn. i=1 5 5已知函数f(x)=ex,g(x)=x+alnx,aR (1)讨论g(x)的单调性； a (2)若fx+2xgx+x，对任意x(1,+)恒成立，求a的最大值； 6已知函数f(x)=xlnx． (1)讨论f(x)的单调性； ba211 (2)设a，b为两个不相等的正数，且a=b，证明：<+<1． eab 6 四、跟踪检测 1已知函数f(x)=xlnx+a,(aR)． (1)求函数fx的单调区间； 1 (2)当0 e 223 (3)若函数g(x)=f(x)-ax-x有两个不同的极值点x1,x2(其中x1 2形如y=f(x)g(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取 yfx 对数得lny=lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，两边对x求导数，得=g(x)lnf(x)+g(x)，于是y=f(x)g(x) yfx fxxlnx2 g(x)lnf(x)+g(x).已知f(x)=2e，g(x)=x+1. fx (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若h(x)=f(x)，求h(x)的单调区间； (3)求证：x(0,+),f(x)g(x)恒成立. 7 2 3已知函数f(x)=exlnx(x>0)． (1)求f(x)的极值点． k (2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x20 (i)求k的取值范围 e 2- e-2e21 ()证明x2e． x1 4已知f(x)=lnx-x，g(x)=mx+m. (1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间； (2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a 请在中选择一个完成. m-11 求证：2e>+b； b m-11 求证：2e<+a a 8 5已知aR，f(x)=xe-ax，(其中e为自然对数的底数). (1)求函数y=f(x)的单调区间； 22 (2)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x，x2，求证：x1+x2>2e. -x1 6已知函数fx=axea0存在极大值. e (1)求实数a的值； (2)若函数Fx=fx-m有两个零点x1，x2x1x2，求实数m的取值范围，并证明：x1+x2>2. 9 7已知函数f(x)=x(e2x-a),g(x)=bx+lnx. (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求a的值； (2)若g(x)有两不同的零点，求b的取值范围； (3)若b=1，且f(x)-g(x)1恒成立，求a的取值范围. 8已知函数f(x)=axlnx，aR． (1)当a=1时， 求f(x)的极值； mm 若对任意的xe都有f(x)ex，m>0，求m的最大值； x 22 (2)若函数g(x)=f(x)+x有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e． 10