吉林油田高级中学2025-2026学年高二上学期期初考试 数学试题+解析

吉林省油田高级中学2025-2026学年高二上学期期初考试数学试卷一、单选题1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．12．已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A．3B．4C．5D．3．在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．经过点，圆心为的圆的方程是（）A．B．C．D．5．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（）．A．3B．4C．5D．66．若直线与直线互相垂直，则实数等于（）A．B．C．D．7．若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断8．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题9．已知，，则直线通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．下列命题正确的是（）A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为B．直线过定点C．若，是方程的两个实根，则点在圆外D．若方程表示圆，则正数的取值范围是11．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（）A．若G为线段AE的中点，则平面B．多面体的体积为C．D．的最小值为44三、填空题12．已知向量，，若，则．13．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则直线的斜率是.14．在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为．四、解答题15．求下列直线方程：(1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程；(2)求与直线平行且到距离为的直线方程.16．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程.(2)在（1）的条件下，求的取值范围.17．如图，在平行六面体中，，.(1)求的长；(2)求证：直线平面.18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．19．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值；(3)若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程.题号12345678910答案DCABCBABACDBD题号11答案ACD1．D根据斜率定义得到答案.【详解】直线的斜率为.故选：D2．C先求出点的坐标，再利用空间中两点间的距离公式即可求解.【详解】解：因为点是点在坐标平面内的射影所以所以故选：C.3．A以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，，，，可得，设直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.4．B根据题意求点与圆心的距离即可得圆的半径，再根据圆的标准方程求解即可.【详解】解：因为所求的圆经过点，且圆心为，所以，所求圆的半径为，所以，所求的圆的方程为：故选：B5．C设，先表示的坐标，进而表示的坐标，再根据，求得，进而得到的坐标求解.【详解】设，则，，因为，所以，即，解得，所以，所以，故选：C6．B由已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由已知条件可得，解得.故选：B.7．A利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为，是平面与的法向量，则，所以两法向量平行，则平面与平行.故选：A8．B由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解.【详解】由，可得圆心坐标，因为直线过圆心，所以，即，所以（当且仅当，即）取等号，所以的最小值为，故选：B9．ACD将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可.【详解】可把直线方程化为，因为，，其斜率，直线在轴的截距，由此可知直线通过第一、三、四象限．故选：ACD.10．BD对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D.【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误，对于B，方程可化为，由可得，所以直线过定点，B正确，对于C，由，是方程的两个实根，可得，，所以，所以点在圆内，C错误，对于D，方程表示圆，则，所以，又，所以正数的取值范围是，D正确，故选：BD11．ACD利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B.【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，，所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，.对于A，G为线段AE的中点，，;，设是平面的一个法向量，则，，令，则，即.因为，所以，又平面，所以平面，A正确.对于C，，因为，所以，C正确.对于D，设，，，，所以当时，取到最小值44，D正确.对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面，由可得，所以四棱锥和四棱锥的高均为.其体积，所以多面体的体积为，B不正确.故选：ACD12．根据两向量垂直则它们的数量积为，列方程求解.【详解】向量，，，则，解得.故答案为：．13．设直线l的方程为，可得到平移后的直线方程为，由题意可得，即可求得答案.【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为，则根据平移过程知，平移后的方程为，该直线与原直线重合，则，则，故答案为：14．/根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得.【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线，设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，，则，，，且平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，取，得，设为二面角，即的平面角，则，解得，所以动点的轨迹长度.故答案为：15．(1)或；(2)或.（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得；（2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得.【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即，点到的距离为3，，即，，或，直线的方程为或；（2）设所求直线方程为，所求直线到直线的距离为，，所以或，所求直线方程为或.16．(1)(2)（1）方法一，由圆心到距离相等及圆心在直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；方法二，由圆心在垂直平分线上及直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；（2）方法一，由不等式结合圆的标准方程求解；方法二，设，将问题转化为直线与圆有公共点求解.【详解】（1）解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以.因为A，B是圆上两点，所以.根据两点间距离公式，有，即.由可得，，所以圆心的坐标是.圆的半径，所以，所求圆的标准方程是.解法二：设线段的中点为.由A，B两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为，因此，线段的垂直平分线的方程是，即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解得.所以圆心的坐标是，圆的半径，所以，所求圆的标准方程是.（2）解法一：，，，即，，的取值范围是.解法二：设，则直线与圆有公共点，圆心到直线的距离，即，，的取值范围是.17．(1)(2)证明见解析（1）由题意可得，再平方即可得到答案；（2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明.【详解】（1），可得所以；（2），，，所以，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面.18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明.（3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，令，得，则，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，，而，则，即，则的一个法向量为，因此，而，则，所以平面与平面的夹角为.19．(1)(2)(3)或（1）会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解；（2）会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可；（3）利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程.【详解】（1）由直线的标准式方程为可知，直线的一个方向向量坐标为，由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以有，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.（2）由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为，设点在平面内的投影点为，易知与共线，故，又由点在平面上，则满足，令，则把代入可得：，解得，再代入，即可得，由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值，利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为，则为中点，故由中点公式可得，所以由两点间距离公式可得，因为，所以，由几何关系可知.（3）由平面为可知，平面的法向量，由交线方程为可知，的方向向量，设平面的法向量，则有，整理得，不妨设，解得或；故平面的法向量或又直线在平面内，不妨取其上一点，若，则平面为；若，则平面为综上，平面的点法式方程为：