高三数学学科第一次月考
考试时间：120 分钟
本试卷分第卷（选择题） 和第卷（非选择题）两部分，共 150 分. 第卷 1 至 3 页，
第卷 4 至 6 页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，
考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.
祝各位考生考试顺利！
第卷（共 45 分）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
M x 2 x 1 , N x x 0 M N
1. 已知集合 ，则 R （ ）
A. x x 2 B. x x 2
C. x x 1 D. x 0 x 1
2. “ sin 2024 0 ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
xcosx
3. 函数 f x 的图象大致为（ ）
e x 1
A. B.
C. D.
4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5 个月手
机的实际销量，如下表所示：
第1页/共4页
时间 x 1 2 3 4 5
销 售 量 y（ 千 0. 1.
0.8 1.0 1.2
只） 5 5
若 x 与 y 线性相关，且线性回归方程为 y 0.24x a ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 y 平均增加 0.24 个单位
B. 线性回归方程 y 0.24x a 中 a 0.26
C. 由题中数据可知，变量 y 与 x 正相关，且相关系数 r 1
D. 可以预测 x 6 时，该商场 5G 手机销量约为 1.72（千只）
5. log9 32log64 27 log9 2log4 27 （ ）
9 13 29
A. B. 2 C. D.
4 8 24
1
6. 设 3 ，则（ ）
a 0.5 ,b log2 3,c log611
A. a b c B. a c b C. b a c D. c 2 7. 已知函数 f x sin 2x 0 的图象关于点 ,0 中心对称，则（ ） 3 7 A. 直线 x 是函数 f x 图象的对称轴 6 11 B. f x 在区间 , 上有两个极值点 12 12 5 C. f x 在区间 0, 上单调递减 12 D. 函数 f x 的图象可由 y cos2x 向左平移 个单位长度得到 6 8. 已知 f (x), g(x) 是定义域为 R的函数，且 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，满足 2 g x1 g x2 f (x) g(x) ax x 2 ，若对任意的1 x1 x2 2 ，都有 5 成立，则实数 a 的取值 x1 x2 范围是（ ） 5 5 5 A. 0, B. , C. , D. ,0 4 4 4 第2页/共4页 9. 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R 上的奇函数，且对任意的 x 0 ， f x 2 2 f x 0 恒 成 立 ， 当 x x 0,2 时 f x sin ．若对任意 x m,mm 0 ，都有 f x 1 2 ，则 m 的最大值是（ ） 2 71013 A. B. C. 4 D. 3 3 3 第卷（共 105 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 1 2i 10. 复数 z 的模为__________． 3 i 12 1 11. 2x 的展开式中常数项为__________. 3 x 2 1 12. 已知函数 f x log2 x ax 15 在 ,4 上单调递增，则实数 a 的取值范围为________. 4 13. 某射击小组共有 10 名射手，其中一级射手 3 人，二级射手 2 人，三级射手 5 人，现选出 2 人参赛，在 至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一二三级射手获胜概率分 别是 0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 5 10 3 14. 若 sin 2 ， sin ，且 , ， , ，则 的值是______． 5 10 4 2 15. 若 f x x2 ax ax 2 1有四个零点，则实数 a 的取值范围为______ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤. 16 设 a 0 且 a 1，函数 f x log x 1 , g x log 2x t t R . . a a （1）当 t 1时，求不等式 2 f x g x 的解集； f x 2 （2）若函数 h x a tx 2t 2 在区间 1,3上有零点，求 t 的取值范围. 17. 已知函数 f x sin x cos x sin x ． 6 3 2 （1）求函数 f x 的单调递减区间； 1 （2）将函数 f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到函 2 6 第3页/共4页 6 5 数 g x 的图象，若 g ，且 , ，求 cos2 的值． 5 6 12 18. 如 图 ， PD 垂 直 于 梯 形 ABCD 所 在 平 面 ， ADC BAD 90, F 为 PA 的 中 点 ， 1 PD 2, AB AD CD 1，四边形 PDCE 为矩形． 2 （1）求证： AC / / 平面 DEF ； （2）求平面 ABCD 与平面 BCP 的夹角的余弦值； （3）求点 F 到平面 BCP 的距离． x2 y2 1 19. 已知椭圆 C ： 1(a b 0) 的离心率为 ，左右焦点分别为 F1 ， F2 ，上下顶点分别为 A1 a2 b2 2 ， A2 ，且四边形 A1F1 A2F2 的面积为 2 3 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l ： y kx m(m 0) 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 P，Q 关于原点的对称点分别为 M，N，若 2 2 OP OQ 是一个与 m 无关的常数，则当四边形 PQMN 面积最大时，求直线 l 的方程. 20. 已知函数 f x asin x ln 1 x . （1）当 a 2 时，求曲线 y f x 在 x 0 处的切线方程； （2）若对 x 1,0 时， f x 0 ，求正实数 a 的最大值； （3）若函数 g x f x ex1 asin x 的最小值为 m ，试判断方程 e1xm ln 1 x 0 实数根的个 数，并说明理由. 第4页/共4页 高三 数学学科第一次月考 考试时间：120 分钟 本试卷分第卷（选择题） 和第卷（非选择题）两部分，共 150 分. 第卷 1 至 3 页， 第卷 4 至 6 页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时， 考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第卷（共 45 分） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. M x 2 x 1 , N x x 0 M N 1. 已知集合 ，则 R （ ） A. x x 2 B. x x 2 C. x x 1 D. x 0 x 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的运算求出 R N ，再由交集的运算可得答案. 【详解】 M x 2 x 1, N x x 0 ，则 R N x x 0，所以 M R N x 0 x 1 . 故选： D . 2. “ sin 2024 0 ”是“ 为第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】易知 sin 2024 sin ，所以 sin 2024 0 sin 0 第1页/共 24页 为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角， 显然不满足充分性，满足必要性. 故选：B xcosx 3. 函数 f x 的图象大致为（ ） e x 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出 = ()为奇函数，排除 CD；由 f 0 排除 B，得到答案. e1 xcosx 【详解】 f x 定义域为 R， e x 1 xcosx xcosx f x f x ，函数 = ()为奇函数， e x 1 e x 1 图象关于原点对称，排除 CD； 又 f 0 ，排除 B. e1 故选：A 4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5 个月手 机的实际销量，如下表所示： 时间 x 1 2 3 4 5 销 售 量 y（ 千 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 只） 若 x 与 y 线性相关，且线性回归方程为 y 0.24x a ，则下列说法不正确的是（ ） A. 当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 y 平均增加 0.24 个单位 第2页/共 24页 B. 线性回归方程 y 0.24x a 中 a 0.26 C. 由题中数据可知，变量 y 与 x 正相关，且相关系数 r 1 D. 可以预测 x 6 时，该商场 5G 手机销量约为 1.72（千只） 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断 C 选项；根据已知数据得到样本中心点， 代入回归方程求解即可判断 B 选项；根据回归方程判断 AD 选项. 【详解】根据线性回归方程 y 0.24x 0.28 可得 x 每增加一个单位时，预报变量 y 平均增加 0.24 个单 位，故 A 正确. 1 1 由已知数据得 x 1 2 3 4 5 3， y 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 1， 5 5 代入 y 0.24x a 中得到 a 1 30.24 0.28，故 B 错误； 从数据看 y 随 x 的增加而增加，故变量 y 与 x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数 r 1，故 C 正 确； 将 x 6 代入 y 0.24x 0.28 中得到 y 0.246 0.28 1.72 ，故 D 正确. 故选：B. 5. log9 32log64 27 log9 2log4 27 （ ） 9 13 29 A. B. 2 C. D. 4 8 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】 log9 32log64 27 log9 2log4 27 lg32 lg 27 lg 2 lg 27 lg9 lg 64 lg9 lg 4 3 lg 25 lg33 lg 2 lg32 lg32 lg 26 lg32 lg 22 3 lg3 5lg 2 3lg3 lg 2 2 2lg3 6lg 2 2lg3 2lg 2 第3页/共 24页 5 3 13 . 4 8 8 故选：C 1 6. 设 3 ，则（ ） a 0.5 ,b log2 3,c log611 A. a b c B. a c b C. b a c D. c 【答案】B 【解析】 3 【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“ ”即可比较大小. 2 1 1 1 3 【详解】 3 0 ， b log 3 log 9 log 8 ， a 0.5 0.5 1 2 2 2 2 2 2 3 1 log 6 c log 11 log 6 6 . 6 6 6 2 综上， a c b ． 故选：B. 2 7. 已知函数 f x sin 2x 0 的图象关于点 ,0 中心对称，则（ ） 3 7 A. 直线 x 是函数 f x 图象的对称轴 6 11 B. f x 在 区间 , 上有两个极值点 12 12 5 C. f x 在区间 0, 上单调递减 12 D. 函数 f x 的图象可由 y cos2x 向左平移 个单位长度得到 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法判断 A，利用整体换元法判断 B，利用三角函数的单调性判断 C，利用三角函数 平移的性质判断 D 即可. 2 2 【详解】因为函数 f x 的图象关于点 ,0 中心对称，所以 sin 2 0 ， 3 3 4 2 2 可得 kk Z ，结合 0 ，得 ，所以 f x sin 2x ． 3 3 3 第4页/共 24页 7 7 2 对于 A， f sin 2 sin3 0 ， 6 6 3 7 所以直线 x 不是函数 f x 图象的对称轴，故 A 不正确； 6 11 2 5 对于 B，当 x , 时， 2x , ， 12 12 3 2 2 11 所以函数 f x 在区间 , 上只有一个极值点，故 B 不正确； 12 12 5 2 2 3 对于 C，当 x 0, 时， 2x , ， 12 3 3 2 5 所以函数 f x 在区间 0, 上单调递减，故 C 正确； 12 对于 D， y cos2x 左移 个单位长度后得到 y cos 2x ，故 D 错误． 6 3 故选：C． 8. 已知 f (x), g(x) 是定义域为 R 的函数，且 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，满足 2 g x1 g x2 f (x) g(x) ax x 2 ，若对任意的1 x1 x2 2 ，都有 5 成立，则实数 a 的取值 x1 x2 范围是（ ） 5 5 5 A. 0, B. , C. , D. ,0 4 4 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出 g x 的解析式，再根据题意得到 h x ax2 3x 2 在 x 1,2 单调递增，分类讨论即可求解． 【详解】由题意可得 f x g x ax2 x 2 ， 因为 f x 是奇函数， g x 是偶函数， 所以 f x g x ax2 x 2 ， 第5页/共 24页 2 f x g x ax x 2 2 联立 2 ，解得 g x ax 2 ， f x g x ax x 2 g x1 g x2 又因为对于任意的1 x1 x2 2 ，都有 5 成立， x1 x2 所以 g x1 g x2 5x1 5x2 ，即 g x1 5x1 g x2 5x2 成立， 构造 h x g x 5x ax2 5x 2 ， 所以由上述过程可得 h x ax2 5x 2 在 x 1,2 单调递增， 5 5 若 a 0 ，则对称轴 x 2 ，解得 a<0 ； 0 2a 4 若 a 0 ，则 h x 5x 2 在 x 1,2 单调递增，满足题意； 5 若 >0，则对称轴 x 1 恒成立； 0 2a 5 综上， a , ． 4 故选：B 9. 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R 上的奇函数，且对任意的 x 0 ， f x 2 2 f x 0 恒 成 立 ， 当 x x 0,2 时 f x sin ．若对任意 x m,mm 0 ，都有 f x 1 2 ，则 m 的最大值是（ ） 2 7 10 13 A. B. C. 4 D. 3 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】先分析 [0,2]、 x 2,4 、 x 4,6 时 f x 解析式以及值域，然后作出 f x 的图象，结合 图象确定出符合条件的 x 的范围，再根据m,m与所求 x 的取值范围的关系求解出 m 的最大值. x 【详解】当 [0,2]时， f x sin ，此时 f x0,1 2 x 2 当 x 2,4 时， f x 2 f x 2 2sin ，此时 f x2,0 2 x 4 当 x 4,6 时， f x 2 f x 2 4 f x 4 4sin ，此时 f x0,4 ， 2 结合 f x 为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出 y f x, y 2, y 2 的图象如下图所示： 第6页/共 24页