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2025届高考试卷教辅资料 VIP 会员群招募正式开启
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届试卷教辅资料 VIP 会员群，共享全国各地最新无水印高三模拟卷、强基卷、联考卷等；最后
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资料为基础，增加精选各地市名校高三模拟卷，高赛联考卷、竞赛卷、强基卷等，保证每天不
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方便大家下载打印。资源越积累越多，所以越早加群越早享受！
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相对动辄几千的课外辅导资料费，本群一次性收费仅 35 元(更新资料从 2024 年 9 月至 2025
年 6 月高考结束)，大概相当于大杯奶茶的价格，却能换来海量的高三模拟试卷及教辅等服务。
五、额外福利
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届高三数学试题参考答案
．存在量词命题的否定为全称量词命题．
．因为 犃（槡 ，槡），犅（，），所以 犃犅（，槡）．
．依题意，狓，狉犗犘槡狓，其中，犗 为坐标原点，则 ，所以狓
槡狓
槡 ．
．由犳（狓）（狓）狀 ，得犳（狓）狀（狓）狀，则当狀犽，犽犖 时，犳（狓）（狓）狀
是增函数，故“狀”是“犳（狓）是增函数”的充分不必要条件．
烄
狊 狋 ，狋，
．由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润狔 烅 狋
狋
烆狋狋，狋．
当狋时，狋 ，当且仅当狋时，等号成立，则狋 ．当狋时，狋
狋 狋
狋（狋），当且仅当狋时，等号成立．故当新设备生产的产品可获得
的年平均利润最大时，新设备运行的时间狋．
．（方法一）因为犳（狓）的图象关于点 ， 对称，所以犳（狓）犳（狓），
（ ）
又犳（狓）犳（狓），所以犳（狓）犳（狓），所以犳（狓）是周期为 的周期函数，所以
犳 犳 犳 犳 ．
（ ） （ ） （ ） （）
（方法二）取犳（狓） 狓 满足题意，得犳
（ ） （
．
）
．因为狓，所以狓，令犳（狓）狓，则方程狓有个
根，所以 ，解得 ，则 的取值范围是 ， ．
（
．令犵（狓）犳（狓）狓狓，则犵（狓）狓恒成立，则犵（狓）在 犚 上单调递增，
且犵（狓）是奇函数．由犳（狓）犳（犿狓），得犳（狓）犳（犿狓），
即犵（狓）犵 （犿 狓），从 而 狓 犿 狓，即 犿 狓 狓
槡 狓 槡 ，槡．
（ ）
狓
．对于 ，当狓时， ， 正确．
狓
狓
狓
对于 ，若犪，犫，犮，犱，则犪犮，犫犱，此时犪犮犫犱，错误．
犪 犪
（犪犪）
（犪 犪 ） 犪 犪
对 于 ，
犪 犪
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
书
犪 犪
犪 犪
槡 ，当且仅当犪时，等号成立， 错误．
对于 ，因为犪犫犮，所以犫犮犪犮，故犪犫犮犫犪犮， 正确．
．由图可知，犳（狓）的最小正周期 犜 ，则， 犽，犽犣，由
槡
，得 ，即犳（狓） 狓 ，则犳（） ．由犳（狓）的图象关于点 ，
（ ） （ ）
对称，可得函数狔犳（狓）的图象关于直线狓 对称．
．犪 ，犫 ，犪犫 ．
（ ） （ ）
狓
令犳（狓）狓（狓），狓（，），则犳（狓） ，犳（狓）在（，）上单调
狓 狓
槡
递减，所以犳 犳（），即犪犫．因为犮 ，所以犫犮
（） 槡 槡
．令犺（狓）狓 槡狓 ，狓（， ），则犺（狓）
槡 槡 槡狓 狓 槡狓 槡狓
狓 狓 （狓 ）
槡 槡 ， （ ）在（， ）上单调递减，所以 （） ，即
犺 狓 犺（ ）犺 犫
狓 狓
犮．
．由题可得这两个竞赛都参加的学生有 人，所以这两个竞赛都没参加的
学生有（）人．
槡
． 由 ，得 （）．因为 ， ，所
（ ） （ ）
槡
以，则 ，则 ．由 ， ，得
（ ） （ ）
， ，则 ，解得 ．
（ ）
犳（狓） 犳（狓）
．因为狓，狓（，），且狓狓，恒有 ，
狓 狓
所以狓犳（狓）狓犳（狓）在狓（，）上恒成立．
狓 狓犪
设犵（狓）狓犳（狓） ，狓（，），
犪
狓 狓犪
可得函数犵（狓） 在狓（，）上单调递增，
犪
所以犵（狓）狓 狓犪 在狓（，）上恒成立，故狓犪狓．
狓
当狓（，）时，犪 恒成立．
狓
狓 （狓）
设犺（狓） ，狓（，），则犺（狓） ，
狓 （狓）
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
令犺（狓），得狓，当狓（，）时，犺（狓），犺（狓）单调递减，
当狓（，）时，犺（狓），犺（狓）单调递增，
所以犺（狓）犺（）．，又因为犪犖，所以犪 的最大值为．
．解：（）因为命题狆：狓，，狓犪狓 为假命题，所以瓙狆：狓，，狓
犪狓 为真命题．………………………………………………………………………… 分
由狓犪狓，得狓狓犪， ……………………………………………… 分
狓狓槡 狓 ，因为狓，，所以狓 ， ，
（ ）
所以犪槡 狓 ，即犪．
（ ）
所以 犃犪犪．……………………………………………………………………… 分
（）因为“犪犃”是“犪犅”的必要不充分条件，所以集合 犅 是集合犃 的真子集， …… 分
则 犅犪犪符合题意（答案不唯一）． …………………………………………… 分
．解：（）因为（犮犫）犃犪犅，所以犮犃犫犃犪犅．
由正弦定理得犃犅犃犅犆犃，……………………………… 分
则（犃犅）犆犃， ………………………………………………………… 分
即犆犆犃．………………………………………………………………… 分
在犃犅犆 中，犆，故犃 ．………………………………………………… 分
因为 犃（，），所以 犃 ．……………………………………………………………… 分
槡 槡
（）因为犃犅犆 的面积为 ，所以 犫犮 ，得犫犮． ………………… 分
由余弦定理得犪犫犮犫犮犃，则犪（犫犮）犫犮． ………………………… 分
又犪犫犮，所以犪（犪），解得犪．………………………………… 分
．解：（）因为犪，所以犳（狓）狓（狓），狓， ……………………………… 分
（狓）（狓）
则犳（狓）狓 ．………………………………………………… 分
狓 狓
当狓（，）时，犳（狓），犳（狓）单 调 递 减；当 狓 （， ）时，犳（狓），犳（狓）单 调
递增．
故犳（狓）的极小值点为，无极大值点．…………………………………………………… 分
犪 狓狓犪
（）由犳（狓）狓犪（狓），狓，得犳（狓）狓 ． ……… 分
狓 狓
槡 犪
若犪 ，即 犪，则 方 程 狓 狓 犪 的 解 为 狓 ，狓
槡 犪
．……………………………………………………………………………… 分
槡 犪
若 犪，即 犪，则 狓 狓 ．当 狓 ，
（ ）
槡 犪 槡 犪 槡 犪
， 时，犳（狓），当狓 ， 时，犳（狓），
（ ） （ ）
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槡 犪 槡 犪
则犳（狓）的单调递增区间为 ， 和 ， ，单调递减区间为
（ ） （ ）
槡 犪 槡 犪
， ．………………………………………………………… 分
（ ）
槡 犪
若犪，即犪，则狓狓．当狓 ， 时，犳（狓），当狓
（ ）
槡 犪 槡 犪
， 时，犳（狓），则犳（狓）的单调递增区间为 ， ，单
（ ） （ ）
槡 犪
调递减区间为 ， ． …………………………………………………… 分
（ ）
．（）解：由题可得犳（狓）狓狓狓狓（狓）狓狓
（狓）狓狓（狓）（狓）．………………………………… 分
令犳（狓）在狓（，）上的根为狓 ，狓 ，狓 ，………………………… 分
当狓 ， 时，犳（狓），犳（狓）单调递减，当狓 ， 时，犳（狓），犳（狓）单调递增，
（ ） （ ）
当狓 ， 时，犳（狓），犳（狓）单调递减，当狓 ， 时，犳（狓），犳（狓）单调递增．
（ ） （ ）
综上，犳（狓）在 ， 和 ， 上单调递减，在 ， 和 ， 上单调递增． …… 分
（ ） （ ） （ ） （ ）
（）解：因为犳（狓）（狓）（狓）狓狓犳（狓），
所以犳（狓）的一个正周期为 ． …………………………………………………………… 分
根据（）中结论，犳（），犳 ，犳 ，犳 ，犳（）， ……… 分
（） （） （ ）
所以犳（狓）的最大值为，最小值为 ． ……………………………………………… 分
（）证明：狓狓犳（狓）犳（狓）犳（狓）…犳（狀狓）狓狓狓狓…狀狓
狀狓狓狓狓狓…狀狓，…………………………………… 分
又狓狓狓狓狓狓（狓）狓（狓）狓
狓，……………………………………………………………………………………… 分
所以狓狓狓狓狓…狀狓
狓狓狓狓狓…狀狓
狀狓
狓狓狓狓…狀狓 ，
狀 狀
所以狓狓犳（狓）犳（狓）犳（狓）…犳（狀狓） ，得证．………………………… 分
狀
．（）解：（）因为点 犃 ，狔 在曲线犳（狓）槡狓 上，所以狔 ．…………… 分
（ ） 槡
由犳（狓）槡狓 ，得犳（狓） ，则犳（ ），………………………………………… 分
槡狓
则曲线狔犳（狓）在点 犃 处的切线方程为狔狓 ．…………………………………… 分
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
（）由犳（狓）槡狓 ，得犵（狓）狓（狓）． ……………………………………………… 分
根据 对 称 性 可 设 犃，犇 关 于 直 线 狔 狓 对 称，可 得 犇 ， ，则 犃犇
（ ）
槡
，犽犃犇 ．…………………………………… 分
（ ） （ ）
槡
若 犃犅犃犇，则直线 犃犅 的方程为狔狓 ，与曲线狔犳（狓）相切，不符合题意． … 分
烄狔狓 ，
槡
若 犃犆犃犇，则直线 犃犆 的方程为狔狓 ，联立方程组烅 解得狓 或狓
狔狓 ，
烆
槡
（舍去）， …………………………………………………………………………… 分
槡 槡 槡 槡 槡
则犆 ， ，犃犆 ， ……… 分
（ ） 槡（ ） （ ）
槡 槡 槡
则该“关联矩形”的面积犛犃犇犃犆 ．……………………… 分
（）证明：由犳（狓）狓，得犵（狓）狓 ．………………………………………………… 分
显然犳（狓）犵（狓），根据对称性可设 犃，犇 关于直线狔狓 对称，犅，犆 关于直线狔狓 对
狓 狓
称，且 犃犅犃犇．设 犃（狓，狓），犅（狓，狓），犆（狓， ），犇（狓， ），其中狓狓，狓
狓，且狓狓，狓狓． …………………………………………………………… 分
因为“关联矩形”是正方形，所以犃犅槡 （狓狓）槡 （狓狓），犅犆槡 （狓
狓）．由犃犅犅犆，得狓狓狓． ……………………………………………… 分
狓
由狓狓狓狓，可得 狓狓． ………………………………… 分
令犺（狓）狓 狓狓，则犺（狓）狓 狓 ，则犺（狓）在（，）上
狓 狓
单调递增．由犺 槡 ，可得狓 ． ………………………………… 分
（）
狓
犛犃犅 （狓狓）（ 狓）． ……………………………………………… 分
狓 狓
令（狓） 狓，则 （狓） ，当 狓 （， ）时，（狓），（狓）单 调 递 增，则
狓
（狓） 狓槡 ，…………………………………………………………… 分
狓
从而犛（ 狓） 槡 ． …………………………………………………… 分
（ ）
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