数学试题 2024.8
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
l ．本试卷满分 150 分 ，考试时间 120 分钟。
2． 答卷前 ，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3 ．回答选择题时，选出每小题答案后 ， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 ， 用橡
皮擦干净后 ， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回。
一
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分在每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求
2
1.若集合 A= I - 1, 0, 1, 2, 3, 41, B= I x I x E A I ， 则 AnB=
A. Io, 1 I B. I -1,0,1 I
C. l O'1,21 D. l -1,0,1,21
无 ” 是 “ 无 —1 ”
2.“ 0 尤 2 的
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
一
1 1
3.函数y=2 与y=2 - 的图象
A．关于y轴对称 B． 关于直线元1 对称
C．关千直线元 1 对称 D．关于直线 X =2 对称
4．若函数f（允） 右气丁也在 0, + 0 ）上单调递减，则实数a的取值范围为
`1
_1 + 8
A.[0,+0) B． ，
2 1
、
+ 8 丿
C. [ 1,+ 0) D 2 ，
l 1
5. 已知 cos(a + {) = t,cos acos { = i，则cos(2a -2{) =
2 l l 一1
A - B． _ c． _ D．
3 9 9 3
6．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础米其林三星餐厅大厨 Heston Blumentha 对
“ ”
餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了 油炸质量曲线 （图 1) ，将油炸
过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系
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120 l五初始阶段 p
A-B 断伉阶坟
最住阶仅
C-D.-e
降斛阶仅 - -------
100 80 I
--------i - -,
I
8 70
坚
一一一一一 ，
o 6 I
o 50
韶
40
20
。
B C D E
0 A 。 2 4
煎炸时间
图1 图2
2
在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：mn) 满足函数关系p = at + bt + c (a、b、c 是常数），
图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为
A. 2. 25 mn B. 2. 75 mn C. 3. 25 mn D. 3. 75 mn
且立
X ，则不等式
7. 已知定义在 R 上的奇函数f (x）的导函数为f （无），J(1) =0，当<0 时，f '(x) X
（兀 1) f（元）0 的解集为
A. (-1,0) B. (-1,0) U (1, + o)
C. (-o,- 1) U (0,1) D. (-1,0) U (0, 1)
a 2
8. 已知a >e气 b >0,c >0，当少0 时，（e 一, x) (x - bx + c)o 恒成立，则的最小值为
A.—9 B.立27 C.生 D.1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分
9.已知 X >y>O，且 x y=l，则
A. 1 x - 1 1 + 1 r - 1 1 = 1 B.工卢
x x +1
1 4
C. 4 +4 >4 D. x2 +4y气
10．关于函数J(x) = cos xsin 2元，下列说法中正确的是
A．图象关于直线 x= f对称 B．图象关于直线 x 巠对称
4/
'
C最小正周期为2 D最大值为T
3
父飞血
11．若函数f（x) 尤 -3 b 有三个零点无1,X2 ，无3 ，则下列说法中正确的是
1 1 1
A. a>3 B. + + =0
f'伍） f 伍） f 伍）
C +b =2 D. 3 =27b
．若气，巧，“3 成等差数列，则 a 若气，无2,x3 成等比数列，则 a
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
1 1
12. 若无O,y >0，且log2x = log5y = lg(x + y)，则一
3 2
13. 函数f(元) = |元 -11+元 的值域为 ．
14．若函数f(x) = I e -a I - al“ 有两个零点，则实数 a 的取值范围为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b, c, asin A = (b 令） sin B + (c 了） sin C.
(1)求A;
(2) 若ABC的面积为，周长为8，求a.
16.(15 分）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积 在枯水期约为 10 平方公里．自 2017 年起，
“
重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设 长江风景眼，
”
重庆生态岛 ．经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得
到了极大的提升据监测，岛上的鸟类从生态修复前的 124 种增加到 213 种，其中包括中华秋沙鸭、
游华、白琵鹭等珍稀鸟类．为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积 相近的 50 个地块，从这些
地块中用简单随机抽样的方法抽取 5 个作为样区，调查得到样本数据（气，yJ (i = I, 2, .., 5），其中
无1 和y1 分别表示第i个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量
L 1 2 3 4 5
尤 0. 171 0. 152 0. 192 0. 189 0. 196
Yi 12 10 16 14 18
(1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地
块数）；
(2) 求样本（织，Yi)(i =l,2, …,5) 的相关系数（精确到 0. 01) ;
(3) 根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数
一
量更准确的估计，请给出 种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
卤包 云）（y,分） 5
五 2 2
附：相关系数r= 0. 18, ， ） 因（ i分） =O. 2 .
2 2 芷 五 ， Y 32
知 x) itl (ri分）
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一旦
17. (15分）已知函数f（无） 元 （a+l)Inx 无 ，aER
(1)讨论J(x)的单调性；
(2) 当畛 l 时，J(x) -2a -4 恒成立，求 a的取值范围
2 2
气
18. (17分）已知F为椭圆C： 2 =l(a>2 b>O)的左焦点，椭圆C过点P(2，互），且直线PF的斜率
a . b
且—
为 4 .
(I)求椭圆C的方程；
(2)若点M(x1,Yi ),N(x2,Y2 )在椭圆C上，且LMFN=90 ，过M,N分别作椭圆C的切线l1 ' l2 ' l1与l2
相交于点Q.
(i)求点Q的轨迹方程；
(ii）求hPQF周长的最小值
19. (17分）已知0为坐标原点，点A(x1,y1 ),B(x2,y2 )分别在曲线C1 :y=a(a>O且a= 1)和曲线
C2 :y = log0x(a >0且a丰l)上，AB//x轴，直线OA与直线OB关于直线y=x对称．
(I)若无！ l，求a;
(2)证明：当a >e时，无1 的取值是唯一的