数学试题
命题人:周娟 审题人:刘灵力
本试卷共2页,共 19 题。满分 150分,考试用时 120 分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.
3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.
一、选择题:本题共8 小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.若角的顶点为坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边在直线 = 3上,则角的取值集
合是
A. = 2 + ,
| 3
B. = 2 + 2,
| 3
C. = + 2,
| 3
D. = + ,
| 3
2.从一个容量为( 3, )的总体中抽取一个容量为3 的样本,当选取简单随机抽样方法
抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是1,则选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体
5
中每个个体被抽中的可能性是
A.1
5
B.1
4
C.1
2
D.1
3
3.复数1,2在复平面内分别对应点,,1 = 3 + 4,将点绕原点按顺时针方向旋转90 得到
点,则2 =
A.34
B.43
C.43
D.34
4.如果一个等差数列前 10 项的和为 54,最后 10 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数
列有
A.36项
B.37项
C.38项
D.39项
5.直线 = 与圆(1)2 + (1)2 = 1交于.两点,为坐标原点,则 =
A. 1
1 2
2
B.
1 2
C.1
D.2
6.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已
知三个房间的粉刷面积(单位:2)分别为,,,且 >>,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:
元/2)分别为,,,且<< .在不同的方案中,最低的总费用（单位:元）是
A. + +
B. + +
C. + +
D. + +
7.互不相同的5 盆菊花,其中2 盆为白色,2 盆为黄色,1 盆为红色,现要摆成一排,白色菊花不
相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法
A.24种
B.36种
C.42种
D.48种
8.设 = ()2 + (2 )2 + + 1,其中 2.71828,则的最小值为
A. 2
B. 2 + 1
C. 3
D. 3 + 1
二、选择题:本题共3 小题,每小题6分.共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设U为全集,集合A、B、C满足条件 = ,那么下列各式中不一定成立的是
A.
B.
C. () = ()
D.() = ()
10.在 中,、、所对的边为、、,设边上的中点为, 的面积为,其中
= 2 3,2 + 2 = 24,下列选项正确的是
A.若 = 3,则 = 3 3
B.的最大值为3 3
C. = 3
D.角的最小值为3
11.对于正整数,()是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数()以其首名研究
者欧拉命名,称为欧拉函数,例如(9) = 6(1,2,4,5,7,8与9 互质 ),则
A.若为质数,则() = 1
B.数列{()}单调递增
C.数列 的最大值为1
(2)
D.数列{(3)}为等比数列
三、填空题:本题共3 小题,每小题5分.共 15分.
12.若函数() = ln(2)( )为偶函数,则 = .
2 2
13.已知椭圆: ,若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点
2 + 5 = 1 >5 ,( 3, 6) 1
(1,1),2(2,2),有1 2 1恒成立,则实数的取值范围是 .
14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，
则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高
2 2
处截面积相等，则体积相等.由曲线 = 1, = 3, = 4围成的图形绕轴旋转一周所得
4 3 2
旋转体的体积为,则 = .
四、解答题:本题共5 小题,共 77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13分)
设{}是正数组成的数列,其前项和为,已知与2 的等差中项等于 与2 的等比中项.
(1)求数列{}的通项公式;
1 +1
(2)令 = + ( N ),求{}的前项和.
2 +1
16.(本小题 15分)
如图,在三棱锥中,侧面 底面, , 是边长为2 的正三角形, =
4,,分别是,的中点,记平面与平面的交线为.
(1)证明:直线 平面;
(2)设点在直线上,直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,求当
为何值时 .
+ = 2
17.(本小题 15分)
已知函数() = ln,() = ln( + ),,其中为整数且 1.记0为()的极值点,
若()存在两个不同的零点1,2(1< 2):
(1)求的最小值;
(2)求证:(ln1) = (ln2) = 0;
18.(本小题 17分)
已知抛物线:2 = 2( >0)的焦点为,为上任意一点,且||的最小值为 1.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知为平面上一动点,且过能向作两条切线,切点为,,,记直线,,的斜率分
1 1 2
别为 , , ,且满足 + = .
1 2 3 1 2 3
(1)求点的轨迹方程;
(2)试探究:是否存在一个圆心为(0,)( >0),半径为1 的圆,使得过 可以作圆的两条切线
1,2,切线1,2分别交抛物线于不同的两点(1,1),(2,2)和点(3,3),(4,4),且1234
为定值?若存在,求圆的方程,不存在,说明理由.
19.(本小题 17分)
龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A和两个套餐服务,顾客可选择A和两个套餐之一,
并在 App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在 App 平台 10 天销售优惠券情况.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量(千张) 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
1
经计算可得: 10 10 10 2 .
= 10 =1 = 2.2, =1 = 118.73, =1 = 385
(1)因为优惠券购买火爆,平台在第 10 天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量
大幅减少,已知销售量和日期呈线性关系,现剔除第 10 天数据,求关于的经验回归方程（
结果中的数值用分数表示);
（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为 1,选择 套餐的概率为3,并且 套餐可以用一
4 4 A
张优惠券,套餐可以用两张优惠券,记 App 平台累计销售优惠券为张的概率为,求;
(3)记(2)中所得概率的值构成数列{}( N ).
(1)求的最值:
(2)数列收敛的定义:已知数列{},若对于任意给定的正数,总存在正整数0,使得当 >0
时,||< ,(是一个确定的实数),则称数列{}收敛于.根据数列收敛的定义证明数列
{}收敛.
参考公式:
{#{QQABDYQAoggAAJBAARgCQQUCCAEQkAEACKoGBFAIsAAAyBFABCA=}#}
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