秘密启用前
数学（理科）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1+ 2i
1.在复平面内， 对应的点位于（ ）
1- i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设全集U = -3, - 2, - 1,0,1,2,3，集合 AB= -2, - 1,0,1 , = - 1,1,3，则-3,2 = （ ）
A. U AB B. U AB
C. U AB D. U AB
3.采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测预警作
用.综合 PMI 产出指数是 PMI 指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指
数，指数高于 50% 时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于 50% ，则反映企业生产经营活动较上月
收缩.2023 年我国综合 PMI 产出指数折线图如下图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A.2023 年各月综合 PMI 产出指数的中位数高于 53%
B.2023 年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C.2023 年第 3 月至 12 月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D.2023 年上半年各月综合 PMI 产出指数的方差小于下半年各月综合 PMI 产出指数的方差
r r r r
4.已知向量 ar,, b cr 满足 ar= b =1, cr = 3 ，且 ar+ b + cr = 0 ，则 cosar- cr , b - cr = （ ）
13 3 3 3 3 13
A. B. C. - D. -
14 14 14 14
5. 1- 2x (1 + x )5 的展开式中 x3 的系数为（ ）
A.20 B.10 C.-10 D.-20
5
6.已知a0, ,cos a + = - ，则 sina = （ ）
2 3 13
12+ 5 3 12- 5 3 12 3+ 5 12 3- 5
A. B. C. D.
26 26 26 26
7.设 O 为坐标原点，过点 2,0 的直线与抛物线 C: y2 = 2 px ( p >0) 交于 MN, 两点，若
uuuur uuur
OM ON = -4 ，则 p 的值为（ ）
1 1
A. B. C.2 D.4
4 2
8.如图，该组合体由一个正四棱柱 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 和一个正四棱锥 PABCD- 1 1 1 1 组合而成，已知
AB=2, AA1 = 2, PA 1 = 2 ，则（ ）
A. PA1 平面 ABC1 D 1 B. PB1 平面 ABC1 D 1
C. PC1 ^ 平面 BDC1 D. PD1 ^ 平面 BDC1
9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从 ABC,, 三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择
相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（ ）
15 21 14 20
A. B. C. D.
16 32 27 27
10.给出下述三个结论：函数 f x = cos x 的最小正周期为 ；函数 f x = cos2 x 在区间 ,
4 2
2
单调递增；函数 f x = cos x 的图象关于直线 x = 对称.其中所有正确结论的编号是（ ）
2
A. B. C. D.
x2 y 2
11.已知双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) 的左，右焦点分别为 FF1, 2 .点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上，
a2 b 2
uuur4 uuuur uuur uuur
BA= BF, F B ^ AB ，则 C 的离心率为（ ）
3 2 1
3 2 14+ 2 14+ 2
A. B. 2 C. D.
4 4 3
b
12.若关于 x 的不等式 lnx ax3- bx 2 - 1 a 0 恒成立，则 的最大值为（ ）
a
1 2 1 2
A. B. C. D.
e2 e2 e e
二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
x- y + 2… 0,
13.若 x, y 满足约束条件 2x-- y 2 0 ，则 z= -3 x + y 的最小值为__________.
2x+ y - 2… 0,
2
14.已知VABC 的三边长 AB=4cm, BC = 2cm, AC = 3cm ，则VABC 的面积为__________ cm .
15.若 f x =2cos x +j + cos x 为奇函数，则j = __________.（填写符合要求的一个值）
16.已知球 O 的半径为 3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 OO1, 2 ，其半径分别为 r1, r 2 ，若
O1 O 2=6, r 2 = 2 r 1 ，两圆的公共弦的中点为 M ，则 MO1 = __________.
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（12 分）
某公司为改进生产，现对近 5 年来生产经营情况进行分析.收集了近 5 年的利润 y （单位：亿元）与年份代
码 x 共 5 组数据（其中年份代码 x =1,2,3,4,5 分别指 2019 年，2020 年，L,2023 年），并得到如下值：
5 5
2
y=70.5, yi - y = 65, y i - y x i - x = 25
i=1 i = 1
（1）若用线性回归模型拟合变量 y 与 x 的相关关系，计算该样本相关系数 r ，并判断变量 y 与 x 的相关程
度（ r 精确到 0.01）；
（2）求变量 y 关于 x 的线性回归方程，并求 2024 年利润 y 的预报值.
附： 6.5 2.55 ；
若 r … 0.75，相关程度很强； 0.3 r< 0.75 ，相关程度一般； r 0.3，相关程度较弱；
一组数据 x1,,,,,, y 1 x 2 y 2 L xn y n ，其回归直线 y= a + b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n n
x-- x y y
xi-- x y i y i i
b =i=1 , a = y - bx ；相关系数 r = i=1
n n n
x- x 2 2 2
i xi- x y i - y
i=1 i=1 i = 1
18.（12 分）
*
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn= 3 a n - 3, n N .
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若__________，求数列bn 的前 n 项和Tn .
n
n 3n 9 n
从 bn= 3 log3 a n ; bn = ； bn= a n+1 - a n ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并
an+1 2
解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12 分）
如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，平面 FCD ^ 平面 ABCD ，平面 EAB ^ 平面
ABCD,, AEB CFD 是等腰直角三角形，且 DFC= BEA = .
VV 2
（1）证明：平面 ABF 平面 CDE ；
（2）若 BAD ，求平面 ADE 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值的取值范围.
3
20.（12 分）
x2 y 2 3
已知椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的离心率是 ，左右顶点分别为 AA1, 2 ，过线段 AA1 2 上的点
a2 b 2 2
Q1,0 的直线与 C 交于 MN, 两点，且VA1 MN 与VA2 MN 的面积比为 3:1.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 MA1 与 NA2 交于点 P .证明：点 P 在定直线上.
21.（12 分）
已知函数 f x = xln x - ax2 - 2 x .
（1）若过点 1,0 可作曲线 y= f x 两条切线，求 a 的取值范围；
（2）若 f x 有两个不同极值点 x1, x 2 .
求 a 的取值范围；
2 3
当 x1>4 x 2 时，证明： x1 x 2 >16e .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中， eC 的圆心为 C 2,2 ，半径为 2，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求 eC 的极坐标方程；
（2）过点 O 的直线交 eC 于 PQ, 两点，求 OP+ OQ 的最大值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f x =2 - x + 2 x + 2 .
（1）若对任意 x R ，使得 f x… a2 - 3 a 恒成立，求 a 的取值范围；
1 1 4
（2）令 f x 的最小值为 M .若正数 a,, b c 满足 + + = M ，求证： a+ b + c… 4 .
a b c
理科数学参考解答及评分参考
一选择题
1.【答案】B
1+ 2i1+ 2i 1 + i - 1 + 3i
【解析】由 = = ，对应的点位于第二象限，选择 B.
1- i 1 - i 1 + i 2
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何
意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算直观想象等数学核心素养.
2.【答案】D
【解析】由 U AB = -3,2,3 - 1,1,3 = 3，选项 A 错误；
U AB = -3,2,3 - 1,1,3 = - 3, - 1,1,2,3，选项 B 错误；
UU AB = -1,1 = - 3, - 2,0,2,3 ，选项 C 错误；因为 AB = -2, - 1,0,1,3，所以
U AB = -3,2 ，所以选项 D 正确.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算
等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.
3.【答案】B
【解析】根据图表可知，各月 PMI 的中位数小于 53% ，A 错误；2023 年各月，2023 年我国综合 PMI 产出
指数均大于 50% ，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C 错误，B 正确；2023 年上半年各月 PMI 比下
半年各月 PMI 的波动大，则方差也大，故 D 错误.
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方
法，考查数据分析等数学核心素养.
4.【答案】A
r r 2 2 2r 2 2 r 1
【解析】由题意得 ar+ b = - cr ，则 ()ar+ b = cr 有1+ 2ar b + 1 = ( 3) ，解得 ar b = ，又由
2
r 2r 2 2 2 2 3 r 3
ar+ cr = - b ，则 ()ar+ cr = b 有1+ 2ar cr + ( 3) = 1 ，解得 ar cr = - ，同理可得 b cr = - ，所以
2 2
r r r213 2 2 r r 2 r 2
acbcabacbccrr--=--+= rrrrrr, ac rrrrrr -= a -+= 2 acc 7, bc -= r b -+= 2 bcc rr 7
2
r 13
ar- cr b - cr
，所以 r rr r 2 13 .
cosa- c , b - c =r = =
ar-- cr b cr 7 7 14
注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹
角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；
考查数学运算直观想象数学建模等数学核心素养.
5.【答案】C
5 5 5 r r
【解析】因为 12(1-x + x ) = (1 + x ) - 2(1 x + x ) ，相加的两项二项式展开后的通项分别为Tr+1= C 5 x
' r 3 3 2
与Tr+1= -2 xC 5 x ，所以 x 的系数为 CC5-2 5 = - 10 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的
系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.
6.【答案】A
5 2 12
【解析】因为a 0, ，所以a + , ，有 sina+ = 1 - cos a + = ，所以
2 3 3 6 3 3 13
12 1 5 3 12+ 5 3
sina= sin a +-= sin a + cos - cos a + sin =--= .
3 3 3 3 3 3 13 2 13 2 26
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角
和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核
心素养.
7.【答案】C
2
【解析】设 M x1,,, y 1 N x 2 y 2 ，直线 MN 的方程为： x= my + 2 ，联立方程 y= 2 px 得，
2
2 y y uuuur uuur
y-2 pmy - 4 p = 0 ，故 y y= -4 p , x x =1 2 = 4 ，从而 OM ON = x x + y y =4 - 4 p = -4，
1 2 1 2 4 p2 1 2 1 2
即 p = 2 ，故选 C.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置
关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；
考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.
8.【答案】C
【解析】如图，因为 PA1= PC 1 =2, AC 1 1 = 2 2, OC = CC 1 = 2 ，在平面 ACC1 PA 1 中有
PAC= AC O = C OC = ，所以 PA OC, PA 平面 BDC, PA 不平行于平面 ABC D ；
1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1
同理 PB1 OD1, PB 1 不平行于平面 ABC1 D 1 ；易得 PO = 2 2 ，
PC1= C 1 O = 2 ，所以 PC1^ C 1 O ，又 PC1^ BD, BD C 1 O = O ，所以 PC1 ^ 平面 BDC1 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平
行，线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核
心素养.
9.【答案】C
2
C4 1 2
+ CA4 3
【解析】 2 7 6 14 .
P = = =
34 81 27
【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理分组排列组合古典概型等基础知识，考查
分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.
10.【答案】B
【解析】对于由 f x =cos x = cos x ，最小正周期为 2 ，结论不正确；对于，由 x , ，
4 2
有 2x , ,cos2 x< 0 ，此时 f x =cos2 x = - cos2 x 在区间 , 单调递增，结论正确；对于
2 4 2
1+ cos2x 1 1
， f x =cos2 x = = cos2 x + ，对称轴由 2x= k, k Z 确定，当 k =1时， x = ，结
2 2 2 2
论正确.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图
象，降幂公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形
结合思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.
11.【答案】A
【解析】设 F2 A= m ，则 BF2 =3 m , BA = 4 m ，由于 FF1, 2 关于 y 轴对称，故 BF1= BF 2 = 3 m ，又因
uuur uuur 3 2
为 F B^ AB ，所以 AF1=5 m , F 1 F 2 = 3 2 m ，所以 2a= 4 m ,2 c = 3 2 m ，所以 e = ，故选 A.
1 4
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双
曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；
考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.
12.【答案】C
lnx+ 1 b lnx + 1
【解析】依题意， a0, x >0 ，不等式化为 2 a x - .设 f x = ，则
x a x2
1 1
2 -
x -2 x ln x + 1 2
--1 2lnx ，当 x 0,e 时， f x >0, f x 单调递增；当 x
f x =x =
x4 x 3
1
- 1 e
e2 ,+ 时， f x< 0, f x 单调递减，所以， f x 在 - 处取得极大值，也即最大值 又
x = e 2 .
2
1
- lnx+ 1 b b
2 时， f x >0 .由题知不等式 2 a x - 恒成立，所以 y= a x - 的图象恒在 f x 的
x >e x a a
b b
图象的上方，显然 a< 0 不符题意；当 a >0 时， 为直线 y= a x - 的横截距，其最大值为 f x 的
a a
1 b 1 b
横截距，再令 f x = 0 ，可得 x = ，且当直线 y= a x - 与 f x 在点 ,0 处相切时，横截距
e a e a
31 3 2 b 1
取得最大值.此时，切线方程为 y=e x - , a = e , b = e ，所以 取得最大值为 .
e a e
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，
考查数学抽象逻辑推理数学运算直观想象等数学核心素养.
二填空题
13.【答案】-6
【解析】作出约束条件表示的可行域为以 ABC4,6, 0,2, 1,0 三点为顶点的VABC 及其内部，作出
直线 -3x + y = 0 并平移，当直线 y=3 x + z 经过点 A4,6 时，在 y 轴上的截距最小，此时目标函数
z= -3 x + y 取得最小值 zmin = -3 4 + 6 = - 6 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件
表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；
考查数学运算逻辑推理直观想象等数学核心素养.
3 15
14.【答案
4
AB2+ AC 2 - BC 24 2 + 3 2 - 2 2 7 15
【解析】由余弦定理有 cosA = = = ，所以 sinA = ，所以VABC 的
2AB AC 2 4 3 8 8
1 1 15 3 15
面积 S= AB AC sin A = 4 3 = .
2 2 8 4
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关
系，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用
意识；考查数学运算逻辑推理直观想象等数学核心素养.
2 2
15.【答案】 ，填写符合j =2k , k Z 的一个值即可.
3 3
【解析】依题意， f x =2cos x cosj - 2sin x sin j + cos x = 2cos j + 1 cos x - 2sin x sin j ，当
1 2 2 4
2cosj + 1 = 0, f x 为奇函数，此时 cosj = - ，则j =2k , k Z ，故填 , 等等.
2 3 3 3
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质简单的三角变换等基础知识，
考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象逻辑推理数学运算等数学核心素养.
16.【答案】1
【解析】如图，设 ，则在 中， ，在
OO1= OM 2 = dOM, = OO 1 2 = 6, ON = 3 VOMN MN = 3
中， 2 2 ，在 中， 2 2 ，联立得 ，所以在 中，
VO2 MN 2r1 = d + 3 VO1 ON 9 =d + r1 r1 = 2 VO1 MN
2 2 2
MO1= r 1 - MN =1，所以 MO1 =1.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置
关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等
基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.
三解答题
1+ 2 + 3 + 4 + 5
17.【解析】（1）依题意， x = = 3，
5
5
2 2 2 2 2 2
xi - x =-+-+-+-+-=(1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 10 ，
i=1
5
x-- x y y
i i 25 25 25
则 r =i=1 = = 0.98，
5 5
2 2 10 65 10 6.5 10 2.55
xi- x y i - y
i=1 i = 1
则 r >0.75 ，故变量 y 与 x 的相关程度很强.