理科数学
考试时间 120 分钟，满分 150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用 0.5 毫米的黑色签
字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，
超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设全集U {1,2,3,4,5} ，若集合 M 满足{1,4} U M ，则
A．1 M B． 4 M C． 3 M D． 2 M
2．若复数 z 满足 z(1 i) 2 i ，则 z
1 i 1 i 1 3 1 3
A． B． C． i D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 1
3． 2 ， 2 ， sin ， log2 四个数中最大的数是
2 3
1 3 1
A． 23 B． 23 C． sin D． log
2 2 3
4．地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起
源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱
基排列数的大小定义了基因库的复杂度 y （单位：1），通过研究各个年代的古代生
物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时
间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂
度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该
论文作者根据生物化石（原核生物、真核生物、
蠕虫、鱼类、哺乳动物）中的基因复杂度的常
用对数 lg y 与时间 x （单位：十亿年）的散点图
及回归拟合情况（其中回归方程为：
lg y 0.89x 8.64 ，相关指数 R2 0.97 ）．根
据题干与图中的信息，下列说法错误的是
A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取
y 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 y b 10ax k 来拟合
B．根据回归方程可以得到，每过 10 亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的
100.89 7.76 倍
C．虽然拟合相关指数为 0.97 ，但是样本点只有5 个，不能很好地阐释其统计规律，
所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程
D．根据物理界主流观点：地球的形成始于 45 亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初
时生物的复杂度大约为108.64 ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球
5．若正实数 a ， b 满足 a2 b2 m ，则 a b 的最大值为
A． 2m B． 2m C． 2 m D． 2m
6．若 a ， b 是平面上两个非零的向量，则“| a b | | a | | b | ”是“| ab | | a || b | ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3
7．在平面直角坐标系 xOy 中，角 ， 的始边均为 Ox ，终边相互垂直，若 cos ，
5
则 cos2
9 9 7 7
A． B． C． D．
25 25 25 25
8．已知公比不为1 的等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ，若数列{Sn an}是首项为1 的等差
数列，则 a3
1 2 1 5
A． B． C． D．
2 3 8 8
9．某电子竞技队伍由1 名队长、1 名副队长与3 名队员构成，按需要担任第1至5号位
的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1 号位，副队长是队伍输出
核心，必须担任1 号位或2 号位，则不同的位置安排方式有
A． 36 种B． 42 种C． 48 种
D． 52 种
10．已知正方体以某直线为旋转轴旋转 角后与自身重合，则 不可能为
2 3
A． B． C． D．
2 3 4
11．若函数 f (x) ex kx2 大于 0 的零点有且只有一个，则实数 k 的值为
e e2
A． 4 B． 2 e C． D．
2 4
12．已知点 P ， Q 分别是抛物线 C : y2 4x 和圆 E : x2 y2 10x 21 0 上的动点，若抛物
线 C 的焦点为 F ，则 2 | PQ | | QF |的最小值为
A． 6 B． 2 2 5 C． 4 3 D． 4 2 3
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。
13．若双曲线 C 的渐近线方程为 2x y 0 ，则双曲线 C 的标准方程可以是_______（写
出一个你认为正确的答案即可）．
14．若圆锥的侧面展开图是半径为2 的半圆，则该圆锥的高为_______．
15．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f( x ) x (1 ln x ) ，则当 x 0 时，
f (x) 的单调递增区间为_______．
4
16．若实数 x ， x 是 方 程 3 sin 2x cos 2x 在 区 间 (0, ) 上 不 同 的 两 根 ， 则
1 2 3
cos(x2 x1 ) _______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
1
在ABC 中， BC 5 ， AC 6 ， cos B ．
8
（1）求 AB 的长；
（2）求 AC 边上的高．
18．（12 分）
已知在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形，满足
ADBC ， AD DC ，若 PA AD DC 2 ， BC 3，点 M 为 PD
的中点，点 N 为 PC 的三等分点（靠近点 P ）．
（1）求证： PC 平面 AMN ；
PQ
（2）若线段 PB 上的点 Q 在平面 AMN 内，求 的值．
PB
19．（12 分）
RAID 10 是一种常见的独立冗余磁盘阵列，因为先做镜像存储再做条带存储，使得
RAID 10 同时具有 RAID 0 的快速与 RAID 1 的可靠的优点，同时阵列中若有几块磁盘损坏
可以通过阵列冗余备份进行数据恢复．某视频剪辑公司购进 100 块拆机磁盘组建一台存储
服务器，考虑到稳定性，拟采取 RAID 10 组建磁盘阵列，组建之前需要对磁盘进行坏道扫
描，每块需要2 小时，若扫描出磁盘有坏道，则更换为没有坏道的正常磁盘．现工作小组
为了提升效率，打算先扫描其中的 10 块，再根据扫描情况，决定要不要继续扫描剩下的
所有磁盘，设每块磁盘有坏道的概率为 x （ x (0,1) ），且每块磁盘是否有坏道相互独
立．
（1）将扫描的 10 块中恰有2 块有坏道的概率 p 表示成关于 x 的函数，并求该函数的
最大值点 x0 ；
（2）现扫描的 10 块中恰有2 块有坏道，考虑到安全性，工作小组决定用（1）中的 x0
作为 x 值来预测．已知有坏道磁盘直接投入使用会造成该盘上的数据丢失或损坏，每块投
入使用的有坏道磁盘需要 10.5 小时进行更换和数据恢复，请根据现有扫描情况，以整个组
建过程所花费的时间的期望为决策依据，判断是否需要扫描剩下的所有磁盘．
20．（12 分）
x2 y2
已知椭圆 E : 1(a b 0) 上的点 M (2,1) 到焦点 F ， F 的距离之和为 4 2 ．
a2 b2 1 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过点 N(4,0) 的直线交 E 于 A ， B 两点，直线 AM ， BM 分别交直线 x 4 于 P ， Q
两点，求证：| PN | | QN | ．
21．（12 分）
已知函数 f (x) ln x ，若数列{an}的各项由以下算法得到：
任取 ai a （其中 a 0 ），并令正整数 i 1 ；
求函数 f (x) 图象在 (ai , f (ai )) 处的切线在 y 轴上的截距 ai1 ；
判断 ai1 0 是否成立，若成立，执行第步；若不成立，跳至第步；
令 i i 1 ，返回第步；
结束算法，确定数列{a }的项依次为 a ， a ， ， a ．
n 1 2 i1
根据以上信息回答下列问题：
（1）求证： ai1 ln ai 1 ；
（2）是否存在实数 a (k,k 1)(k N) 使得{an}为等差数列，若存在，求出 k 的值；若
1
1
不存在，请说明理由．参考数据： ee2 3.11 ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10 分）
x t ，
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C2 的参
y 3t
x a cos ，
数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极
y sin
坐标系．
（1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 的两不同交点 A ， B 满足 OA 2OB ，求 a 的值．
23．[选修45：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) x m ， g(x) x 2 ．
（1）当 m 1时，解不等式| f (x) | | g(x) | 5 ；
（2）若 x (1,) ，| f (x) | g(x 2) f (x) | g(x) | 0 成立，求 m 的取值范围．
2024 届高三第三次模拟考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D B B A A C C B C D C
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。
y2
13． x2 1 （或其它合理答案） 14． 3 15． (1,0)
2
2
16．
3
三、解答题：本题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）
解：（1）设角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
由余弦定理，将 a 5 ，b 6 代入 b2 a2 c2 2accos B ，
………………2分
1
得 36 25 c2 2 5c ，化简得 4c2 5c 44 0 ，
8
11
解得 c 4 或 c （舍）；
4
………………6分
3 7
（2）因为 sin B 1 cos2 B ，
8
………………8分
asin B 5 3 7 5 7
由正弦定理得： sin A ，
b 8 6 16
………………10分
5 7 5 7
设 AC 边上的高为 h ， h csin A 4 ．
16 4
………………12分
18．（12 分）
解：（1）由题易知 PA CD ，又 AD CD ，
又因为 PA AD A ， PA ， AD 平面 PAD ，
所以 CD 平面 PAD ，
………………2分
又因为 AM 平面 PAD ，所以 AM CD ，
又因为 AP AD ，点 M 为 PD 中点，所以 AM PD ，
又因为 CD PD D ， CD ， PD 平面 PCD ，
所以 AM 平面 PCD ，所以 AM PC ，
………………4分
在PCD 中，点 M 为 PD 中点，点 N 为 PC 三等分点（靠近点 P ），
PD PN 6
所以 ，
PC PM 3
所以PCD PMN ，所以 PNM PDC ，即 MN PC ，
2
又因为 AM MN M ， AM ， MN 平面 AMN ，
所以 PC 平面 AMN ；
………………6分
（2）在平面 ABCD 上过点 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 E ，
以A 为原点，分别以直线 AE ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示
空间直角坐标系，
由（1）知 PC 平面 AMN ，所以 PC 是平面 AMN 的法向量，
又 PC (2,2,2) ， ………………9分
设 PQ PB ，又因为 PB (2,1,2) ，
AQ AP PQ AP PB (2,,2 2) ，
若线段 PB 上的点 Q 在平面 AMN 内，则 AQ PC ，
即 4 2 4 4 0 ，
2 PQ 2
解得 ，则 的值为 ． ………………12分
3 PB 3
19．（12 分）
解：（1）由题意知，设 10 块磁盘中恰有两块有坏道的概率为 p(x) ，
2 2 8
则 p(x) C10 x (1 x) ， x (0,1) ，
………………2分
2 8 2 7 2 7
因为 p(x) 的导函数 p(x) C10[2x(1 x) 8x (1 x) ] 2C10 x(1 x) (1 5x)
又因为 x (0,1) ，所以 (1 x)7 0 ，令 p(x) 0 ，得 x 0.2 ，
………………4分
且当 x (0,0.2) 时， p(x) 0 ，函数 p(x) 为增函数，
当 x (0.2,1) 时， p(x) 0 ，函数 p(x) 为减函数，
所以 p(x) 的最大值为 p(0.2) ，所以函数 p(x) 的最大值点 x0 为 0.2 ；
………………6分
（2）由（1）知 x 0.2 ，
设剩余 90 块磁盘中有 块有坏道，
且不扫描剩下磁盘的情况下整个组建过程所花费时间为 小时，
由题意知 10.5 20 ，
………………7分
由题意得 ~ B(90,0.2) ，随机变量 的期望 E( ) 90 0.2 18 块，
所以随机变量 的期望 E() 10.5E( ) 20 209 小时，
………………10分
若对剩下的所有磁盘都进行扫描，整个组建过程所花费时间为 200 小时，
所以应该对剩下的所有磁盘进行扫描．
………………12分
20．（12 分）
解：（1）由椭圆的定义知 2a 4 2 ，所以 a2 8 ，
4 1
将 M (2,1) 代入椭圆 E 的方程得 1，所以 b2 2 ，
8 b2
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 1 ；
8 2
………………4分
（2）当直线 AB 与 x 轴重合时，可设 A(2 2,0) ， B(2 2,0) ，
4 2 2 4 2 2
由相似三角形的性质得| PN | | | 2 ，| QN | | | 2 ，
2 2 2 2 2 2
所以| PN | | QN | ；
………………6分
当直线 AB 不与 x 轴重合时，设 AB 的方程为 x ty 4 ，
同时设点 A ， B 的坐标分别为 (,)x1 y 1 ， (x2 , y2 ) ，
由题意，直线 AB 不过点 M (2,1) 和 (2, 1) ，所以t 6 ，
2 2
x 4y 8 2 2
联立 得 (t 4)y 8ty 8 0 ，
x ty 4
8t 8
由题意知 0 ，所以 t 2 4 ，且 y y ， y y ，
1 2 t 2 4 1 2 t 2 4
………………8分
由题意知，直线 ， 的斜率存在，则 y1 1 ，
AM BM lAM : y 1 (x 2)
x1 2
2(y 1) 2y 2 x 2 (t 2)y (t 2)y
当 时， 1 1 1 1 1 ，
x 4 yP 1
x1 2 x1 2 x1 2 ty1 2
(t 2)y2
同理可得 yQ ，
ty2 2
………………10分
2
(t 2)y1 (t 2)y2 (2t 4t)y1 y2 (2t 4)(y1 y2 )
所以 yP yQ ，
ty1 2 ty2 2 (ty1 2)(ty2 2)
又因为 y1 y2 ty1 y2 ，
2
(2t 4t)y1 y2 t(2t 4)y1 y2
所以 yP yQ 0 ，
(ty1 2)(ty2 2)
所以| PN | | QN | ，
综上所述，| PN | | QN | ．
………………12分
21．（12 分）
1
解：（1）由题得 f (x) ，曲线 y f (x) 在点 (a , f (a )) 处的切线方程为
x i i
1 x
y f (ai ) (x ai ) ，即 y ln ai 1，
ai ai
………………2分
令 x 0 得 y ln ai 1，此切线交 y 轴于点 (0,ln ai 1) ，
所以 ai1 ln ai 1 ；
………………4分
（2）若{an}为等差数列，设其公差为 d ，
则 d ai1 ai ln ai ai 1，1 i n ，
1 1 x
令 g(x) ln x x 1，则 g(x) 1 ，
x x
当 x (0,1) 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增，
当 x (1,) 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递减，
所以 g(x)max g(1) 2 ，
因此 d g(x) 最多有两不同的根，即最多3 项成等差数列，
………………7分
若 a1 ， a2 ， a3 成等差数列，即 a1 a3 2a2 ，
a2 1
由（1）知 a2 ln a1 1，所以 a1 e ，又 a3 ln a2 1，
1
记函数 h(x) ex1 ln x 1 2x ，则 h(x) ex1 2 ，
x
所以当 x (0,) 时， h(x) 0 ，所以 h(x) 在 (0,) 上单调递增，
1 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2 2
又 h( ) ee 2 1 ee 3 ee 3.2 0 ，
e2 e2 e2
1 3 4 3
又 h( ) e2 ln 2 2 (23 )2 ln 2 2 2 ln 2 0 ，
2
1 1
所以存在唯一 x ( , ) ，使得 h(x ) 0 ，即 ex0 1 ln x 1 2x 0 ，
0 e2 2 0 0 0
1 1
所以存在 a ( , ) ，使得 a ， a ， a 为等差数列，
2 e2 2 1 2 3
………………10分
1 4 2
1 3 3 3 3
2
a2 1 e 2 3 2 2 3 2
此时 a a1 =e ，易知 a (e ,e ) ，又因为 4 (2 ) e (5 ) 5 ，
1
1 3
所以集合 (ee2 ,e2 ) (3,5) ，即 a (3,5) ，
………………11分
a2 1
同时 a e 2x0 1 ln x0 ，
1 1 1 2x 1
令 p(x) 2x 1 ln x ， x ( , ) ， p(x) 的导数 p '(x) 2 0 ，
e2 2 x x
1 1 2
所以 p(x) 在区间 ( , ) 上为减函数， p(x)(2 ln 2,3 ) ，
e2 2 e2
2
又因为集合 (2 ln 2,3 ) (2,4) ， a (2,4) ，
e2
综上所述 a (3,4) ，所以存在实数 a (3,4) 使得{an}为等差数列，
此时 k 3 ．
………………12分
22．（10 分）
解：（1）将 x cos ， y sin 代入 C1 的参数方程得 sin 3 cos ，
2
即 C 的极坐标方程为 ， R ，
1 3
………………2分
cos a cos
将 x cos ， y sin 代入 C2 的参数方程得 ，
sin sin
2 2
化简得曲线 C2 的极坐标方程为 2a cos a 1 0 ；
………………5分
2 2
（2）设 A( , ) ， B( , ) ，联立直线 C 与曲线 C 的极坐标方程，
1 3 2 3 1 2