数学
本试卷满分 分，考试时间 分钟
注意事项：
答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
若（，），（，），且，则实数
已知双曲线 （，），直线 是双曲线 的一条渐近线，则该双曲
线的离心率为
槡 槡 槡
槡
为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在 家
商 场 的 售 价 （元 ）及 其 一 天 的 销 售 量 （件 ）进 行 调 查，得 到 五 对 数 据 （，）
（，，，，），经 过 分 析、计 算，得 ， ，关 于 的 经 验 回 归 方 程 为
，则相应于点（，）的残差为
已知各项均为正数的等比数列{}中，若 ，则
（）（） 的展开式中，满足 的 项的系数之和为
“函数 （）的图象关于点 ，对称”是“ ，”的
( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
如图所示，圆台的上、下底面半径分别为 和 ，， 为圆台的两条母线，截面
)
与下底面所成的夹角大小为 ，且 劣弧 的弧长为 ，则 三 棱 台
的体积为
槡
槡
第 题图
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书
已知 ，，则下列选项中，能使 取得最小值 的为
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求。全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
已知复数 （为实数），若 槡，则 的值可能为
已知函数 （）（） ，， 的部分图象如图所示，且阴影部分
( )
的面积为 ，则
函数 （）的最小正周期为
点 ，为曲线 （）的一个对称中心
( )
直线 为曲线 （）的一条对称轴
函数 （）在区间 ， 上单调递增
[ ] 第 题图
抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于
抛物线的对称轴．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，，为抛物线 上两个动
点，且 ，，三点不共线，抛物线 在 ，两点处的切线分别为 ，， ，，在
上的射影点分别为 ，，则
点 关于 的对称点在 上
点 在 上
点 为 的外心
第 题图
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
已知集合 {，，}，{，}，若 ，则实数
今年 月 日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发
展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用
的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了
解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与
新材料的广泛应用”“医疗的发展趋势”“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互
联网到大数据”已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同
一个讲座的选择共有 种（用数字作答）．
，，
，，
已知函数 （） 方程 （）有五个不等实根 （，，，，），
{ （），，
则实数 的取值范围是 ；令 （），则 的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出说明文字、演算式、证明步骤。
（分）
已知 ，，分别为内角 ，，的对边，（槡）槡（）．
（）求角 ；
（）若的面积为槡，周长为 ，求
．（分）
“九省联考”之后，某地掀起了奥数学习热潮，某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调
查，将每周独立钻研奥数课程超过 小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从
调查结果中随机抽取 人进行分析，得到数据如表所示：
奥数迷 非奥数迷 总计
男
女
总计
（）判断能否有 的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？
（）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取 人参加奥数闯关比赛，已
知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为 与 ，在恰有两人闯关成功的条件下，
求有女生闯关成功的概率．
参考数据与公式：
． ． ． ．
． ． ． ．
（）
，其中 ．
（）（）（）（）
（分）
如图，平行六面体 中，侧面 为矩形，底面 是边长为 的菱
形，且，为线段 上一点，满足，．
（）求证：平面 平面 ；
（）若 ，求二面角 的正弦值
第 题图
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（分）
如图所示，平 面 直 角 坐 标 系 中，为 坐 标 原 点，四 边 形 为 矩 形，（，），
（，），（，）分别为 ，，的中点，，两点满足：，（），
其中 为非零实数．直线 与 交于点 ．已知椭圆 （）过 ，，
三点．
（）求椭圆 的标准方程及其焦距；
（）判断点 与椭圆 的位置关系，并证明你的结论；
（）设 （，），（，）为椭圆 上两点，满足 ，，判断
是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
第 题图
（分）
已知函数 （）（），（） ，其中
（）若 ，证明：时，（） ；
（）
（）若函数 （）（）（）在其定义域内单调递增，求实数 的值；
！
（） {} ， ： ．
已知数列 的通项公式为 求证
槡
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蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
答案
二、选择题
题号
答案
三、填空题
， ， （第一空 分，第二空 分）
( )
四、解答题
．（）因为 槡槡槡，
所以 槡槡槡槡槡（），
所以 ，即 槡 ， …………………… （分）
槡 槡 ( )
因为 ， ，所以 ，即 ；…………………………… （分）
( )
（）因为 槡 ，所以 ， ………………………………… （分）
槡
由余弦定理可得 （） （） ，
所以 ． ……………………………………………………………………… （分）
（） （）
．（） ．．，…… （分）
（）（）（）（）
故没有 的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关；………………………… （分）
（）根据分层抽样，抽取的男生人数为 人，女生人数为 人， …………………… （分）
记“恰有两人闯关成功”为事件 ，“有女生闯关成功”为事件 ，
则 （）（ ）（ ）（ ） ， ……………………… （分）
（）（ ） ， …………………………………………… （分）
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（）
由条件概率的公式得 （） ，
（）
故在恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为 …………… （分）
．（）证明：取 的中点 ，连接 ，，
由 是边长为 的菱形可得 ，
又，所以为等边三角形，即有 ，槡，…………… （分）
由，所以 ，
即 ，所以 ，
由 （槡） ，可得 ， ………………………… （分）
而 ，平面 ，平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 …………………………………………………… （分）
（）由 ，可得 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 ，所以 平面 ，
即直线 ，，两两互相垂直 ……………………………………………… （分）
以 为坐标原点，分别以 ，，所在直线为 ，，轴，建立空间直角坐标系
，则 （，，），（，，），（，，），（，，），（槡，，），（槡，，），
所以 （槡，，），（，，），（，，），………………………… （分）
设平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为，
，
由 可得 （，槡，槡），……………………………………… （分）
{
，
由 可得 （槡，，）， ………………………………………… （分）
{
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所以 〈 ， 〉 槡 槡 槡 ，
槡槡
即二面角 的正弦值为 槡 ………………………………………… （分）
．（）由题意 ，
所以椭圆 的方程为 ，
且 ，焦距 槡 ………………………………………………… （分）
（）
（）由题意 （，），（，），则 ， ………… （分）
设 （，），则 ，即 ，
所以点 在椭圆 上 …………………………………………………………… （分）
（）由题意直线 ，的斜率都存在，且不为 ．设直线 ，的斜率分别为 ，，
由（）知： ， …………………………………………… （分）
，……………
，…………
联立得： ，同理， …………………………………… （分）
所以
…………………………………… （分）
所以
（ ）
( ) ( )
即 为定值 …………………………………………………… （分）
（）
．（）依题意，所证不等式为 （） ，其中
（）
（）
令 （）（） （），
（）
则 （） ，
（） （）
所以 （）在（，）上单调递减， …………………………………………… （分）
（）
所以 时，（）（），即 时，（） ………………… （分）
（）
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（ ）
（）（）
（） （）（）
若 ，则 ，由 （）可得 ，
即 （）在（ ，）上单调递减，不合题意．
若 ，则 （） ，
（）（）
此时 （）为增函数；
若 ，则 ，由 （）可得 ，
即 （）在（， ）上单调递减，不合题意
综上所述， ………………………………………………………………… （分）
（）由（）知：（）（） 在（，）上单调递增，
所以 时，（）（） （），即 （），
( )
（）
由（）知：时，（） ，
（）
（）
即 （） ，
( ) （） （）
所以 时， （） ， ………………………… （分）
( ) （）
令 得： ，
( ) ( ) （）
即 （），
( )
（）！
（） 槡
因为 ，
！
槡 ( )
所以 （） ， ………………………………………………………… （分）
（）
由 知： ，又因为 ，
（） （） () ()
所以 ，
所以 ……………………………………………………………… （分）
注：构造 处理亦可
（以上答案仅供参考，其它解法请根据评分标准酌情赋分）
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