数学试题（文科）
注意事项：
1．本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上。
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内。
第I卷 选择题（共 60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 z = -5 + 12i （i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数z 的实部为 5 B．复数z 的虚部为 12i
C．复数z 的共轭复数为 5+ 12i D．复数z 的模为 13
．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
2 UR= A={ x y = lg x } B = { x - 7< 2 + 3 x< 5} CABU ()U =
A．{x 0< x< 1} B．{ x x 0 或 x 1} C．{x x - 3} D．{x x >- 3}
3．北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种
长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由 a b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，
最下层（即下底）由 c d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为
n n
s=[(2 b + d ) a + ( b + 2 d ) c ] + ( c - a ) ．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，
6 6
则该垛积中所有小球的个数为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A．85 B．84 C．86 D．83
r r
4．已知平面向量 ar =(2cosa , - 1), b = (cos a ,1) ，其中a (0, ) ，若 ar ^ b ，则a = （ ）
3 2
A．a = B．a = 或a = C．a = D．a = 或a =
4 4 4 3 3 3
5．设a, b 为两个平面，则a b 的充要条件是（ ）
A．a 内有无数条直线与 b 平行 B．a 内有两条相交直线与 b 平行
C．a, b 平行于同一条直线 D．a, b 垂直于同一平面
6．在正四面体 A- BCD 的棱中任取两条棱，则这两条棱所在的直线互相垂直的概率是（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
x3 , x< t
7．已知函数 f() x = ，若存在m 使得关于x 的方程 f() x= m 有两个不同的根，则实数t 的取值范围
x, x t
为（ ）
A． (- 1,0)U (0,1) B． (- 1,0)U (1, + ) C． (- , - 1)U (0,1) D． (- , - 1)U (1, + )
Sn 2n - 3 a3 a 9
8．设等差数列an, b n的前n 项和分别为 STn, n ，若对任意正整数n 都有 = ，则 + =
Tn 4 n - 3 b4+ b 8 b 5 + b 7
（ ）
3 5 19
A． B． C． D．均不是
7 21 41
1
9．函数 y= x + sin x ,( x [ -,0)U (0, ]) 的图象是（ ）
x
A． B． C． D．
10．己知定义在R 上的函数 f() x 满足 f() x+ f ()0,( - x = f - x - 1) = f ( - x + 1) ，当 x (0,1) 时，
f( x )= 2x - 5 ，则 f log 80 = （ ）
4
5 4 5 5
A． - B． - C． 5 D．
5 5 5
x2 y 2
11．已知双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) ，抛物线 E: y2 = 4 x 的焦点为F，准线为l，抛物线E 与双曲线C
a2 b 2
的一条渐近线的交点为P，且P 在第一象限，过P作l 的垂线，垂足为Q，若直线QF 的倾斜角为 120 ，则
双曲线C 的离心率为（ ）
2 3 21 7
A． B． C． D．2
3 3 2
e2a 1
12．已知正数a，b 满足 +2b a + ln b + 1，则 ea + b = （ ）
8 2
9 3 3
A． B． C．1 D．
4 2 4
第卷 非选择题（共 90分）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。
x+ y 2
13．若实数x，y 满足约束条件 2x+ y 4 ，则 z= x + 2 y 的最小值是__________．
x- y -2
25 2
． ln 2 ．
14 e +log2 sin log 3 tan - = __________
6 3
15．2024年1 月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：本题共3 小题，每小题6分，
满分 18 分；每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6 分，有选错的得0 分；部分选对得
部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3 分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项
得4 分，漏选两个正确选项得2 分）已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题
确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得
分（相同总分只记录一次）的中位数为__________．
4
16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列 a 满足： a=, a =l a2 - m a - 1 , n N * ．若
n 13 n+ 1 n n
2024 1
，则 ；若 ，则 ．
l=0, m = - 2 an = __________ l= m =1 = __________
i=1 ai
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60分。
17．（本小题满分 12 分）在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
BC-
4cos2 - 4sinBC sin = 3．
2
（I）求A；
（）若（ (bc- 4 3)cos A + ac cos B = a2 - b 2 ，求ABC 面积．
18．（本小题满分 12 分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告
之间所能维持的时间称为手机的待机时间．
为了解A，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B 两个型号的手机各5 台，
在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A 型待机时间（h） 120 125 122 124 124
B 型待机时间（h） 118 123 127 120 a
己知A，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
（I）求a 的值；
（）求A 型号被测试手机待机时间的方差和标准差的大小；
（）从被测试的手机中随机抽取A，B 型号手机各1 台，求至少有1 台的待机时间超过 122 小时的概率．
1 2 2 2
（注：n 个数据x,,, x x 的方差 s2 = x - x + x - x ++ x - x ，其中元为数据x，2，xn的
1 2 n n 1 2 n
平均数）
19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中，平面 A1 BC ^ 平面 A1 B 1 BA ，且
AA1 = AB = 2 ．
（I）求证： BC ^ 平面 A1 B 1 BA ；
9
（）若三棱锥 A- A BC 外接球的体积为 ，求四棱锥 A- BCC B 的体积．
1 2 1 1 1
20．（本小题满分 12 分）已知函数 f( x )= 4 x2 + (8 - a ) x - a ln x ．
（I）求 f() x 的单调区间；
（）当 a = 2 时，证明： f( x )>4 x2 - 2 ex + 6 x + 4 ．
x2 y 2
21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E:+ = 1( a >b >0) 的左，右焦点分别为 FF, ，Q为E 短轴的一个
a2 b 2 1 2
2 2 6
端点，若QF F 是等边三角形，点 P , 在椭圆E 上，过点 F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线
1 2 1
3 3
AB，CD 分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N 分别是弦 AB，CD 的中点．
（I）求椭圆E 的方程；
（II）求证：直线MN 过定点；
（III）求MNF2 面积的最大值．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐
x= m + 3 cosa
标方程为 r= 2sin q ；在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C2 的参数方程为 （a 为参数），
y = 3 sina
点 的极坐标为 且点 在曲线 上．
A 6, A C2
4
（I）求曲线 C1 的普通方程以及曲线 C2 的极坐标方程；
（II）已知直线 l: x- 3 y = 0 与曲线 CC1, 2 分别交于P，Q 两点，其中P，Q 异于原点O，求 APQ 的面
积．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 f( x )= | x + 2 | - t | x - 1|, t R ．
（I）当 t = 2 时，求不等式 f( x ) 0 的解集；
（）当 t = -1时，函数 f() x 的最小值为m，若a，b，c 均为正数，且 a2+ b 2 +4 c 2 = m ，求 a+ b + 2 c 的
最大值．