绝密考试结束前
高三年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 5 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知 A, B 是全集U 的非空子集，且 A U B ，则（ ）
A． B A B． B U A C． U A U B D． A B
2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分
家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分
2x
析函数的图象特征．则函数 f (x) 的图象大致为（ ）
x2 1
A． B．
C． D．
3.已知复数 z a bi(a,b R) 且 x2 (4 2i)x 4 ai 0 有实数根 b ，则| z 2 | =（ ）
A. 2 3 B.12 C. 2 5 D.20
4．已知等边ABC 的边长为 2，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，若 DE 2EF ，则 EF AF =（ ）
4 6 5
A．1 B． C． D．
5 5 4
x2 y2
5．已知 F1 ， F2 是双曲线 1a 0,b 0 的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满足
a2 b2
2 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
PF2 PF1 2a
A． 6 B． 5 C．2 D． 3
高三数学 试题 第 1页(共 5 页)
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3
6．在数列an中，Sn 为其前 n 项和，首项 a1 1，且函数 f x x an1sinx 2an 1 x 1的导函数
有唯一零点，则 S5 （ ）
A．26 B． 63 C． 57 D． 25
2024
7.已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x 2) 2 为奇函数，f (3x 1) 为偶函数，f (1) 0 ，则 f (k)
k 1
（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
8.已知直线 l : Ax By C 0(A2 B2 0) 与曲线 W : y x3 x 有三个交点 D 、 E 、 F ，且
DE EF 2 ，则以下能作为直线 l 的方向向量的坐标是（ ）.
A. 0，1 B. 1，1 C. 1，1 D. 1，0
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
， ， ，， ，
9．已知由样本数据 (xi yi ) （ i 1 2 3 10 ）组成的一个样本，得到回归直线方程为 y x 3 ，
且 x 4 ．剔除一个偏离直线较大的异常点 (5，1) 后，得到新的回归直线经过点 (6， 4) ．则下列说
法正确的是
A．相关变量 x，y 具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点 (5，1)
D．剔除该异常点后，随 x 值增加相关变量 y 值减小速度变小
10．在平面直角坐标系 xOy 中，角 以坐标原点 O 为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，其终边经过
b a b a
点 M (a,b) ， OM mm 0 ，定义 f ， g ，则（ ）
m m
2
A． f g 1 B． f f 0
6 6
f () 3
C．若 =2，则 sin 2 D． f g 是周期函数
g() 5
11．如图，多面体 PS ABCD 由正四棱锥 P ABCD 和正四面体 S PBC 组合而成，其中 PS=1，则
下列关于该几何体叙述正确的是
2
A. 该几何体的体积为 B. 该几何体为七面体
4
1
C. 二面角 A-PB-C 的余弦值为 D. 该几何体为三棱柱
3
高三数学 试题 第 2页(共 5 页)
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非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．从某工厂生产的零件中随机抽取 11 个，其尺寸值为 43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，
现从这 11 个零件中任取 3 个，则 3 个零件的尺寸刚好为这 11 个零件尺寸的平均数、第六十百分位
数、众数的概率为_________．
13. 已知偶函数 f x sinx 0的图像关于点 ，0 中心对称，且在区间 0， 上单调，
3 4
则 = .
14．若实数 x, y 满足 x2 y 2 25 ，则 50 8x 6y 50 8x 6y 的最大值为_________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a
15.（13 分）已知函数 f x ln x ax ， a R
x
(1)若 f x 在定义域内是减函数，求 a 的取值范围；
1
(2)当 a 时，求 f (x) 的极值点.
2
16.（15 分）
据新华社北京 2 月 26 日报道，中国航天全年预计实施 100 次左右发射任务，有望创造新的纪录，我
国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有
限公司计划安排近 70 次宇航发射任务，发射 290 余个航天器，实施一系列重大工程任务。由于航天
行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进
器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离 x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数 y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
8 8
2
参考数据： x 86 , y 112 , xi yi 82743, xi 62680
i1 i1
（1）建立 y 关于 x 的回归模型 y bx a ，根据所给数据及回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（ b 精
确到 0.1， a 精确到 1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取 100 台进行等距离飞行测试，对其
中 60 台进行飞行前保养，测试结束后，有 20 台报废，其中保养过的推进器占比 30%，请根据统计
数据完成 22 列联表，并根据小概率值=0.01 的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
高三数学 试题 第 3页(共 5 页)
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n
(xi x)( yi y)
i1
附：回归方程 y bx a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b n , a y bx ,
（ - ）2
xi x
i1
n(ad bc)2
K 2 , n a b c d ；
(a b)(c d)(a c)(b d)
2
P(K k0 ) 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
k0 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17.（15 分）
在三棱锥 P ABC 中， PB 平面ABC ， AB BC BP 2 ，点 E 在平面 ABC 内，且满足平
面 PAE 平面 PBE ，BA 垂直于 BC。
（1）当 ABE , 时，求点 E 的轨迹长度；
8 3
3
（2）当二面角 E PA B 的余弦值为 时，求三棱锥 E PCB 的体积.
3
18.（17 分）
x2 y2
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 W： 1a b 0的离心率为 e ，已知椭圆长轴长是短轴长
a2 b2
的 2 倍，且椭圆 W 过点 (1, e) ．
（1）求椭圆W 的方程；
（2）已知平行四边形 ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形 ABCD 的面积 S 的最大值．
高三数学 试题 第 4页(共 5 页)
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19.(17 分)
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.
若一个平面图形 K 在 m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称
性，并记 m 为 K 的一个对称变换.例如，正三角形 R 在 m1（绕中心 O 作 120的旋转）的作用下仍
然与 R 重合（如图 1 图 2 所示），所以 m1 是 R 的一个对称变换，考虑到变换前后 R 的三个顶点间
1 2 3
的对应关系，记 m1 ；又如，R 在 l1（关于对称轴 r1 所在直线的反射）的作用下仍然与
3 1 2
1 2 3
R 重合（如图 1 图 3 所示），所以 l1 也是 R 的一个对称变换，类似地，记 l1 .记正三角
1 3 2
形 R 的所有对称变换构成集合 S.
一个非空集合 G 对于给定的代数运算 来说作成一个群，假如同时满足：
I. a,bG,a bG ； II. a,b,cG,(a b) c a (b c) ；
III. eG,a G,a e e a a ； IV. a G,a 1 G,a a 1 a 1 a e .
对于一个群 G，称 III 中的 e 为群 G 的单位元，称 IV 中的 a1 为 a 在群 G 中的逆元.
一个群 G 的一个非空子集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的代数运算 来说作成一个群.
(1)直接写出集合 S（用符号语言表示 S 中的元素）；
1 2 3 1 3 2 2 1 3
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如 m1
3 1 2 3 2 1 1 3 2
2 3 1 3 1 2 3 2 1
.对于集合 S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：
1 2 3 2 3 1 2 1 3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3
* ，{a1,a2 ,a3} {b1,b2 ,b3} {c1,c2 ,c3} {1,2,3} .
b1 b2 b3 c1 c2 c3 c1 c2 c3
证明集合 S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
已知 H 是群 G 的一个子群，e,e 分别是 G, H 的单位元，a H ， a1,a 分别是 a 在群 G,群 H
中的逆元.猜想 e,e 之间的关系以及 a1,a 之间的关系，并给出证明；
写出群 S 的所有子群.
高三数学 试题 第 5页(共 5 页)
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