绝密启用前
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数 z 在复平面内对应的点为 1,1 ，则 z 1 2i （ ）
A. 5 B.3 C. 13 D.5
1
2.在A ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a 2,b 3,sinA ，则 sinB （ ）
2
3 2 1 1
A. B. C. D.
4 3 3 4
3.某机构统计了 1000 名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为 630.现按比例用
分层随机抽样的方法从中抽取 200 人，则抽取的硕士学历的人数为（ ）
A.11 B.13 C.22 D.26
4.已知等比数列an 的公比为 3,a2 a4 12 ，则 a5 a1 （ ）
A.20 B.24 C.28 D.32
3
5.已知 , ，且 tan 2 ，则 cos （ ）
2 4
3 10 10 10 3 10
A. B. C. D.
10 10 10 10
6.当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马
c
赫锥”.马赫锥的轴截面顶角 与飞机的速度 v 音速 c 满足关系式 sin .若一架飞机以 2 倍音速沿直线飞
2 v
行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点 30m 处的截面圆面积为（ ）
A.100m2 B. 300m2 C. 600m2 D. 900m2
a b
1 1
已知正实数 a,b,c 满足 ，则（ ）
7. log3a, log3b,c log1c
3 2 3
A. a b c B. c b a
C. b c a D. c a b
8.已知 F 是抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点，过 F 且倾斜角为 的直线 l 与 C 交于 M , N 两点，与 C 的准
3
线交于点 P （点 N 在线段 MP 上）， PN 2 ，则 MF （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A2,0, B2,0, P 是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若 PA PB 4 ，则点 P 的轨迹为椭圆
B.若 PA PB 2 ，则点 P 的轨迹为双曲线
C.若| PA |2 | PB |2 4 ，则点 P 的轨迹为一条直线
D.若| PA PB || PA PB | ，则点 P 的轨迹为圆
10.已知函数 f x cosx 的一个最大值点为 x ，与之相邻的一个零点为 x ，则（ ）
12 6
A. f x 的最小正周期为 B. f x 为奇函数
2 6
5 11 1 3
C. f x 在 , 上单调递增 D. f x 在 0, 上的值域为 ,
12 12 4 2 2
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足 AP AB AD AA1 ，其中 1, ，则下列说法正确
的是（ ）
A.若 A, B, D, A1, P 在同一球面上，则 1
B.若 AB 平面 A1DP ，则 2
C.若点 P 到 A, B, D, A1 四点的距离相等，则 3
3
D.若 A P 平面 PBD ，则
1 2
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知集合 A 1,2,4, B a,a2 ，若 A B B ，则 a __________.
13. (x 2y 1)6 的展开式中 x2 y3 的系数为__________.
x,0 x 1,
14.已知函数 f x 1 若 f ax f lnx 对任意 x 1,e 恒成立，则 a __________.
, x 1,
x
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
3 3
已知数列a 的前 n 项和为 S n2 n .
n n 2 2
（1）求 an ；
an
（2）若 3 ，求数列bn 的前 n 项和Tn .
bn an 2
16.（15 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD 的体积为8, PD 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， E 为棱 AB 的中点，
且APDE 的面积为 3 2 .
（1）求点 B 到平面 PDE 的距离；
（2）若 CE PE ，求平面 PDE 与平面 PBC 的夹角的余弦值.
17.（15 分）
如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线
y2
x2 1(m 0) 的共轭双曲线 C 的离心率为 3 .
m2
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l : y k x 1 与 C 的右支交于 A, B 两点，且以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求 k 2 的值.
18.（17 分）
某学校有甲乙丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理
1 2
停车场，则下一天有 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 的概率是丙管理停车
2 3
1
场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 的概率是甲管理停车场.已知今年第 1 天管理停车场的是甲.
3
（1）求第 4 天是甲管理停车场的概率；
（2）求第 n 天是甲管理停车场的概率；
（3）设今年甲乙丙管理停车场的天数分别为 X ,Y, Z ，判断 E X , E Y , E Z 的大小关系.（给出结论
即可，不需要说明理由）
19.（17 分）
已知函数 f x 2ex 2ax,a R .
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若不等式 f x… x2 a2 对任意 x 0, 恒成立，求 a 的取值范围.
海南省 2023—2024 学年高三学业水平诊断（三）
数学答案
一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1.答案 C
命题意图本题考查复数的相关概念.
解析由题知 z 1 i, z 1 i, z 1 2i 2 3i, 2 3i 22 32 13 .
2.答案 A
命题意图本题考查正弦定理的应用.
bsinA 3
解析由正弦定理得 sinB .
a 4
3.答案 D
命题意图本题考查分层随机抽样的概念.
解析由题知，样本中本科学历占比为 630 1000 63% ，硕士学历占比为
1 17% 63% 2% 5% 13% ，故抽取的硕士学历的人数为 20013% 26 .
4.答案 D
命题意图本题考查等比数列的基本性质.
a2 a4
解析由题意知 a a 4,a a 3a a 36 ，所以 a5 a1 36 4 32 .
1 3 3 3 5 2 4
5.答案 A
命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.
解析tan 2,sin 2cos,sin2 cos2 5cos2 1 ，又
5 2 5
, ,cos ,sin ，
2 5 5
3 3 3 5 2 2 5 2 3 10
cos coscos sinsin .
4 4 4 5 2 5 2 10
6.答案 B
命题意图本题考查圆锥的结构特征.
1
解析由条件知 0 180 ,sin ，则 30 ，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点 30m 处的截面圆半
2 2 2
径为 30tan30 10 3 ，截面圆面积为 300m2 .
7.答案 D
命题意图本题考查指数函数对数函数的图象与性质.
x x
1 1
解析在同一平面直角坐标系中作出 的图象，由图得 .
y , y log3 x, y , y x c a b
2 3
8.答案 C
命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析如图，分别过点 M , N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A, B ，分别过点 N, F 作
ND MA, FH MA ，垂足分别为 D, H ，设 ND 交 x 轴于点 E ，准线与 x 轴交于点 G .由题知
1
GF p,l 的倾斜角为 , AMF GFN BNP ，则 NF NB PN 1, PF 3 ，
3 3 2
1
又 AM MF PM , MF PF 3 .
2
二多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题全部选对的得 6 分，部分选对的
得部分分，有选错的得 0 分.
9.答案 BCD
命题意图本题考查曲线与方程.
解析对于 A, PA PB 4 AB ，则点 P 的轨迹为线段 AB ，故 A 错误；
对于 B, PA PB 2 4 AB ，则点 P 的轨迹是双曲线，故 B 正确；
1
对于 C ，设 P x, y ，由| PA |2 | PB |2 4 ，可得 (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 4 ，化简得 x ，表示一
2
条直线，故 C 正确；
对于 D ，由| PA PB || PA PB | ，可得 PA PB 0 ，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，故 D 正确.
10.答案 BC
命题意图本题考查三角函数的性质.
T 2
解析设最小正周期为T ，则 ,T ，故 A 错误.不妨令 0 ，则 2 .再由五
4 6 12 4
点法知 2 , , f x cos 2x . f x cos 2x sin2x ，此函数为奇
6 2 6 6 6 2
5 11
函数，故 B 正确.当 x , 时， 2x ,2 ，由余弦函数的性质知 C 正确.当 x 0, 时，
12 12 6 4
2 1 3
2x , ,cos 2x , ，故 D 错误.
6 6 3 6 2 2
11.答案 ABD
命题意图本题考查空间位置关系的判断.
解析由题意知点 P 在线段 AC1 上（不包含 A 点）.
对于 A，若 A, B, D, A1, P 在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以 P 与 C1 重合，所以 1，故 A 正
确；
对于 B ，如图（1），设 A1D 的中点为 Q ，则平面 ABC1D1 与平面 A1DP 的交线为直线 PQ ，要使 AB 平面
A1DP ，则需 AB PQ ，则 P 为 AC1 的中点，此时 2 ，故 B 正确；
对于 C ，点 P 到 A, B, D, A1 四点的距离相等，则 P 为正方体外接球的球心，即 AC1 的中点，此时 2 ，故
C 错误；
对于 D ，如图（2），设正方形 ABCD 的中心为 O ，连接 A1O 与 AC1 交于点 R ，在对角面 AA1C1C 内，易知
R 是 AC1 上靠近 A 的三等分点，且 A1O AC1 ，若 A1P 平面 PBD ，则 A1P PO ，由对称性易知
3
A A AO A A PO ，则 RA RP ，从而 P 是 AC 的靠近 C 的三等分点，此时 ，故 D 正确.
1 1 1 1 2
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.答案 2
命题意图本题考查集合的关系.
解析因为 A B B ，所以 B A ，则 a,a2 A，且 a a2 ，所以 a 2 .
13.答案-480
命题意图本题考查二项式定理的应用.
6 2
解析由题知可将 (x 2y 1) 看成 6 个 x 2y 1相乘，先从 6 个因式中选 2 个因式取 x ，有 C6 种不同的取
3 3 3 2 3
法，再从剩余 4 个因式中选 3 个因式取 2y ，则 y 的系数为 C4 (2) ，最后 1 个因式取 1，所以 x y 的系
2 3 3
数为 C6 (2) C4 480 .
1
14.答案
e
命题意图本题考查函数性质的综合应用.
1
解析由题知 f x 在区间 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减.注意到 f x f ，因此若 f ax
x
1 lnx 1
f lnx 对任意 x 1,e 恒成立，则 ax lnx ax 0 ，即 a a 0 对任意
lnx x xlnx
lnx 1 1
x 1,e 恒成立.由于 y 在区间 1,e 上单调递增，且值域为 0, , y 在区间 1,e 上单调递
x e xlnx
1 lnx 1 1
减，且值域为 , ，因此 a a 0 对1 x e 恒成立时 a .
e x xlnx e
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.
解析（1）当 n 1时， a1 S1 3 ，
当 n… 2 时， an Sn Sn1 3n ，
an 3n .
n
（2）由（1）知 bn 3n 2 ，
2 3 n
Tn 3 2 6 2 9 2 3n 2 ，
2 3 n n1
2Tn 3 2 6 2 3n 1 2 3n 2 ，
-得，
2 3 n n1
Tn 3 2 3 2 3 2 3 2 3n 2
61 2n
3n 2n1 31 n 2n1 6 ，
1 2
n1
Tn 3n 1 2 6 .
16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.
解析（1）因为 E 为 AB 的中点，所以点 B 到平面 PDE 的距离等于点 A 到平面 PDE 的距离，
1 1
又四边形 ABCD 是矩形，所以 S S ，从而V V 2 .
A ADE 4 矩形ABCD 三棱锥P ADE 4 四棱锥P ABCD
1
设点 A 到平面 PDE 的距离为 d ，则 S d 2d 2 ，得 d 2 ，
3 A PDE
因此点 B 到平面 PDE 的距离为 2 .
（2）因为四边形 ABCD 为矩形， E 为 AB 的中点，所以 CE DE .
因为 PD 平面 ABCD ，所以 PD CE ，又 CE PE, PE PD P ，所以 CE 平面 PDE ，所以
CE DE .
即ACDE 是等腰直角三角形.
设 AD x, PD h ，则 AB 2x, DE 2x .
1
2x2h 8,
3 x 2,
由条件知 解得
1 h 3.
2xh 3 2,
2
如图，以 D 为坐标原点， DA, DC, DP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系，
则 P0,0,3, B2,4,0,C 0,4,0, E 2,2,0 ，
所以 CB 2,0,0, PC 0,4,3 .
设 n x, y, z 是平面 PBC 的法向量
n PC 4y 3z 0,
则 可取 n 0,3,4 .
n CB 2x 0,
平面 PDE 的一个法向量为 EC 2,2,0 .
n EC 3 2
cos n, EC ，
n EC 10
3 2
所以平面 PDE 与平面 PBC 的夹角的余弦值为 .
10
17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
y2
解析（1）由题可得 C : x2 1(m 0) ，
m2
因为 C 的离心率为 3 ，所以 m2 1 3 ，得 m2 2 ，
y2
所以 C 的方程为 x2 1.
2
（2） l 过 C 的右顶点 1,0 ，不妨设 A1,0, B x1, y1 ，由 C 的方程可得其渐近线方程为 y 2x ，因为
A, B 均在 C 的右支上，所以 k 2 或 k 2 .
y k x 1,
由 2 得 2 k 2 x2 2k 2 x 2 k 2 0 ，
2 y
x 1,
2
2k 2 k 2 2
所以 x 1 , x .
1 k 2 2 1 k 2 2
4 1 k 2
AB 1 k 2 x 1 ，
1 k 2 2
x 1 k 2 AB 2 1 k 2
以线段 AB 为直径的圆的圆心横坐标为 1 ，半径为 ，
2 k 2 2 2 k 2 2
k 2 2 1 k 2
由题意知 ，
k 2 2 k 2 2
整理得 k 4 4k 2 4 0 ，
解得 k 2 2 2 2 （负值舍去）.
18.命题意图本题考查全概率公式的应用，以及数列与概率的综合问题.