数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
2
1．已知集合 A= x Z x +3 x - 4 0， B= x x -2，则集合 ABI 的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4+ 3i
2．复数 z = （其中 i 为虚数单位）的虚部为（ ）
2- i
A．2 B．1 C． -1 D． -2
r r
3．已知向量 ar = m, - 1 ， b=1, m - 2 ，若 ar b ，则 m = （ ）
A． -1 B．1
C． --1 2 D． -1 + 2
4．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念， A 市某高中全体教师于 2023年3月 12 日开展植树活
动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计 1200 棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报
名参加植树活动的人数之比为 5:3: 2 ，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分
得梧桐的数量为（ ）
A．60棵B．100棵C．144棵D．160棵
5．设随机变量x 服从正态分布 N 6,s 2 ，若 Px<3 a - 4 = P x >- a + 2 ，则 a 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使
用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池
的容量随放电电流的大小而改变，1898年 Peukert 提出铅酸电池的容量 C 、放电时间 t 和放电电流 I 之间关
系的经验公式： C= Il t ，其中 l 为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不变的条件
下，当放电电流为 7.5A 时，放电时间为 60h ；当放电电流为 25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的
Peukert 常数 l 约为（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477 ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
7．某圆锥的轴截面是一个边长为8 的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为
（ ）
A．8 B． 4 3
C．8 3 D．16
8．已知定义域为 R 的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足 f x -2 f x< 0 ， f 0 = 1，则（ ）
A． e2 f - 1< 1 B． f 1 >e2
1 1
C． f >e D． f1< e f
2 2
二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0分）
1
9．已知数列a 的前 n 项和为 SS 0 ，且满足 a+4 S S = 0 n 2 ， a = ，则下列说法正确的
n n n n n-1 n 1 4
是（ ）
1
A．数列 为递增数列
Sn
B．数列an 的前 n 项和为 Sn = 4 n
1
C．数列a 的通项公式为 a =
n n 4n n + 1
D．数列an 不是递增数列
10．有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取
出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
3 3
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
5 5
C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件
2
11．已知函数 f x =sinw x + 3 cos w x w >0 满足： f = 2 ， f = 0 ，则（ ）
6 3
A．函数 y= f x 的值域为-2,2
7
B．函数 y= f x 的图象关于直线 x = 对称
6
C．函数 y= f x - 是奇函数
3
7
D．函数 y= f x 在 , 上单调递减
6 6
12．如图，正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1， P 是线，段 BC1 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体 A1 D 1 AP 的体积为定值
B． AP+ PC 的最小值为 2 2
C． AP1 平面 ACD1
D．当直线 AP1 与 AC 所成的角最大时，四面体 A1 PCA 的外接球的体积为 3
三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分）
7
1 2
13．二项式 -2 x + 1 的展开式中含 x 的系数为______．
x
14．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因
地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为 2%
（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率
为 4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的 60%，40%，从中任取一个
核桃，则该核桃是空壳的概率是______．
15．如图，表面积为100 的球面上有四点 S ， A ， B ， C ，ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的
距离为3，若平面 SAB ^ 平面 ABC ，则三棱锥 C- SAB 体积的最大值为______．
16．已知直线与抛物线 x2 =2 py p >0 交于 A ， B 两点，抛物线的焦点为 F ， O 为原点，且
uuur uuur
OA OB =15 ， OD^ AB 于点 D ，点 D 的坐标为 -2,1 ，则 AF+ BF = ______．
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
记ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 asin B+ 3 b cos A = 0 ．
（1）．求 A ；
1
（2）若 a = 6 ， sinBC sin = ，求ABC 的面积．
4
18．（本小题满分 12 分）
1
已知数列 的前 项和为 ，且 ， * ．
an n Sn a1 =1 Sn= a n+1 n N
3
（1）求数列an 的通项公式；
（2）在数列bn 中， bn= a n - log4 S n ，求数列bn 的前 n 项和Tn ．
19．（本小题满分 12 分）
某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打
算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练
期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7 天的成功次数 a 忘了记录，但知道 36a 55 ， a Z （ yi ，
zi 分别表示小明、小红第 i 天的成功次数）．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
序号 x 1 2 3 4 5 6 7
小明成功次数 y 16 20 20 25 30 36 a
小红成功次数 z 16 22 25 26 32 35 35
（1）求这7 天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
（2）根据小明这7 天内前6 天的成功次数，求其成功次数 y 关于序号 x 的线性回归方程，并估计小明第七天
成功次数 a 的值．
参考公式：回归方程 y = bx + a 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
n n
xi--- x y i y x i y i nxy
i=1 i = 1 ， ．
b =n = n a = y - bx
2 2 2
xi-- x x i nx
i=1 i = 1
参考数据：1+++++ 16 2 20 3 20 4 25 5 30 6 36 = 582 ；12+ 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 91．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱台 ABC- DEF 中， H 在 AC 边上，平面 ACFD ^ 平面 ABC ， ACD = 60 ， CH = 2 ，
CD = 4 ， BC = 3 ， BH^ BC ．
（1）证明： EF^ BD ；
3 3
（2）若 AC= 2 DF 且ABC 的面积为 ，求 CF 与平面 ABD 所成角的正弦值．
4
21．（本小题满分 12 分）
x2 y 2
已知椭圆 C:+ = 1 a >b >0 的上、下顶点分别是 A ， B ，点 P （异于 A ， B 两点）在椭圆 C 上，
a2 b 2
4
直线 PA 与 PB 的斜率之积为 - ，椭圆 C 的短轴长为4．
9
（1）求 C 的标准方程；
（2）已知T 0,1 ，直线 PT 与椭圆 C 的另一个交点为 Q ，且直线 AP 与 BQ相交于点 D ，证明：点 D 在定
直线上．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f x = x -1 ln x - 2 - a x - 3 ， a R ．
（1）若 a =1，讨论函数 f x +1 的单调性；
（2）当 x >3 时， f x >0 恒成立，求 a 的取值范围．