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数学试题（2024.02）
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40.0 分。
1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为 ( )
A. 69 B. 70 C. 75 D. 96
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求百分位数，属于基础题．
根据百分位数的定义即可得到答案．
【解答】
解：因为8 15% = 1.2，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百 分位数为第2个数据70．
故选： ．
2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 =“第一枚正面向上”，事件 =“第二枚反面向上”，则事件 与
的关系是 ( )
A. B. = C. 相互独立 D. 互斥
【答案】 C
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，是较易题．
列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可．
【解答】
解：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上记为1，反面向上记为0，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)，
事件 包含的结果有：(1,1), (1,0)，事件 包含的结果有：(1,0), (0,0)，
而事件 ，事件 中有不同的结果，则事件 与事件 不互相包含，也不相等，故 AB 错误；
显然事件 ，事件 都含有“(1,0)”这一结果，即事件 ，事件 能同时发生，
因此，事件 与事件 不互斥，故 D 错误；
2 1 2 1 1
因为 ( ) = = , ( ) = = , ( ) = ，则 ( ) = ( ) ( )，
4 2 4 2 4
所以与 相互独立，故 C 正确．
故选： ．
3.已知数列 { }的通项公式为 = ( )，若{ }为单调递增数列，则实数 的取值范围是( )
2
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A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
【答案】 A
【解析】【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，属于中档题．
由已知条件推导出 = 2 + 1 >0恒成立，由此能求出实数 的取值范围．
【解答】 +1
解： 数列{ }的通项公式为 = ( )
2
数列{ }是递增数列，
= (++1 1) ( + 1) ( )
2 2
= 2 + 1 >0恒成立，
2 + 1 的最小值是2 1 + 1 = 3 >0，
< 3，
即实数 的取值范围是( , 3)．
故选：．
2 2
.在 中， = ， = ，则 =
4 3 3 ( )
4 7 4 7 7 4 7 4
+ +
A. 9 9 B. 9 9 C. 9 9 D. 9 9
【答案】 C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解本题的关键，属较易
题．
利用向量的线性运算求解即可．
【解答】
2 1
解：根据题意得， = + =
3 3
2 1 2 2
= + = +
3 3 3 9
2 2 7 4
= + = + ．
3 9 9 9
故选 C．
1
.已知sin( ) + 3cos = ，则sin(2 + ) =
5 3 3 6 ( )
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2 2 1 7
A. 3 B. 9 C. 9 D. 9
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式和二倍角公式，属于中档题．
1
先把sin ( ) + 3cos = 化简，然后利用二倍角公式以及辅助角公式计算可得答案．
3 3
【解答】
1
解：因为sin ( ) + 3cos = ，
3 3
1
所以 + 3 = ，
3 3 3
1 3 1
所以 sin + cos = ，
2 2 3
1 3 3 1
两边平方得， sin + cos + sin cos = ，
4 4 2 9
2 2
1 3 7
化简得 cos2 + sin2 = ，
4 4 18
7
所以sin (2 + ) = ．
6 9
故选 D．
6.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率
论中有一个重要的结论：若随机变量 ( , )，当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来
近似地替代，且正态随机变量 的期望和方差与二项随机变量 的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗
1
(1667 1754)在1733年证明了 = 时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯 (1749
2
1827)在1812年证明了这个结论对任意的实数 (0,1]都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普
拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币900 次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于 420次的概
率为( )
(附：若 ( , )，则 ( + ) 0.6827， ( 2 + 2 ) 0.9545， ( 3
2
+3 ) 0.9973)
A. 0.97725 B. 0.84135 C. 0.65865 D. 0.02275
【答案】A
【解析】【分析】
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本题主要考查正态分布曲线的特点及正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于一般题．
根据 服从二项分布求得期望与方差，由题意可知 服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即
可．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为 ，
1 1 1 1
则 (900, ), ( ) = = 900 = 450, ( ) = (1 ) = 900 (1 ) = 225，
2 2 2 2
由题意， ( , )，且 = ( ) = 450， = ( )= 225 = 15 ，
2 2 2
因为 ( 2 + 2 ) 0.9545，即 (450 2 15 450 + 2 15) 0.9545，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于 420次的概率为 ( 420) = ( 450 2 15)
0.9545
+ 0.5 = 0.97725．
2
故选： ．
7.已知实数 , , , 满足 + = 2, + = 2, + = 0，记 = | + 2 2| + | +
2 2 2 2
2 2| ，则1 2 的最大值是1 2 1( ) 1 2 2 12 12 1 1 2
A.2 2 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 8 2
【答案】 C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，是中档题．
由已知结合向量数量积的坐标表示可得 ，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系
即可求出．
【解答】
解：设 ( , ), ( , ) ，因为 + = 2, + = 2, + = 0，
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 12 12
所以 在以原点 (0,0) 为圆心， 2 为半径的圆上，且 ．
+ 2 2 + 2 2
设点 到直线 + 2 2 = 0 的距离之和为 ，则 = 1 1 + 2 2 ，即 = 2 ，转
2 2
化为求 2 的最大值．
设点 为点 与点 的中点，
设 点到直线 + 2 2 = 0 的距离为 ，则 = 2 ，
1
又 | | = | | =1.故 点轨迹为圆 + =1 ．
2
2 2
2 2
圆 + = 1 上点到直线 + 2 2 = 0 距离的最大值 = + 1 = 3 ．
2
2 2
max
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所以 的最大值是 6 2 ．
故选： ．
8.已知 ( )是定义在(0, + )上的单调函数，满足 ( ( ) 2ln + 2) = 1，则函数 ( )的零点所在
区间为．( )
1 1 1 1
A. 0, 2 B. 2 , C. , 1 D. (1, )
【答案】 C
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在性定理的运用，考查运算能力，属于
难题．
由题意可设 = ( ) 2 + 2，则 ( ) = + 2 + 2，又由 ( ) = 1，即 + 2 + =
+ 1，解得 =1，可得 ( )的解析式，运用函数零点存在性定理即可得到所求结论．
【解答】
解：根据题意，对任意的 (0, + )，都有 ( ( ) 2 + 2) = 1，
又由 ( )是定义在(0, + )上的单调函数，
则 () 2 + 2为定值，
设 = ( ) 2 + 2，
则 ( )= + 2 + 2，
又由 ( ) = 1，
即 +2 + = + 1，
解得 = 1，
则 ( ) = 1 + 2 + ，
2
( )= + >0，可得 ( )在(0, + )上递增，
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1 1
( ) = 2 1< 0，
(1 ) = 1 >0，
1
则 ( )在 ( , 1)上有零点．
故选： ．
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18.0 分。
1,
9.设 是全集， , 定义 = ，对 的真子集 和 ，下列说法正确的是 ( )
0,
A. 若 = , 则 = + B. 若 , 则< +
C. 若 , 则 D. 若 , 则 +
【答案】 ACD
【解析】【分析】
本题考查了新定义特征函数、集合之间的关系及其运算、元素与集合之间的关系，考查了推理能力，属于
中档题．
对函数中的 属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出的函数值，从而得到答案即可．
【解答】
解： 项： = , 当 时， ，同理当 时， ，
= + ，A 正确；
项： , 分三种情况： 且 ， 且 ， 且 ， +
，B错误；
项 ， 若 ，则 ， = 1 = ， ，C 正确；
项：若 ，则 ，且 ， = ， , + ，D 正确．
故选 ACD．
10.已知半径为 的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，球
的表面积与体积分别为 和 ，圆台的表面积与体积分别为 和 .则下列说法正确的是1 (2 )
1 1 2 2 2
A. = + B. = C. 1 = 1 D. 1的最大值为
2 2 2 3
1 2 12
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了切线长定理，圆台、球的表面积和体积公式，是中档题．
利用切线长定理判断 ;利用勾股定理判断 ；利用圆台和球的表面积和体积公式判断 ， ．
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