数学
说明：
1．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．样本中共有5 个个体，其值分别为a，1，2，3，4．若该样本的中位数为2，则a 的取值范围为（ ）
A． (0,1) B． (1,2) C． (,2] D．[1,2]
x2 y2 1
2．若椭圆 C : 1(m 0) 的焦点在y 轴上，其离心率为 ，则椭圆C 的短轴长为（ ）
m2 9 3
A．2 B． 4 2 C． 2 3 D．8
3．已知数列a 满足 2a a a ，数列a 的前n 项和为 S ， S 6,a a 10 ，则 S （ ）
n n1 n n2 n n 3 3 5 5
35
A． B．10 C．11 D．9
2
4．设m，n 是不同的直线， , 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m,n, ，则 mn B．若 ,m ,n ，则 mn
C．若 ,m,n ，则 n D．若 mn,n ,m ，则
5．某班级举办元旦晚会，一共有8 个节目，其中有2 个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的2 个节目
不能安排小品，且2 个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
6 6 6 6
A． 9A6 B．13A6 C． 22A6 D． 44A6
6．已知面积为9 的正方形 ABCD 的顶点A，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，
2 1
OP OA OB ，则动点P 的轨迹方程是（ ）
3 2
x2 y2 x2 y2 x2 4y2 x2 y2
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
3 2 4 8 4 9 8 4
sin 2 1
7．已知 为锐角，且 tan tan 1，则 （ ）
4 cos 2
1 1
A． B． 3 C． 2 D．
2 3
x2 y2
8．已知双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别是 F (3,0), F (3,0) ，点A，B 是其右支上的两点，
a2 b2 1 2
AF2 2F2 B, AF1 | AB | ，则该双曲线的离心率是（ ）
5 33 3 7
A． B． C． D．
3 3 5 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
3 2
9．已知函数 f (x) sin 2x 2cos x,n Z ，则下列结论正确的是（ ）
2
k
A． f (x) 图象的一个对称中心为 ,1 B． f x 1是奇函数
2 4
3
． ． 在区间 上单调递减
C f (x)max 1 D f (x) ,
7 7
10．若 为复数，则（ ）
z1, z2
n n
A． z1 z2 z1 z2 B． z1 z2 z1 z2 C． z1 z1 D． z1 z1 z1 z1
11．已知函数 f (x) 的定义域为 R ，对任意实数x，y 满足 f (x y) f (x) f (y) 2 ，且 f (2) 0 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． f (0) 2 B． f (4) 6
C． f (x) 2 为奇函数 D． f (x) 为 R 上的减函数
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分。
12．设集合 M {2,2,1}, N {x || x a1}，若 M N 的真子集的个数是1，则正实数a 的取值范围为
__________．
13．在正四面体P-ABC中，M为PA 边的中点，过点M 作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，
r V2
最小的截面半径为r，则 _________；若记该正四面体和其外接球的体积分别为V1 和V2 ，则 _________．
R V1
．定义 表示 中的最小值， 表示 中的最大值，
l4 mina1,a2 ,,an a1,a2 ,,an maxa1,a2 ,,an a1,a2 ,,an
设 0 m n p 2 ，已知 n 3m ，或 m 2n 3 ，则 min{max{n m, p n,2 p}}的值为________．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知函数 f (x) 2ax ln x 3b （a，b 为实数）的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y x 1．
（1）求实数a，b 的值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间和极值．
16．（15 分）有5 双鞋子，每双标记上数字1，2，3，4，5，从中取3 只鞋子．
（1）求取出的3 只鞋子都没有成对的概率；
（2）记取出的3 只鞋子的最大数字为X，求X 的分布列和数学期望EX．
17．（15 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， C1 A1 C1B1, AC AB1, AB1 平面 ABC， AC 3 ，
CAC1 90 ，M，E 分别是AB， B1C1 的中点．
（1）证明： AC 平面 AB1C1 ；
（2）求ME 与平面 BB1C1C 夹角的正弦值．
2
18．（17 分）设抛物线 C : y 2 px( p 0) ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点 A x1, y1 ， B x2 , y2 ．当
直线AB 垂直于x 轴时， | AB | 4 ．
（1）求抛物线C 的标准方程．
（2）已知点 P(2,0) ，直线AP，BP 分别与抛物线C 交于点C，D．
求证：直线CD 过定点；
求PAB 与PCD 面积之和的最小值．
19．（17 分）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 a,b Z,m N 且 m 1．若 m(a b) ，则
称a与b 关于模m 同余，记作 a b(mod m) （“|”为整除符号）．
（1）解同余方程： x2 2x 0(mod3) ；
（ ）设（ ）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
2 1 an a1 a2 a3 an
若 bn an1 an n N+ ，数列bn 的前n 项和为 Sn ，求S4048 ；
若 Cn tan a2n3 tan a2n1 n N ，求数列Cn 的前n 项和 Tn ．