2023—2024学年度上期高 2024届期末考试
数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.本试卷分选择题和非选择题两部分.
3.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,
再选涂其它答案标号.
4.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.
5.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
6.考试结束后,只将答题卡交回.
第卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:（本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M= y| y = 2x , x 1 , N = x | y = 2 x x2 ，则 MN等于（ ）
A. B.2 C. 1,+) D. 0,+)
ex
2.已知 fx() = 为奇函数，则 a = （ ）
eax 1
A.2 B.1 C.1 D.2
3.复数 z 满足()z+21 i = i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部是（ ）
A.3 B.1 Ci. Di.
4.已知首项为 1，公比为 q 的等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，则“ S3 = 3 ”是“ q =2 ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设函数 f() x=+ x 2 ，数列an ，bn 满足 an =21 f() n ， f() bn =21 n ，则 a6 = （ ）
Ab. 7 Bb. 9 Cb. 11 Db. 13
6.记 ABC 的内角 ABC,, 的对边分别为 abc,, ，分别以 abc,, 为边长的正三角形的面积依次为 SSS1,, 2 3 ，
6
且 S S S = bc ，则 A = （ ）
1 2 3 4
3
A. B. C. D.
6 4 3 4
6 26
7．若 x= a0 + a 1 ()()() x 6 + a2 x 6 + a6 x 6 ，则 a5 = （ ）
A.6 B. 16 C. 36 D. 90
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三、解答题:（本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中， AC==1, BC 7 ．
（1）若 A =150 ，求 cos B ；
（2） D 为 AB 边上一点，且 BD==22 AD CD ，求 ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
2023 年实行新课标新高考改革的省市共有 29 个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某
高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取 100 名学生进行调查．统计整理数据得到
如下的 22 列联表：
选物理类 选历史类 合计
男生 35 15
女生 25 25
合计 100
（1）依据小概率值 0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
（2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取 6 名女生进行问卷调查，然后在
被抽取的 6 名女生中再随机抽取 4 名女生进行面对面访谈．设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随
机变量 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
n( ad bc)2
附： K 2 = ，其中 n= a + b + c + d ．
(a+ b)( c + d)( a + c)( b + d )
2 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
P( K k0 )
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k0
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，AD// BC , BC CD , BC = 2 CD = 2 AD = 2 2 ，平面 ABCD 平面 PAC .
（1）证明： PC AB ；
5
（2）若 PA== PC AC, M 是 PA 的中点，求平面 MBC 与平面 PAC 夹角的正弦值.
2
P
M
D
A
C
B
{#{QQABIQQQoggIABBAAAhCEwU4CEIQkACACKoOgAAIMAAACRFABAA=}#}
20.（本小题满分 12 分）
xy22 1
已知椭圆 C:+ = 1( a b 0)的短轴长为 42，离心率为 ．
ab22 3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为 FF12, ，左，右顶点分别为 AB, ，点 MN, 为椭圆C 上位于 x 轴上方的
两点，且 FMFN12// ，记直线 AM, BN 的斜率分别为 kk12, ，若3kk12+= 2 0，求直线 FM1 的方程．
21．（本小题满分 12 分）
31
已知函数 f( x) = axln x x + 2
22x
（1）当 a =1时，求 fx( ) 的单调区间；
（2）对 x 1, +) ， fx( ) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
* 1 1 1 1 1
（3）对于任意 nN ，证明： ln 2 + + +
4(n+ 2) n + 1 n + 2 2 n 4 n
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑.
22．[选修 44：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
13
xt=+
22
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
1
yt=
2
为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = 2cos ．
（1）求C 的直角坐标方程；
1 11
（2）设点 M 的直角坐标为,0 ， l 与曲线C 的交点为 AB, ，求 + 的值．
2 MA MB
23. [选修 45：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
1
已知函数 f( x) =21 x + x + 的最小值为 m ．
2
（1）求 m 的值；
1
（2）若 abc,, 为正实数，且 a+ b + c = m ，证明： abc2+ 2 + 2 ．
3
{#{QQABIQQQoggIABBAAAhCEwU4CEIQkACACKoOgAAIMAAACRFABAA=}#}