2023—2024 学年度上期高 2024 届期末考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．本试卷分选择题和非选择题两部分．
3．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后．再选涂其它答案标号．
4．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．
5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
6．考试结束后，只将答题卡交回．
第卷（选择题，共 60分）
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
x 2
1．已知集合 M= y y =2 , x >1 ， N= x y =2 x - x ，则 MNU 等于（ ）
A． B．2 C．1,+ D．0,+
ex
2．已知 f() x = 为奇函数，则 a = （ ）
eax -1
A．2 B．1 C． -1 D． -2
3．复数z 满足 z +2 i = 1 - i （i 为虚数单位）．则z 的共轭复数的虚部（ ）
A． -3 B．1 C．i D． -i
4．已知首项为1，公比为q 的等比数列 an 的前n 项和为 Sn ，则“ S3 = 3 ”是“ q = -2 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设函数 f x = x + 2 ，数列an ，bn 满足 an =2 f n - 1， f bn =2 n - 1，则 a6 = （ ）
A． b7 B． b9 C． b11 D． b13
6．已知a，b 是两条直线． a ， b ，g 是三个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 aa ， bb ， a b ，则a b B．若a^ b ， a ^ a ，则a b
C．若a^ b ，a^ g ， bI g = a ，则 a ^ a D．若a b ， aa ，则a b
7．记ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的正三角形的面积依次为
6
SSS,, 且 S- S - S = - bc ，则 A = （ ）
1 2 3 1 2 3 4
3
A． B． C． D．
6 4 3 4
2 2 uuur uuur uuur
18．已知等边ABC 内接于圆 :x+ y = 1 ，且P 是圆 G 上一点，则 PA PB + PC 的最大值是
（ ）
A． 2 B．1 C． 3 D．2
9．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2 得素
数，例如5和7．在大于3 且不超过 20 的素数中，随机选取2 个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为
（ ）
3 3 1 1
A． B． C． D．
56 28 7 5
10．已知函数 f( x )= sin 4 x + - sin 4 x - ，则 f x 在区间 - , 内的零点个数为（ ）
4 4 2 2
A．6 B．7 C．8 D．9
11．已知直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 的侧棱长为2， AB^ BC ， AB= BC = 2 ，过 AB ， BB1 的中点E，F作
平面a 与平面 AAC1 1 C 垂直，则平面a 截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A． 2 2+ 6 B． 2+ 2 6 C． 3 2+ 6 D． 3 2+ 2 6
2x ln x , x >0
12．已知函数 f x = ，若 x1 x 2 且 f x1 = f x 2 ，则 x1- x 2 的最大值为（ ）
2x+ 1, x 0
3 3
A． B．1 C．2 D．
2 4
第卷（非选择题，共 90分）
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．）
x2 y 2 1
13．已知椭圆 + =1m >0 的离心率为 ，则 m = ______．
8 m2 3
0x 2
14．已知实数x，y 满足 y 0 ，则 z= x + 3 y 的最大值为______．
x+ y 2
x2 y 2
15．已知双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) 的左、右焦点分别为 F ， F 、M，N 为双曲线一条渐近线上两
a2 b 2 1 2
2
点，A 为双曲线的右顶点，若四边形 MF NF 为矩形，且 MAN = ，则双曲线C 的离心率为______．
1 2 3
1 4
16．已知数列a 满足 a = -3 ， a+ a - = 0 ， S 为数列a 的前n 项和，则满足不等式
n 2 n+1 3 n 3 n n
1
S- n -9 >的n 的最大值为______．
n 2024
三、解答题：（本题共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
在ABC 中， AC =1 ， BC = 7 ．
（1）若 A =150 ，求 cos B ；
（2）D为 AB 边上一点，且 BD=2 AD = 2 CD ，求ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
2023 年实行新课标新高考改革的省市共有 29 个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高
级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取 100 名学生进行调查．统计整理数据得到如下
的22 列联表；
选物理类 选历史类 合计
男生 35 15
女生 25 25
合计 100
（1）依据小概率值 0.05 的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
（2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6 名女生进行问卷调查，然后在被
抽取的6 名女生中再随机抽取4 名女生进行面对面访谈．求面对面访谈的女生中选择历史类的人数为2 的概
率．
n ad- bc2
附： K 2 = ，其中 n= a + b + c + d ．
a+ b c + d a + c b + d
2 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
P() K k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k0
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P- ABCD 中， AD BC ， BC^ CD ， BC=2 CD = 2 AD = 2 2 ，平面 ABCD ^ 平面
PAC ．
（1）证明： PC^ AB ；
5
（2）若 PA= PC = AC ，M是 PA 的中点，求三棱锥 C- PBM 的体积．
2
20．（本小题满分 12 分）
3 1
已知函数 f( x )= ax ln x - x - + 2 ．
2 2x
（1）当 a =1时，求 f x 的单调区间；
（2）对 x 1, + ， f x 0 恒成立，求a 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
x2 y 2 1
已知椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的短轴长为 4 2 ，离心率为
a2 b 2 3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，左，右顶点分别为A，B，点M，N 为椭圆C 上位于x 轴上方
的两点，且 FMFN1 2 ，记直线 AM ， BN 的斜率分别为 k1 ， k2 ，若 3k1+ 2 k 2 = 0 ，求直线 FM1 的方
程．
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
1 3
x= + t
2 2
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
1
y= t
2
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 r= 2cos q ．
（1）求C 的直角坐标方程；
1 1 1
（2）设点M 的直角坐标为 ,0 ，l 与曲线C 的交点为A，B，求 + 的值．
2 MA MB
23．选修 4-5：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
1
已知函数 f( x )= 2 x - 1 + x + 的最小值为m
2
（1）求m 的值；
1
（2）若a，b，c 为正实数，且 a+ b + c = m ，证明： a2+ b 2 + c 2 ．
3